天體運(yùn)動問題的基本模型與方法

1、天體運(yùn)動問題的基本模型與方法陜西省寶雞市陳倉區(qū)教育局教研室邢彥君天體運(yùn)行問題的分析與求解，是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，問題的分析與求解的關(guān)鍵是建模能力。 一、基本模型 計算天體間的萬有引力時，將天體視為質(zhì)點(diǎn)，天體的全部質(zhì)量集中于天體的中心；一天體繞另一天體的穩(wěn)定運(yùn)行視為勻速圓周運(yùn)動；研究天體的自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，將天體視為均勻球體。 二、基本規(guī)律 1天體在軌道穩(wěn)定運(yùn)行時，做勻速圓周運(yùn)動，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的天體，在半徑為r的軌道上以速度v勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律及萬有引力

2、定律有：。這就是分析與求解天體運(yùn)行問題的基本關(guān)系式，由于有線速度與角速度關(guān)系、角速度與周期關(guān)系，這一基本關(guān)系式還可表示為：或。 2在天體表面，物體所受萬有引力近似等于所受重力。設(shè)天體質(zhì)量為M，半徑為R，其表面的重力加速度為g，由這一近似關(guān)系有：，即。這一關(guān)系式的應(yīng)用，可實(shí)現(xiàn)天體表面重力加速度g與的相互替代，因此稱為“黃金代換”。 3天體自轉(zhuǎn)時，表面各物體隨天體自轉(zhuǎn)的角速度相同，等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力最大。對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，式中N為天體表面對物體的支持力。如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出

3、，“甩”出的臨界條件是：N=0，此時有：，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由及可計算出天體不瓦解的最小密度。 三、常見題型 1估算天體質(zhì)量問題 由關(guān)系式可以看出，對于一個天體，只要知道了另一天體繞它運(yùn)行的軌道半徑及周期，可估算出被繞天體的質(zhì)量。 例1據(jù)媒體報道，嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高200km，運(yùn)行周期為127分鐘。若還知道引力常量和月球半徑，僅利用以上條件不能求出的是 A月球表面的重力加速度B月球?qū)πl(wèi)星的吸引力 C衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度D衛(wèi)星繞月運(yùn)行的加速度 解析：設(shè)

4、月球質(zhì)量為M，半徑為R，月面重力加速度為g，衛(wèi)星高度為h，運(yùn)行周期為T，線速度為v，加速度為a，月球?qū)πl(wèi)星的吸引力為F。 對于衛(wèi)星的繞月運(yùn)行，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知月球的質(zhì)量M。由“黃金代換”有：，由這兩式可求知月面重力加速度g。由線速度的定義式有：，由此式可求知衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度。由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知繞月運(yùn)行的加速度。由萬有引力定律有：，由于不知也不可求知衛(wèi)星質(zhì)量m，因此，不能求出月球?qū)πl(wèi)星的吸引力。故，本題選B。 2估算天體密度問題 若已知天體的近“地”衛(wèi)星（衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑）的運(yùn)行周期，可以估算出天體

5、的密度。 例2天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期約為1.4小時，引力常量G6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 A1.8×103kg/m3        B5.6×103kg/m3      C1.1×104kg/m3      &#

6、160; D2.9×104kg/m3 解析：對于近地衛(wèi)星饒地球的運(yùn)動有：，而，代入已知數(shù)據(jù)解得：=2.9×104kg/m3。本題選D 3運(yùn)行軌道參數(shù)問題 對于做圓周運(yùn)動的天體，若已知它的軌道半徑，可以計算它的運(yùn)行線速度、角速度、周期等運(yùn)行參數(shù)，并且可以看出，這些參數(shù)取決于軌道半徑。 例3最近，科學(xué)家在望遠(yuǎn)鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運(yùn)動一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100陪。假定該行星繞恒星運(yùn)行的軌道和地球繞太陽運(yùn)行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有 A恒

7、星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比         B恒星密度與太陽密度之比 C行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比         D行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比 解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得：，由題意可知，能求出恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比。由及題意可知，能求出行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比。本題選AD。 4人造地球衛(wèi)星問題 人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道的中心與地球球心重合。同步通信衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合，運(yùn)行的角速度

8、（或周期）與地球的自傳角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地衛(wèi)星的軌道半徑與地球半徑相等。 例4已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響 （1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式； （2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期 解析：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度。設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，在地球表面附近滿足 ，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力等于它受到的萬有引力，即 ，解得：； （2）對于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，而，解得： 例5某顆地球同步衛(wèi)星

9、正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽照射的此衛(wèi)星。試問春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。  解析：如圖1所示，E為地球赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。由圖知春分那天日落后，當(dāng)衛(wèi)星由位置S運(yùn)動到S/位置過程中，恰好處于地球的陰影區(qū)域，衛(wèi)星無法反射陽光，觀察者看不到衛(wèi)星。設(shè)地球質(zhì)量、衛(wèi)星質(zhì)量分別為M、m，衛(wèi)星軌道及地球半徑分別為r、R，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由幾何關(guān)系有：，觀察不到衛(wèi)星的時間為：，在地球表面有：

10、。解得：。 5“相遇”問題 若某天體有兩顆軌道共面的衛(wèi)星，從某次它們在天體中心同側(cè)與天體中心共線（兩衛(wèi)星相距最近）到下次出現(xiàn)這一情形的時間與兩衛(wèi)星角速度、間滿足關(guān)系：,。 例6如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為 h。已知地球半徑為 R，地球自轉(zhuǎn)角速度為o，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。   （1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。 （2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？ 解析：（1）對

11、衛(wèi)星B繞地球的運(yùn)行，由萬有引力定律和牛頓第二定律有： ，在地面有：，解得：。 （2）由題意應(yīng)有：，而，由于衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，故：，解得： 6外星上的物理問題       若已知某天體的半徑及質(zhì)量，由黃金代換式可求出天體表面的重力加速度，此后可運(yùn)用有關(guān)物理規(guī)律求解在外星表面的進(jìn)行的與重力加速度有關(guān)的物理問題。 這類問題的另一形式是由運(yùn)動學(xué)公式，根據(jù)運(yùn)動量求解出天體表面的重力加速度，然后由黃金代換式及基本關(guān)系式求解天體的其它參量。 例7在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再

12、經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為vo，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞o的均勻球體。 解析：以M表示火星的質(zhì)量，m表示火星表面處某一物體的質(zhì)量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火星對它的萬有引力，故有：；以m表示火星的衛(wèi)星的質(zhì)量，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：。 設(shè)著陸器第二次落到火星表面時的速度為v，它的豎直分量為v1，則水平分量仍為vo，由于著陸器第一次反彈后在最高點(diǎn)時的豎直

13、分速度為零，故有：， 。解以上各式解得 ：。 7變軌問題 飛船或衛(wèi)星從地面發(fā)射時，一般先將其發(fā)射到距地球較近的軌道上做圓周運(yùn)動，再在適當(dāng)位置實(shí)施變軌，使其離開原來的圓周軌道，在半長軸較大的橢圓軌道運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)行至橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)時再次實(shí)施變軌，使其在以橢圓半長軸為半徑的圓軌道上做圓周運(yùn)動，這個軌道就是飛船或衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行或工作軌道。 還有一類變軌問題：在某確定軌道（半徑一定）上圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，由于某種原因的影響，若速度發(fā)生了變化，由基本關(guān)系式可以得出：，由此可以看出，當(dāng)衛(wèi)星速度變化時，軌道半徑隨之變化。 例82008年9月25日至28日我國成功實(shí)施了“神舟”七號載人航天飛行并實(shí)現(xiàn)了航天員首次出艙。如圖3所示，飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點(diǎn)343千米處點(diǎn)火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是：  A飛船在變軌前后的機(jī)械能相等 B飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài) C飛船在此圓軌道上運(yùn)動的角速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動的角速度 D飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時的加速度大于變軌后圓軌道運(yùn)動的加速度 解析：飛船變軌前后，由于推進(jìn)火箭的做功，飛船的機(jī)械能不守恒