A7612高階微分方程

1、1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 電子教案電子教案a23 二階及二階以上的微分方程稱為二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程高階微分方程。二階微分方程的一般形式：二階微分方程的一般形式：),(0),(yyxfyyyyxf 或或主要介紹：主要介紹：(1) 可降階的二階微分方程；可降階的二階微分方程；(2) 二階線性微分方程；二階線性微分方程；(3) 二階歐拉（二階歐拉（euler）方程。）方程。4一、一、型型)()(xfyn 方程右邊僅含自變量方程右邊僅含自變量 x .兩邊逐次積分兩邊逐次積分 n 次次例：例：.2xexy 求解法：求解法：特點(diǎn)：特點(diǎn)：逐次積分法逐次積分法5二、二、型型),(yxfy 方程中

2、不出現(xiàn)未知函數(shù)方程中不出現(xiàn)未知函數(shù) y .求解法：求解法： 變量代換，降階變量代換，降階)(xpy 令令代入方程：代入方程：),(pxfp 為一階微分方程，為一階微分方程，),(1cxp 解得通解：解得通解：解此一階微分方程，解此一階微分方程，.),(21cxdcxy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：, )(xpy ),(1cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：6例題討論例題討論1.求解下列方程：求解下列方程：.yyx 解：解：)(xpy 令令, )(xpy 7三、三、型型),(yyfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：方程右邊不方程右邊不 (明顯明顯) 出現(xiàn)自變量出現(xiàn)自變量 x .求解法：求解法：變量代換，降階變量代換，降階

3、)(ypy 令令代入方程：代入方程：),(pyfpp 為一階微分方程，為一階微分方程，),(1cyp 其通解：其通解：可分離變量可分離變量 xdcyyd),(1 ),(1cy ),(1cydxdyy .2cx )(ypy ,pp y 8例題討論例題討論例例1：的通解。的通解。求求0122 yyy)(ypy 令令解：解：,)(ppyypy 9課外作業(yè)（課外作業(yè)（可降階可降階） 7 6 (a)1（2，4，6，8 ( 4 改成改成 x )）2（2，4），），3（2，3，5）3 (p. 161 ) 7 6 (b) (p. 162 )10117. 高階高階線性線性微分方程微分方程 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都

4、是一次的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的方程，稱為方程，稱為線性線性微分方程微分方程。n 階線性微分方程的階線性微分方程的一般形式一般形式：)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。都是都是，其中其中xfppn,1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱其為稱其為齊次齊次線性微分方程；線性微分方程；時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱其為稱其為非齊次非齊次線性微分方程。線性微分方程。12一、線性微分方程的一、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)二階二階齊次齊次線性微分方程線性微分方程：二階二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程：,0)()( yxqyxpy, )()()(xfy

5、xqyxpy (1)(2)引進(jìn)引進(jìn)算子算子 l ： yxqyxpyyl)()( 記記則則 (1)(2) . 0 yl . )(xfyl 性質(zhì)性質(zhì)(1) l c y = c l y c 常數(shù)常數(shù)(2) l y1 + y2 = l y1 +l y2 .22112211ylcylcycycl 13定理定理1： 設(shè)設(shè) y1, y2 是是 l y = 0 (1) 的兩個解，的兩個解，2211ycycy 也是也是(1)的解，其中的解，其中c1,c2 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。2211ycycl , 01 yl滿足滿足 (1) , 即得證。即得證。問題：問題：2211ycycy 是否就是是否就是(1)的通解？

6、的通解？證：證：由題設(shè)，由題設(shè)，, 02 yl11ylc ,000 22ylc 則則 l y = 0 (1) 的解的疊加原理的解的疊加原理14定義：定義：上的上的是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間設(shè)設(shè)ixyxyn)(),(1n 個函數(shù)，如果存在個函數(shù)，如果存在 n 個不全為零的常數(shù)個不全為零的常數(shù),1nkk使得當(dāng)使得當(dāng) x 在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，有在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，有02211 nnykykyk成立，就稱這成立，就稱這n 個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間 i 內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)；否則，稱為；否則，稱為 線性無關(guān)線性無關(guān)。例：例：1,cos,sin22xx這三個函數(shù)在整個數(shù)軸這三個函數(shù)在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的。上是

7、線性相關(guān)的。15定理定理2：(二階二階齊次齊次線性微分方程線性微分方程通解通解的結(jié)構(gòu)定理的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)設(shè) y1與與 y2 是是 (1) 的兩個線性無關(guān)的特解，的兩個線性無關(guān)的特解，2211ycycy 則則(c1, c2 為任意常數(shù)為任意常數(shù))就是二階齊次線性微分方程就是二階齊次線性微分方程 (1) 的通解。的通解。說明：說明：10. 二階微分方程的二階微分方程的通解通解必須有必須有兩個兩個任意常數(shù)。任意常數(shù)。20. y1與與 y2 是是 (1) 的兩個的兩個解解，且線性無關(guān)且線性無關(guān)。16定理定理3： (二階二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程通解通解的結(jié)構(gòu)定理的結(jié)構(gòu)定理)*y設(shè)設(shè)是二階是

8、二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程 (2) 的的y是其所對應(yīng)的是其所對應(yīng)的齊次齊次線性微分方程線性微分方程的通解的通解 (又稱為又稱為(2)的余函數(shù)的余函數(shù)), 則則*yyy 是是非齊次非齊次線性方程線性方程 (2) 的的通解通解。證：證：, 0 yl *yylyl *ylyl 得證。得證。*yyy 一個一個特解特解，( 形式形式(1) ) 非齊次非齊次(2)通解通解 = 對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次(1)通解通解(2)特解特解),(*xfyl )(0 xf ),(xf 17定理定理4： (廣義迭加原理廣義迭加原理),()()(21xfxfxfyl 設(shè)設(shè)的特解，的特解，是是若若)(1*1xfyly

9、的特解，的特解，是是)(2*2xfyly 的特解。的特解。是是則則)()(21*2*1xfxfylyy ( p. 372 )18課外作業(yè)課外作業(yè) 7 7（a）1（2，5），），2，4 (p. 172 ) 7 7（b）1，3，4*198. 常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次線性微分方程線性微分方程208.8.二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程線性微分方程二階線性微分方程：二階線性微分方程：)()()(xfyxqyxpy 則則均為常數(shù)均為常數(shù)若若),()(,)(qxqpxp 齊次齊次：0 yqypy)(xfyqypy 非齊次非齊次：(1)(2)21一、特征方程一、特征方程討論二階討論二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊

10、次線性微分方程線性微分方程0 yqypy(1)由由(1)的特點(diǎn)，的特點(diǎn)，應(yīng)屬同一類函數(shù)，應(yīng)屬同一類函數(shù)，與與yyy ,用指數(shù)函數(shù)用指數(shù)函數(shù)xrey 求其通解。求其通解。進(jìn)行嘗試，進(jìn)行嘗試，r = ? xrey 是方程是方程 (1) 的解。的解。，設(shè)設(shè)xrey ,xrery 代入方程：代入方程： ,0 xre(*)02 qrpr(*) 稱為稱為 (1) 的的特征方程特征方程。p、q 為常數(shù)為常數(shù) ，,2xrery 22特點(diǎn)：特點(diǎn)： (*) 中中 r 2 , r, r 0 的系數(shù)就是的系數(shù)就是 (1) 的系數(shù)。的系數(shù)。中中yyy, 一元二次方程一元二次方程 (*) 的根的根.2422, 1qppr

11、 (*)02 qrpr0 yqypy微分方程微分方程(1)特征方程特征方程212, 04rrqp 是兩個不相等的實(shí)根；是兩個不相等的實(shí)根；2, 04212prrqp 212, 04rrqp 是兩個相等的實(shí)根；是兩個相等的實(shí)根；是一對共軛復(fù)根，是一對共軛復(fù)根，.24222, 1 ipqipr 23二、特征方程的二、特征方程的根根與微分方程與微分方程 解解的關(guān)系的關(guān)系xrey 設(shè)設(shè)是齊次線性微分方程是齊次線性微分方程(1)的解，的解，,2121xrxreyey xrrxrxreeeyy)(212121 且且常數(shù)，常數(shù)，即即 y1, y2 線性無關(guān)。由定理二，線性無關(guān)。由定理二，(1) 的通解：的通

12、解：.2121xrxrececy (1) 當(dāng)當(dāng),21rr 24(2) 當(dāng)當(dāng)221prr ,2121yeeyxrxr y1, y2 線性相關(guān)，線性相關(guān)，另找另找 y2 ，使與，使與 y1 線性無關(guān)。線性無關(guān)。),(12xuyy 設(shè)設(shè),)(xxu 試設(shè)試設(shè),12xrexy 則則,)1(112xrerxy ,)2(1112xrerrxy 0 yqypy代入代入是否是是否是(1)的的解？解？滿足方程。滿足方程。(1) 的通解：的通解：xrxrexcec21 .)(21xrexcc y)(21rrr ),()(112xuexuyyxr 25(3) 當(dāng)當(dāng)),0(2, 1 ir,)(1xiey ,)(2xi

13、ey xixeey 1由歐拉公式：由歐拉公式： sincosiei 再由解的疊加原理，再由解的疊加原理，,cos)(2121xeyyx ,sin)(2121xeyyxi 也是也是(1)的解，的解， 1y 2y常數(shù)，常數(shù)，且且 21yy (1) 的通解：的通解：)sincos(21xcxceyx ,2211ycycy )sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex (p. 275)260 yqypy求求通解的步驟：通解的步驟：寫出對應(yīng)的特征方程：寫出對應(yīng)的特征方程：(1)(2)(3);02 qrpr求出特征根：求出特征根：;,21rr根據(jù)下表寫出方程根據(jù)下表寫出方程 (1

14、) 的通解：的通解：(1)21rr xrxrececy2121 rrr 21xrexccy)(21 ) 0(2 , 1 ir)sincos(21xcxceyx 27例題討論例題討論例例1：的特解。的特解。求求6)0(, 2)0(,034 yyyyy解：解：28三、推廣到三、推廣到 n 階階常系數(shù)線性微分方程中常系數(shù)線性微分方程中n 階常系數(shù)線性微分方程的一般形式：階常系數(shù)線性微分方程的一般形式：. 01)1(1)( ypypypynnnn為常數(shù)。為常數(shù)。其中其中npp,1解法解法：, 0111 nnnnprprpr解此一元解此一元 n 次代數(shù)方程得次代數(shù)方程得 n 個根，個根，根據(jù)每個根的情況

15、得到對應(yīng)微分方程通解根據(jù)每個根的情況得到對應(yīng)微分方程通解 中一項(xiàng)中一項(xiàng) yi ( i = 1, 2, , n ) ,.2211nnycycycy 通解通解寫出特征方程：寫出特征方程：29特征方程的根特征方程的根 高階微分方程高階微分方程通解中的對應(yīng)項(xiàng)通解中的對應(yīng)項(xiàng) r = r 為單實(shí)根為單實(shí)根 一一項(xiàng)項(xiàng) 兩兩項(xiàng)項(xiàng)r = r為為k重實(shí)根重實(shí)根 k 項(xiàng)項(xiàng) 2 k 項(xiàng)項(xiàng)為為一一對對單單復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1重復(fù)根重復(fù)根為為，kir 21xrec1)sincos(21xcxcex xrkkexcxcxcc)(12321 xxcxccekkx cos)(121 sin)(121xxcxcckk .22

16、11nnycycycy ,21nrrr30課外作業(yè)課外作業(yè) 7 8 (a)1（2，4，5，7），），2（2，4，5） (p. 180 ) 7 8 (b) (p. 181 )1（1，2，5）319. 常系數(shù)非齊次常系數(shù)非齊次線性微分方程線性微分方程329、 二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線性線性微分方程微分方程一般形式：一般形式：)2()(xfyqypy （ p, q 為常數(shù)為常數(shù) ）對應(yīng)齊次微分方程：對應(yīng)齊次微分方程：,0 yqypy其特征方程：其特征方程：.02 qrpr(1)(*)又由非齊次又由非齊次(2)的通解結(jié)構(gòu)知：的通解結(jié)構(gòu)知：.*yyy 如何求如何求*y?有關(guān)。有關(guān)。與與)(*x

17、fy對兩種常見的對兩種常見的 f (x) , 利用利用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求. *y33.)()(型型一、一、xpexfmx 分析：分析：f (x) 是是m 次多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，次多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，推測推測 xexqy )(* 其中其中 q(x) 是待定的是待定的 x 的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。 為代入方程，為代入方程，xxexqexqy )()(* , )()(xqxqex , )()(2)(*2xqxqxqeyx )2()(xfyqypy 3422qqqex )()(xfxpemx )(xq （）即為即為 q(x) 所需滿足的條件。所需滿足的條件。分三種情況討論：分三種情況討論：

18、不是不是 特征方程特征方程02 qrpr的根。的根。，即即02 qp 要使（要使（）成立，）成立，必須必須 q(x) 與與 pm(x) 同次，同次，,)()(1110mmmmmbxbxbxbxqxq .)(*xmexqy yqypy qqeqqpexx )()2(xqp )()(2xqqp 代入方程：代入方程：將將xexqy )(* )(xpm 35)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm （） 是是 特征方程特征方程02 qrpr的的單根單根。, 0202 pqp 但但，即即)()()2()(xpxqpxqm （）要使（要使（）成立，必須）成立，必須同次，同次，與與)()(xpx

19、qm 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，為為即即1)( mxq),()()(0mmmbxbxxqxxq 令令.)(*xmexqxy 36)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm （） .)(2*xmexqxy （）是是 特征方程特征方程02 qrpr的二重根。的二重根。, 0202 pqp 且且，即即)()(xpxqm 要使（要使（）成立，必須）成立，必須同次，同次，與與)()(xpxqm 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，為為即即2)( mxq),()()(022mmmbxbxxqxxq 令令37型，型，對對)()(xpexfmx 求其特解，求其特解，.)(*xmkexqxy 則令則令 當(dāng)當(dāng) 不是特征方程的

20、根時(shí)，取不是特征方程的根時(shí)，取 當(dāng)當(dāng) 是特征方程的單根時(shí)，取是特征方程的單根時(shí)，取 當(dāng)當(dāng) 是特征方程的二重根時(shí)，取是特征方程的二重根時(shí)，取k = 0;k = 1;k = 2.38例題討論例題討論例例1： 求下列各方程的通解：求下列各方程的通解：1. 2364 xyyy解：解： 求出對應(yīng)齊次微分方程的通解求出對應(yīng)齊次微分方程的通解 求原方程的特解求原方程的特解:y:*y39型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 二、二、)()(次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式是是次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是nxplxpnl則由歐拉公式及類似前述分析，則由歐拉公式及類似前述分析，)2()(xfyqypy 的特解為：的特

21、解為：sin)(cos)(*)2()1(xxrxxrexymmxk , ),(maxnlm i 當(dāng)當(dāng)不是特征方程的根時(shí)，不是特征方程的根時(shí)，取取 k = 0 ;當(dāng)當(dāng) i 是特征方程的根時(shí)，是特征方程的根時(shí)，取取 k = 1.02 qrpr特征方程特征方程40例題討論例題討論例：例：.sin24xeyyx 求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解：1.41課外作業(yè)課外作業(yè) 11 9 (a)1（2，3，4，6），），2（2，5），），6，(一一)(二二)1（8，10，13），），2（1） 11 9 (b)1，54210. 歐拉方程歐拉方程4310. 歐拉方程歐拉方程對有些特殊的對有些特殊的變系數(shù)

22、變系數(shù)線性線性微分方程，微分方程，可以通過變量代換化成常系數(shù)線性微分可以通過變量代換化成常系數(shù)線性微分方程，從而求得其解。方程，從而求得其解。歐拉方程就是其中一種。歐拉方程就是其中一種。形如：形如：)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ),(21常數(shù)常數(shù)為為nppp的方程稱為的方程稱為歐拉方程歐拉方程。44)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí)(x 0 時(shí)類似討論時(shí)類似討論) , 作變換，作變換，,ln,xtext 令令代入方程，代入方程，xdydy ;tdydyx )1(22tdydxxdddxydy ;222tddytdydyx 同

23、理，同理，;2322333tddytdydtdydyx 解法：解法：xdtdtdyd ,1tdydx tdydx21 )(1222tdydtdydx xdtdtdydx 22145引進(jìn)算子：引進(jìn)算子：,tddd ,tdydyd 則則tdydyx = d y ,tdydtdydyx 222,)1(2yddydyd tdydtdydtdydyx2322333 ;)2( )1(yddd 一般：一般：ykddddyxkk)1()2( )1()( ), 2, 1(nk ydydyd2323 ,222tddd 46得到以得到以 t 為自變量的為自變量的常系數(shù)常系數(shù)線性微分方程，線性微分方程，求出方程通解，

24、求出方程通解，xtln 回代，即得回代，即得原歐拉方程的通解。原歐拉方程的通解。最后用最后用)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令yndddd)1()2( )1( 方程變形為方程變形為ynddddp)()2( )1(1 yddpn)1(2 ydpn 1 )(tef ypn 47例題討論例題討論例例1：xxyxyy22 求求滿足初始條件滿足初始條件的特解。的特解。3, 111 xxyy48課外作業(yè)課外作業(yè) 7 9 (a)1（2，3，6）, 3（1，3，4）1（5） ( p. 190 ) 7 9 (b) ( p. 191 )49定義與方程定義與方程 索引索引可降階

25、的二階微分方程可降階的二階微分方程一一、型型)()(xfyn 方程右邊僅含自變量方程右邊僅含自變量 x .兩邊逐次積分兩邊逐次積分 n 次次求解法：求解法：特點(diǎn)：特點(diǎn)：逐次積分法逐次積分法50二二、型型),(yxfy 方程中不出現(xiàn)未知函數(shù)方程中不出現(xiàn)未知函數(shù) y .求解法求解法：變量代換，降階變量代換，降階)(xpy 令令代入方程代入方程：),(pxfp 為一階微分方程為一階微分方程，),(1cxp 解得通解：解得通解：解此一階微分方程，解此一階微分方程，.),(21cxdcxy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：, )(xpy ),(1cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：51三、三、型型),(yyfy 特

26、點(diǎn)：特點(diǎn)：方程右邊不方程右邊不 (明顯明顯) 出現(xiàn)自變量出現(xiàn)自變量 x .求解法：求解法：變量代換，降階變量代換，降階)(ypy 令令代入方程：代入方程：),(pyfpp 為一階微分方程為一階微分方程，),(1cyp 其通解：其通解：可分離變量可分離變量 xdcyyd),(1 ),(1cy ),(1cydxdyy .2cx )(ypy ,pp y 52二階二階齊次齊次線性微分方程線性微分方程：二階二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程：,0)()( yxqyxpyyl, )()()(xfyxqyxpyyl (1)(2)定理定理1： 設(shè)設(shè) y1, y2 是是 l y = 0 (1) 的兩個解，

27、的兩個解，2211ycycy 也是也是(1)的解，其中的解，其中c1,c2 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。則則 l y = 0 (1) 的解的疊加原理的解的疊加原理53定理定理2：(二階二階齊次齊次線性微分方程線性微分方程通解通解的結(jié)構(gòu)定理的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)設(shè) y1與與 y2 是是 (1) 的兩個線性無關(guān)的特解，的兩個線性無關(guān)的特解，2211ycycy 則則(c1, c2 為任意常數(shù)為任意常數(shù))就是二階齊次線性微分方程就是二階齊次線性微分方程 (1) 的通解。的通解。定義：定義：上的上的是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間設(shè)設(shè)ixyxyn)(),(1n 個函數(shù)，如果存在個函數(shù)，如果存在 n 個不全為零的常數(shù)個不全為

28、零的常數(shù),1nkk使得當(dāng)使得當(dāng) x 在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，有在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，有02211 nnykykyk成立，就稱這成立，就稱這n 個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間 i 內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)；否則，稱為；否則，稱為 線性無關(guān)線性無關(guān)。54定理定理3： (二階二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程通解通解的結(jié)構(gòu)定理的結(jié)構(gòu)定理)*y設(shè)設(shè)是二階是二階非齊次非齊次線性微分方程線性微分方程 (2) 的的y是其所對應(yīng)的是其所對應(yīng)的齊次齊次線性微分方程線性微分方程的通解的通解 (又稱為又稱為(2)的余函數(shù)的余函數(shù)), 則則*yyy 是是非齊次非齊次線性方程線性方程 (2) 的的通解通解。一個一個特解特解，( 形式

29、形式(1) )*yyy 非齊次非齊次(2)通解通解 = 對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次(1)通解通解(2)特解特解55定理定理4： (廣義迭加原理廣義迭加原理),()()(21xfxfxfyl 設(shè)設(shè)的特解，的特解，是是若若)(1*1xfyly 的特解，的特解，是是)(2*2xfyly 的特解。的特解。是是則則)()(21*2*1xfxfylyy ( p. 372 )56二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性微分方程線性微分方程0 yqypy(*)02 qrpr特征方程：特征方程：21rr xrxrececy2121 rrr 21xrexccy)(21 ) 0(2 , 1 ir)sincos(21xcxceyx 特征方程的根特征方程的根微分方程的通解微分方程的通解570111 nnnnprprprn 階常系數(shù)線性微分方程的一般形式：階常系數(shù)線性微分方程的一般形式：. 01)1(1)( ypypypynnnn為常數(shù)。為常數(shù)。其中其中npp,1特征方程特征方程.2211nnycycycy 通解通解58特征方程的根特征方程的根 高階微分方程高階微分方程通解中的對