高等數學總復習

1、第八章第八章設設 zyxzyxbbbbaaaa, 1. 基本概念基本概念模模:222zyxaaaa 方向余弦方向余弦:aaaaaazyx cos,cos,cos2. 向量運算向量運算點積點積:zzyyxxbabababa , 夾角為夾角為 叉積叉積:bakjixayazaxbybzb投影投影空間曲面空間曲面三元方程三元方程0),( zyxf 球面球面2202020)()()(rzzyyxx 旋轉曲面旋轉曲面如如, 曲線曲線 00),(xzyf繞繞 z 軸的旋轉曲面軸的旋轉曲面:0),(22 zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),( yxf表示母線平行表示母線平行z 軸的柱面軸的柱面空間曲線空間

2、曲線三元方程組三元方程組或或, 參數方程參數方程投影曲線投影曲線(如如, 圓柱螺線圓柱螺線)空間平面空間平面一般式一般式點法式點法式截距式截距式0 dczbyax)0(222 cba1 czbyax三點式三點式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxcban,空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),(000zyx0)()()(000 zzcyybxxa空間直線空間直線一般式一般式對稱式對稱式參數式參數式 0022221111dzcybxadzcybxa tpzztnyytmxx000 pnms, pzznyymxx000 ),(000zyx相關的幾個問題相關的

3、幾個問題(1) 過直線過直線 00:22221111dzcybxadzcybxal的平面束的平面束1111dzcybxa (2)點點nnmmd 01的距離的距離：0)(2222 dzcybxa方程方程dzcybxa 000 222cba 到平面到平面 ：a x+b y+c z+d = 0),(0000zyxm d0m1mn及及參參數數方方程程對對稱稱式式方方程程的的直直線線且且平平行行直直線線，求求過過點點 0122 02)3 1 2( . 1 zyxzyx軸上截距相等的平面軸上截距相等的平面.0)42( 53 zyxyx xy2、求平面束、求平面束在在軸和軸和p3、自點、自點 (2, 3,

4、-5)分別向各坐標面作垂線，求過三個垂分別向各坐標面作垂線，求過三個垂足的平面方程足的平面方程.4試求空間直試求空間直線線 7652zyzx的對稱式方的對稱式方程程多元函數微分法多元函數微分法顯示結構顯示結構隱式結構隱式結構1. 分析復合結構分析復合結構(畫變量關系圖畫變量關系圖)2. 正確使用求導法則正確使用求導法則“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,單路全導單路全導,叉路偏導叉路偏導”注意注意: 正確使用求導符號正確使用求導符號第九章第九章多元函數微分法的應用多元函數微分法的應用1 1、在幾何中的、在幾何中的應用應用求曲線在切線及法平面求曲線在切線及法平面 (參數方程，一般方程參數方程，

5、一般方程)求曲面的切平面及法線求曲面的切平面及法線 (隱式方程隱式方程 , 顯式方程顯式方程)2、極值與最值問題、極值與最值問題極值的必要條件與充分條件極值的必要條件與充分條件求條件極值的方法求條件極值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法)求解最值問題求解最值問題3、在微分方程中的應用、在微分方程中的應用.sin. 1233yxzyeyxzx ，求，求設設. )0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),( 32233但但不不可可微微偏偏導導數數存存在在，處處在在原原點點試試證證：、 yxyxyxyxyxf處處的的切切平平面面方方程程上上點點求求曲曲面面在在),(

6、 . 400022zyxbyaxz 處處的的切切平平面面與與法法線線方方程程在在求求曲曲面面)1 , 1 , 1(33 5.222 zyx., 0932),( 22222222yzxzzxyzyxyxzz 求求所確定，所確定，由由、設、設. )33,2, 1( 622并求最短距離并求最短距離的距離最短，的距離最短，上找一點，使它到點上找一點，使它到點在曲面在曲面、yxz .)(4),( 5.22極大值點還是極小值點極大值點還是極小值點的極值點，并指出是的極值點，并指出是求求yxyxyxf 基本方法基本方法 累次積分法累次積分法1. 選擇合適的坐標系選擇合適的坐標系2. 選擇易計算的積分順序選擇

7、易計算的積分順序(積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙)圖示法圖示法列不等式法列不等式法3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法第十章第十章. . 1arcsinarcsin10dxxdyyy 計計算算.01)1( ,12. 222222確確定定與與由由其其中中求求 yzyxdvzyx.),(,),(. 3223210的的積積分分次次序序改改變變二二次次積積分分連連續(xù)續(xù)設設 yydxyxfdyyxf.),( 1 , 0 , 0 , 1 , 1 . 4的的三三次次積積分分，最最后后對對，再再對對先先對對化化為為三三重重積積分分圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域，將將由由平

8、平面面設設xyzdxdydzzyxfzyxyxzyx 一一. 曲線積分的計算法曲線積分的計算法1. 基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對弧長對弧長 )第二類第二類 ( 對坐標對坐標 )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉化轉化定積分定積分用參數方程用參數方程用直角坐標方程用直角坐標方程用極坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終第十一章第十一章(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關的等價條件利用積分與路徑無關的等價條件(3) 利用格林公式利用格林

9、公式 (注意注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; 2. 基本技巧基本技巧沿沿由由點點是是，式式中中求求)0 , 1()(1()(3(. 1 aldyyxyxdxxyyxl)8()0 , 3(3 )2 , 1(1 分分的的折折線線段段點點到到，再再沿沿直直線線到到直直線線cyxbxy )9()2 ,()1 ,()0( . cos)cos(sin222分分計算積分之值計算積分之值線，線，為起終點的任意簡單曲為起終點的任意簡單曲和和內以內以為上半平面為上半平面若若軸時，積分與路徑無關軸時，積分與路徑無關不通過不通過當當，、證明曲線積分、證明曲線積分 bayloxldyyxyxdxyxyxyxil

10、)10()2 , 1( 1)1 , 0( ,)36()6(. 322232分分的一段弧的一段弧點點至至沿沿是從點是從點式中式中求求 xyldyxyyxdxyxyl)(0 xunn求求 和和)(xs展展 開開（在收斂域內進行）（在收斂域內進行）當當 時，時， 為數項級數；為數項級數；0 xx )(0 xunn當當 時，時， 為冪級數；為冪級數；nnnxaxu)()(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；：判別斂散；求收斂域；求收斂域；求和函數；求和函數； 級數展開。級數展開。第十二章第十二章一一. 數項級數的審斂法數項級數的審斂法1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性利用部分和數列的極限判

11、別級數的斂散性2. 利用正項級數審斂法利用正項級數審斂法必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nnnulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限13. 任意項級數審斂法任意項級數審斂法為收斂級數為收斂級數1nnu1nnu若若 收斂收斂 ,1nnu稱稱 絕對收斂絕對收斂1nnu若若 發(fā)散發(fā)散 ,1nnu稱稱 條件收斂條件收斂leibniz判別法判別法: 若若,01nnuu且且,0limnnu則交錯級數則交錯級數nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:)7(. 1112分分收收斂斂收收斂斂，證證明明級級數數設設級級數數 nnnnnaa的的斂斂散散性性判判別別交交錯錯級