吳92直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算法

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法第九章第九章 二重積分二重積分( (一一) )利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分( (二二) )利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分-利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分3/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x )(2x ,ba(1)x型域型域)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí):x型型,y型區(qū)域型區(qū)域

2、2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明（一）直角坐標(biāo)系下計(jì)算（一）直角坐標(biāo)系下計(jì)算【x型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)】 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .4/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法,dyc ).()(21yxy (2)y型域型域)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性

3、三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明5/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法(3)既非既非x型域也非型域也非y型域型域如圖如圖在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是是x型域型域(d(d1 1也是也是y型域型域) )則必須分割則必須分割. .321 dddd由二重積分積分區(qū)域的可加性得由二重積分積分區(qū)域的可加性得3d2d1d2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)

4、算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明6/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)表示表示曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積. . ddyxf ),(a.回顧二重積分幾何意義回顧二重積分幾何意義d),(yxfz oyxz)(0 xa),( yxfz)(1xy)(2xyab0 xdd三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算b.回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積已知平行截面面積已知,立體體積求法立體體積求法:( )bava

5、 x dx dx是是 型型域域1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明2211( )( )( )( )( , )( , )( , ).bxbxaxaxdf x y df x y dy dxdxf x y dy 2010()00() ()(, ) xxa xf xy dy ),()( )()(21 xxdyyxfxa 化二重化二重為二次為二次7/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法公式公式(1)計(jì)計(jì)算算方方法法實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)了了二二重重積積分分的的一一種種通通過(guò)過(guò)體體積積作作為為過(guò)過(guò)渡渡 , .)( 來(lái)求解來(lái)求解單積分單積分通過(guò)計(jì)算兩次定積分通過(guò)計(jì)算兩次定積分投投影影

6、穿穿線線法法定定限限：二二重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算關(guān)關(guān)鍵鍵是是 ).()(, :21xyxbxadx aboxydx)(1xy )(2xy abdx )(1x )(2x dy ddyxf ),(),(yxf2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明2211( )( )( )( )( , )( , )( , ).bxbxaxaxdf x y df x y dy dxdxf x y dy 公式公式1 的二次積分的二次積分后對(duì)后對(duì)上式稱為先

7、對(duì)上式稱為先對(duì)xy8/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法).()( , 21yxydyc xyod yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若積積分分域域?yàn)闉?y ddxdyyxf),( . 的的二二次次積積分分后后對(duì)對(duì)即即化化二二重重積積分分為為先先對(duì)對(duì)yx )()(21),(yydxyxf dcdy公式公式22.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明公式公式9/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法(1

8、) 【二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為】畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程根據(jù)積分域特征及被積函數(shù)，確定積分次序根據(jù)積分域特征及被積函數(shù)，確定積分次序. .根據(jù)上述結(jié)果，根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分化二重積分為二次積分并計(jì)算。并計(jì)算。3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明2.2.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1.x1.x型型,y,y型區(qū)域型區(qū)域3.3.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明(2) 使用公式使用公式1必須是必須是x型域，型域， 公式公式2必須是必須是若積分區(qū)域

9、既是若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y 型區(qū)域型區(qū)域 , 則為計(jì)算方便則為計(jì)算方便, ,可可選擇積分次序選擇積分次序。y型域型域.若積分域復(fù)雜若積分域復(fù)雜,可分成若干可分成若干x型型y型區(qū)域型區(qū)域10/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【類似例【類似例1】.2, 1,所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域及及：由：由其中其中計(jì)算計(jì)算xyxydxydd 【解【解】看作看作x型域型域 xyxdx121:22112xyxdx 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1dx三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下

10、計(jì)算d既是既是x型域型域又是又是y型域型域211xdxyddxxydy 211xxydy dx 11/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【解【解】看作看作y型域型域 221:xyydy22212yxydy 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2dy12三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算221ydxyddyxydx 221yxydx dy 12/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【例【例2】所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域及及：由：由其中其中計(jì)算計(jì)算2,2 xyxydxyd

11、d 【分析】【分析】d本身本身是是y型域型域先求交點(diǎn)先求交點(diǎn)(4,2) (1,-1) 2 2或或由由 xyxy三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算法法1 221:2yxyydy 2212yydxydxdyxyd 855 13/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法法法2視為視為x型域型域 xyxxd10:1 xyxxd241:221 ddd 則必須分割則必須分割 21dddxyd xxxxxydydxxydydx24110 計(jì)算較繁計(jì)算較繁三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序

12、二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算【例【例2】所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域及及：由：由其中其中計(jì)算計(jì)算2,2 xyxydxydd 14/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【補(bǔ)例【補(bǔ)例1 1】. 1, 1,: ,122所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域和和由由計(jì)算計(jì)算 yxxyddyxyd 【解【解】 d既是既是x型域又是型域又是y型域型域 111:yxxdx法法1112211xdxyxy dy 上上式式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xd dx xy y三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角

13、坐標(biāo)系下計(jì)算112222111(1)2xdxxy dxy 312212112 (1) 23xxydx 1311 212 3xdx 4111 13 4xx 111(1)(1)344 先對(duì)先對(duì)x積分更繁積分更繁15/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法法法2 yxydy111: ydxyxydy122111原式原式注意到先對(duì)注意到先對(duì)x 的積分較繁，故應(yīng)用法的積分較繁，故應(yīng)用法1 1較方便較方便111yoy=xd1xy注意兩種積分次序的計(jì)算效果！注意兩種積分次序的計(jì)算效果！三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)

14、系下計(jì)算16/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【解【解】 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算d既是既是x型域又是型域又是y型域型域把把d當(dāng)作當(dāng)作y型域，先型域，先x x后后y y積分積分練習(xí)練習(xí)17/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【小結(jié)【小結(jié)】以上例子說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，以上例子說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便見(jiàn)需恰當(dāng)選擇積分次序；為簡(jiǎn)便見(jiàn)需恰

15、當(dāng)選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域既要考慮積分區(qū)域d的形狀，的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性又要考慮被積函數(shù)的特性( (先對(duì)先對(duì)x x易積就后積易積就后積y,y,當(dāng)當(dāng)y y型區(qū)域型區(qū)域) )三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算18/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【練習(xí)【練習(xí)1 1】 2, 2的面積的面積所圍區(qū)域所圍區(qū)域應(yīng)用二重積分求由曲線應(yīng)用二重積分求由曲線dxyxy 【解【解】 據(jù)二重積分的性質(zhì)據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）（幾何意義） ddxdy 交點(diǎn)交點(diǎn) 22xyxy)4 , 2( )1

16、, 1(， 221:2xyxxdx 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算19/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【練習(xí)【練習(xí)2 2】計(jì)算計(jì)算 ddxdyyysin其其中中 d 是由直線是由直線 y=x 及拋物線及拋物線 y2 = x 所圍成所圍成oxy12xy xy 1【解【解】 yydxyydyi2sin10 102)(sindyyyyy 1010sinsinydyyydy. 1sin1)1sin1(cos1cos1 三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利

17、用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算先先y積不出，故先積不出，故先x后后y，即，即y型域型域20/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【補(bǔ)例補(bǔ)例2 2 】. 10 , 10:,|2 yxddxyid為為其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分 【解【解】 當(dāng)被積函數(shù)中有絕對(duì)值時(shí)，要考當(dāng)被積函數(shù)中有絕對(duì)值時(shí)，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對(duì)值符號(hào)。慮積分域中不同范圍脫去絕對(duì)值符號(hào)。:212dddxy和和分為兩部分分為兩部分將將 oxy112xy 1d2d i 1)(2ddxy 2)(2ddyx 101154 分析分析三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利

18、用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算1130 21/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【類似例【類似例5】 求兩個(gè)底圓半徑都等于求兩個(gè)底圓半徑都等于r的直交的直交【解【解】xyzrro 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222ryx 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為 dyxxrvdd82222220drxrxy xxrrd)(8022 3316r 222rzx 22xrz 2200:),(xryrxdyxx08drx 222ryx222rzxd圓柱面所

19、圍成的立體的體積圓柱面所圍成的立體的體積v.三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算22/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法類似例類似例4交換二次積分交換二次積分 的積分次序的積分次序. 102),(xxdyyxfdx解：解：題設(shè)積分限題設(shè)積分限:, 102xyxx 可改寫為可改寫為:, 10yxyy 所以所以 yyxxdxyxfdydyyxfdx.),(),(10102三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算交換積分次

20、序：交換積分次序： dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y 型區(qū)域型區(qū)域 , 目的為方便計(jì)算，或題目要求。目的為方便計(jì)算，或題目要求。23/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法補(bǔ)例補(bǔ)例3交換二次積分交換二次積分 21201020),(),(2xxxdyyxfdxdyyxfdx的積分次序的積分次序.解：解： 積分限積分限: xyxxxyx20, 2120, 102可改寫為可改寫為yxyy 211, 102所以所以原式原式.),(102112dxyxfdyyy 三、

21、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算24/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法【練習(xí)練習(xí)3 3】交換下列積分順序交換下列積分順序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxi【解解】 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,020:2211 xyxdx822 yx2d22yxo21d212yx 2 2280222:xyxdx21ddd 將將 :d視為視為y型區(qū)域型區(qū)域 , 則則282yxy 20 y dyxyxfidd),( 282d),(yyxyxf 20dy三、利用對(duì)稱性奇

22、偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算25/299.29.2 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法三、利用對(duì)稱性奇偶性三、利用對(duì)稱性奇偶性二、交換二次積分次序二、交換二次積分次序一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下計(jì)算xyo設(shè)設(shè)d 位于位于x 軸上方的部分為軸上方的部分為d1 1(1)( ,)( , ),f xyf x y若若(2)( ,)( , ),f xyf x y 若若 ddyxf ),(0),( ddyxf 1),(2ddyxf 1、積分區(qū)域、積分區(qū)域d關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱, ,則則則則1dd2、積分區(qū)域、積分區(qū)域d關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱, ,被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為為偶函數(shù)偶函數(shù)函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于y為為奇函數(shù)，奇函數(shù)，設(shè)設(shè)d 位于位于y 軸右