人教A版必修3課時(shí)提升作業(yè)(二十一) 3.3.2

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(二十一)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.與均勻隨機(jī)數(shù)特點(diǎn)不符的是()a.它是0,1內(nèi)的任何一個實(shí)數(shù)b.它是一個隨機(jī)數(shù)c.出現(xiàn)的每一個實(shí)數(shù)都是等可能的d.是隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)【解析】選d.a,b,c是均勻隨機(jī)數(shù)的定義,均勻隨機(jī)數(shù)的均勻是“等可能”的意思,并不是“隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)”.2.設(shè)x是0,1內(nèi)的一個均勻隨機(jī)數(shù),經(jīng)過變換y=5x+1,則x=15對應(yīng)變換成的均勻隨機(jī)數(shù)是()a.0b.2c.4d.5【解析】選b.當(dāng)x=15時(shí),y=5×15+1=2.3.設(shè)x1是0,1內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),x2是-2,1內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)

2、,則x1與x2的關(guān)系是()a.x2=2x1-2b.x2=3x1-2c.x2=3x1+2d.x2= x1-2【解析】選b.注意到-2,1的區(qū)間長度是0,1的區(qū)間長度3倍,因此設(shè)x2=3x1+b(b是常數(shù)),再用兩個區(qū)間中點(diǎn)的對應(yīng)值,得當(dāng)x1=12時(shí),x2=-12,所以-12=3×12+b,得b=-2.因此x1與x2的關(guān)系式是x2=3x1-2.4.如圖,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為23,則陰影區(qū)域的面積為()a.43b.83c.23d.無法計(jì)算【解析】選b.因?yàn)閟陰影s正方形=23,所以s陰影=23s正方形=83.5.在

3、區(qū)間-1,1上隨機(jī)地取一個數(shù)x,f(x)=2x的值介于12到1之間的概率為()a.14b.13c.12d.23【解析】選c.由12<2x<1得-1<x<0,所以f(x)=2x的值介于12到1之間的概率為p=0-(-1)1-(-1)=12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)x,y是兩個0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),則0x+y1的概率為()a.12b.14c.29d.316【解析】選a.如圖所示,所求的概率為p=s陰影s正方形=12.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在區(qū)間-1,2上隨機(jī)取一個數(shù)x,則|x|1的概率為.【解析】由|x|1,得-1x1.由幾何概型的概率求法知,所求的概率p=區(qū)間-1,

4、1的長度區(qū)間-1,2的長度=23.答案：237.在邊長為2的正三角形abc內(nèi)任取一點(diǎn)p,則使點(diǎn)p到三個頂點(diǎn)的距離至少有一個小于1的概率是.【解析】以a,b,c為圓心,以1為半徑作圓,與abc交出三個扇形,當(dāng)p落在其內(nèi)時(shí)符合要求.所以p=3×(12×3×12)34×22=36.答案：368.在圓心角為90°的扇形中,以圓心o為起點(diǎn)作射線oc,使得aoc和boc都不小于30°的概率為.【解析】作aoe=bod=30°,如圖所示,隨機(jī)試驗(yàn)中,射線oc可能落在扇面aob內(nèi)任意一條射線上,而要使aoc和boc都不小于30°,

5、則oc落在扇面doe內(nèi),所以所求概率p=13.答案：13三、解答題(每小題10分,共20分)9.在長為14cm的線段ab上任取一點(diǎn)m,以a為圓心,以線段am為半徑作圓.用隨機(jī)模擬法估算該圓的面積介于9cm2到16cm2之間的概率.【解題指南】圓的面積只與半徑有關(guān),故此題為與長度有關(guān)的幾何概型.解答本題時(shí)只需產(chǎn)生一組均勻隨機(jī)數(shù).【解析】設(shè)事件a表示“圓的面積介于9cm2到16cm2之間”.(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)a1=rand；(2)經(jīng)過伸縮變換a=14a1得到一組0,14上的均勻隨機(jī)數(shù)；(3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)n和3,4內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)n1(即滿足3a4的個數(shù))；(4)

6、計(jì)算頻率fn(a)=n1n,即為概率p(a)的近似值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在一個邊長為3cm的正方形內(nèi)部畫一個邊長為2cm的正方形,向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn),用隨機(jī)模擬的方法求所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率.【解析】設(shè)事件a=所投點(diǎn)落入小正方形內(nèi).用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),a1=rand,b1=rnad.經(jīng)過平移和伸縮變換,a=3a1-1.5,b=3b1-1.5,得兩組-1.5,1.5上的均勻隨機(jī)數(shù).統(tǒng)計(jì)落入大正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)n(即上述所有隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的點(diǎn)(a,b)的個數(shù))及落入小正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)n1(即滿足-1<a<1且-1<b<1的點(diǎn)(a,b)的個數(shù)).計(jì)算n1n

7、,即為概率p(a)的近似值.10.現(xiàn)向如圖所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢,用隨機(jī)模擬的方法計(jì)算飛鏢落在陰影部分的概率,陰影部分由直線6x-3y-4=0和x=1,y=-1圍成.【解題指南】要確定飛鏢落點(diǎn)位置,需要確定兩個坐標(biāo)x,y,可用兩組均勻隨機(jī)數(shù)來表示點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】記事件a=飛鏢落在陰影部分.(1)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),x1=rand,y1=rand.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換,x=2(x1-0.5),y=2(y1-0.5)得到兩組-1,1上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)n及落在陰影部分的點(diǎn)數(shù)n1(滿足6x-3y-4>0的點(diǎn)(x,y)的個數(shù)).(4)計(jì)算頻率f

8、n(a)=n1n,即為飛鏢落在陰影部分的概率的近似值.【一題多解】本題還可以采用以下方法利用幾何概型的公式：由于隨機(jī)地投擲飛鏢,飛鏢落在正方形內(nèi)每一個點(diǎn)的機(jī)會是等可能的,且結(jié)果有無限多個,所以是幾何概型.陰影部分的面積為s1=12·56·53=2536,又正方形的面積s=4.所以飛鏢落在陰影部分的概率為p=25364=25144.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.如圖,在aob中,已知aob=60°,oa=2,ob=5,在線段ob上任取一點(diǎn)c,則aoc為鈍角三角形的概率為()a.0.6b.0.4c.0.2d.0.1【解題指南】試驗(yàn)發(fā)生包含的事

9、件對應(yīng)的是長度為5的一條線段,滿足條件的事件是組成鈍角三角形,包括兩種情況,第一種aco為鈍角,第二種oac為鈍角,根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果.【解析】選b.試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對應(yīng)的是長度為5的一條線段,滿足條件的事件是組成鈍角三角形,包括兩種情況：第一種aco為鈍角,這種情況的邊界是aco=90°的時(shí)候,此時(shí)oc=1,所以這種情況下,滿足要求的是0<oc<1.第二種oac為鈍角,這種情況的邊界是oac=90°的時(shí)候,此時(shí)oc=4,所以這種情況下,滿足要求的是4<oc<5.綜合兩種情況,若aoc為鈍角三角形,則0<oc<1或4<o

10、c<5.所以概率p=25=0.4.【誤區(qū)警示】根據(jù)條件,aoc為鈍角三角形,但并沒有指出哪一個角為鈍角,所以解題時(shí)可能會只考慮一種情況,而導(dǎo)致錯誤的結(jié)論為0.2.2.如圖所示,在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木塊,上面畫了小、中、大三個同心圓,半徑分別為2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投鏢,設(shè)鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)不算,可重投,記事件a=投中大圓內(nèi),事件b=投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi),事件c=投中大圓之外.(1)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),a1=rand,b1=rand.(2)經(jīng)過伸縮和平移變換,a=16a1-8,b=16b1-8,得到兩組-8,8內(nèi)的均勻

11、隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)投在大圓內(nèi)的次數(shù)n1(即滿足a2+b2<36的點(diǎn)(a,b)的個數(shù)),投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)n2(即滿足4<a2+b2<16的點(diǎn)(a,b)的個數(shù)),投中木板的總次數(shù)n(即滿足上述-8<a<8,-8<b<8的點(diǎn)(a,b)的個數(shù)).則概率p(a),p(b),p(c)的近似值分別是()a.n1n,n2n,n-n1nb.n2n,n1n,n-n2nc.n1n,n2-n1n,n2nd.n2n,n1n,n1-n2n【解析】選a.p(a)的近似值為n1n,p(b)的近似值為n2n,p(c)的近似值為n-n1n.【延伸探究】若本題條件不變,求(1)

12、投中大圓內(nèi)的概率是多少?(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少?(3)投中大圓之外的概率是多少?【解析】=s正方形=162=256(cm2)a=s大圓=×62=36(cm2)b=s中圓-s小圓=×42-×22=12(cm2)c=s正方形-s大圓=256-36(cm2).由幾何概型的概率公式得：(1)p(a)=a=36256=964,(2)p(b)=b=12256=364,(3)p(c)=c=256-36256=1-964.二、填空題(每小題5分,共10分)3.利用計(jì)算器在0,1上產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)x,經(jīng)過變換y=mx+2,使得x=23時(shí),對應(yīng)的變換出的均勻隨機(jī)數(shù)為

13、4,則m的值為.【解析】當(dāng)x=23時(shí),y=m×23+2=4,解得m=3.答案：34.利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算如圖所示的陰影部分(y=x3和x=2以及x軸所圍成的部分)的面積.步驟是：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組01之間的均勻隨機(jī)數(shù),a1=rand,b1=rand.(2)進(jìn)行伸縮變換a=2a1,b=8b1.(3)數(shù)出試驗(yàn)總次數(shù)n和落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)n1(滿足b<a3的點(diǎn)(a,b)的個數(shù)),用幾何概型的求概率公式計(jì)算陰影部分的面積.例如,做1 000次試驗(yàn),即n=1 000,模擬得到n1=250.由s陰影s矩n1n,得s陰影.【解題指南】根據(jù)題目條件可知,a=2a1,b=8b1,

14、所以a0,2,b0,8,利用公式s陰影s矩n1n求解.【解析】由條件知,a0,2,b0,8,所以s矩=2×8=16.又由n=1 000時(shí)模擬得到n1=250,所以s陰影n1n×s矩=2501 000×16=4.答案：4三、解答題(每小題10分,共20分)5.從甲地到乙地有一班車在9：30到10：00到達(dá),若某人從甲地坐該班車到乙地轉(zhuǎn)乘9：45到10：15出發(fā)的汽車到丙地去,問他能趕上車的概率是多少?【解析】能趕上車的條件是到達(dá)乙地時(shí)汽車沒有出發(fā),我們可以用兩組均勻隨機(jī)數(shù)x和y來表示到達(dá)乙地的時(shí)間和汽車從乙地出發(fā)的時(shí)間,當(dāng)xy時(shí)能趕上車.設(shè)事件a：“他能趕上車”.利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),x1=rand,y1=rand.經(jīng)過變換x=0.5x1+9.5,y=0.5y1+9.75.統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)n和滿足條件xy的點(diǎn)(x,y)的個數(shù)n1.計(jì)算頻率fn(a)=n1n,則n1n即為概率p(a)的近似值.6.圖形