一階微分方程55374

1、1. 1. 定義定義 其中其中f(x),g(y) 分別是分別是 x ,y 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù) 2.2.分離變量法分離變量法 把方程中的兩個(gè)變量分離開(kāi)來(lái)，使方程的一邊只含有把方程中的兩個(gè)變量分離開(kāi)來(lái)，使方程的一邊只含有 y 的的函數(shù)及函數(shù)及dy，另一邊只含有，另一邊只含有 x 的函數(shù)及的函數(shù)及 dx，然后兩邊積分，從，然后兩邊積分，從而求出微分方程的解而求出微分方程的解 這種方法稱(chēng)為分離變量法這種方法稱(chēng)為分離變量法 形如形如 （1）的一階微分方程，叫做可分離變量的微分方程的一階微分方程，叫做可分離變量的微分方程. )()(ygxfdxdy 3 3步驟步驟(1)分離變量，得分離變量，得 (2)

2、兩邊積分，得兩邊積分，得 dxxfygdy)()(3) 求得積分，得求得積分，得 cxfyg )()(xfygxfyg的的原原函函數(shù)數(shù)分分別別是是其其中中)(,)(1)(),(dxxfygdy)()( )0)( ygxydxdy的的通通解解求求微微分分方方程程2 解解 分離變量，得分離變量，得 ,2xdxydy 兩邊積分，得兩邊積分，得 xdxydy2得得 cxy 2ln,2112xccxeeey 即即 eeyxc21 ，ec 1仍仍是是任任意意常常數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?,01 cec令令得方程的通解為得方程的通解為 2xcey 例例1 1例例 ydxdyxyx的特解的特解的滿(mǎn)足初始條件的滿(mǎn)足初始條件

3、求微分方程求微分方程0101 解解 yxdxdy1010 分離變量，得分離變量，得 dxdyxy1010 兩邊積分，兩邊積分， 得得dxdyxy 1010110ln11010ln110cxy 化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得 cyx 1010，yx代代入入上上式式把把初初始始條條件件01 c11 得得于是所求微分方程的特解為于是所求微分方程的特解為 yx111010 原方程可化為原方程可化為)10ln(1cc 其中其中1. 1. 定義定義形如形如)2()(xyfdxdy 的微分方程的微分方程， 稱(chēng)為稱(chēng)為齊次型微分方程齊次型微分方程 dyxyxdxyxy就就是是齊齊次次型型微微分分方方程程例例如如方方程程0)2

4、()(22 因?yàn)榉匠炭苫癁橐驗(yàn)榉匠炭苫癁?)(21)(2222xyxyxyxyxyxydxdy 2 2解法解法在方程在方程 ( 2 ) 中，引進(jìn)新的未知函數(shù)中，引進(jìn)新的未知函數(shù) ,xyu xu，y 則則，udxduxdxdy 代入方程代入方程(2)，便得可分離變量方程，便得可分離變量方程 ,)(uufdxdux xdxuufdu )(即即 兩邊積分，得兩邊積分，得 xdxuufdu)(求出積分后，求出積分后， ,uxy代代替替再再用用 即得所求齊次型微分方程即得所求齊次型微分方程的通解的通解 例例3 3 .22xxyydxdy 解微分方程解微分方程解解 原方程可化為原方程可化為 12 xyxy

5、dxdy它是齊次型微分方程它是齊次型微分方程 ，xyu 令令代入原方程，得代入原方程，得112 uuuuudxdux分離變量，得分離變量，得 xdxduuu 1兩邊積分，得兩邊積分，得 即即 )(11cucuecceexu 其其中中得得代入上式代入上式將將，xyu xycey 這就是所求微分方程的通解這就是所求微分方程的通解 1lnlnuuxc1 1、定義、定義xxqxp的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)都是都是和和其中其中)()( )0q x當(dāng)時(shí),t方程（方程（3）稱(chēng)為）稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程一階線(xiàn)性非齊次微分方程 方程（方程（3）稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程）稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程方程方程 )()(x

6、qyxpdxdy 稱(chēng)為稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程， (3)，xq時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)( 2 2、一階線(xiàn)性齊次微分方程的通解、一階線(xiàn)性齊次微分方程的通解先討論一階線(xiàn)性齊次微分方程先討論一階線(xiàn)性齊次微分方程 0)( yxpdxdy（4） 的通解的通解 顯然，方程（顯然，方程（4）是可分離變量方程）是可分離變量方程 分離變量后，得分離變量后，得 dxxpydy)( 兩邊積分，得兩邊積分，得 cdxxpyln)(ln這就是一階線(xiàn)性齊次微分方程這就是一階線(xiàn)性齊次微分方程(4)的通解公式的通解公式 注意注意即即 (5-1) dxxpcdxxpceey)(ln)(在用上式進(jìn)行具體運(yùn)算時(shí)，其中的不定積分在用

7、上式進(jìn)行具體運(yùn)算時(shí)，其中的不定積分 dxxp)(只表示只表示p(x)一個(gè)確定的函數(shù)一個(gè)確定的函數(shù).3 3、一階線(xiàn)性非齊次微分方程的解法、一階線(xiàn)性非齊次微分方程的解法常數(shù)變易法常數(shù)變易法 dxxpexcy)()(5) 由方程特點(diǎn)，由方程特點(diǎn)，設(shè)一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為設(shè)一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為對(duì)對(duì)（5）式）式求導(dǎo)得求導(dǎo)得.)()()()()( dxxpdxxpexcxpexcdxdy (6) 將將(5)和和(6)代入方程代入方程(3)并整理得并整理得 dxxpexqxc)()()(由此可得由此可得 cdxexqxcdxxp)()()(將上式代入將上式代入(5)式，得式，得一階線(xiàn)性非齊

8、次微分方程的通解為一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為(5-2) )()()( cdxexqeydxxpdxxp 公式中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的公式中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)一個(gè)原函數(shù) 這種通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程通解中的任意常數(shù)變這種通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線(xiàn)性非齊次方程的通解的方法稱(chēng)易為待定函數(shù)，然后求出線(xiàn)性非齊次方程的通解的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法為常數(shù)變易法公式公式(5-2)也可寫(xiě)成下面的形式也可寫(xiě)成下面的形式 dxxpdxxpdxxpcedxexqey)()()()( (7) 由此可知由此可知：一階線(xiàn)性非齊次方程的通解

9、等于它的一個(gè)特一階線(xiàn)性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和 注意注意: :例例4 4 .)1(1225的的通通解解求求方方程程 xxydxdy解解1 1 (常數(shù)變易法) 對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程為為, 012 xydxdy用分離變量法求得它的通解為用分離變量法求得它的通解為 21)( xcy將上式中的任意常數(shù)將上式中的任意常數(shù)c 換成函數(shù)換成函數(shù)c( (x) ) ，即設(shè)原方程的通解為，即設(shè)原方程的通解為 2)1)( xxcy（8） 則有則有 ),1)(2)1)(2 xxcxxcdxdydyydx將和代入原方程,得.)1()(21 x

10、xc兩邊積分，得兩邊積分，得 .)1(32)(23cxxc 再代入（再代入（8）式，即得所求方程的通解為）式，即得所求方程的通解為 cxxy232)1(32)1(解解2 2 (公式法公式法) ,12)( xxp因因?yàn)闉?)1()(25 xxq代入公式（代入公式（5-25-2），得），得 cdxexeydxxdxx122512)1( cdxexexx)1ln(225)1ln(2)1( cdxxxx2252)1()1()1(.)1(32)1(232cxx 例例5 5 .00)12(12的特解的特解滿(mǎn)足初始條件滿(mǎn)足初始條件求方程求方程 xydxxxydyx解解 ，xxyxdxdy212 原原方方程程

11、可可化化為為對(duì)應(yīng)的齊次方程是對(duì)應(yīng)的齊次方程是02 yxdxdy用分離變量法求得它的通解為用分離變量法求得它的通解為 21xcy 用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的通解為用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的通解為 21)(xxcy )(21)(32xcxxxcy 則則. 1)( xxc，yy得得代入原方程并化簡(jiǎn)代入原方程并化簡(jiǎn)和和把把兩邊積分，得兩邊積分，得 cxxxc 221)(因此，非齊次方程的通解為因此，非齊次方程的通解為 2121xcxy .2101 c，yx得得代代入入上上式式將將初初始始條條件件故所求微分方程的特解為故所求微分方程的特解為 221121xxy 例例6 6 .0)(3 dyyxydx解微分方程解微分方程)0( y設(shè)設(shè)解解 原方程可化為原方程可化為 21yxydydx 將將x 看作看作y 的函數(shù)，則它是形如的函數(shù)，則它是形如 )()(yqxypx 的一階線(xiàn)性非齊次微分方程的一階線(xiàn)性非齊次微分方程 ，ydyydyyp ln1)(因?yàn)橐驗(yàn)?42)(41)(yydyydyeyqdyyp于是由一階線(xiàn)性非齊次方程的通解公式，得于是由一階線(xiàn)性非齊次方程的通解公式，得 )()()( cdyeyqexdyypdyyp,41)41(134ycycyy 或或 cyxy 44這就是所求微分方程的通解這就是所求微分方程的通解 1.可分離變量的微分方程的特點(diǎn)、解法；可分離