人教a版必修5學(xué)案：1.1.1正弦定理2含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料1.1.1正弦定理(二)自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理1正弦定理：2r的常見變形：(1)sin asin bsin c_；(2)_；(3)a_,b_,c_；(4)sin a_,sin b_,sin c_.2三角形面積公式：s_.3在rtabc中,c90°,則abc的外接圓半徑r_,內(nèi)切圓半徑r_. 自主探究在abc中,(1)若a>b,求證：sin a>sin b；(2)若sin a>sin b,求證：a>b.對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一三角形面積公式的運(yùn)用例1已知abc的面積為1,tan b,tan c2,求abc的各邊長以及abc外接圓的面積總結(jié)注意正

2、弦定理的靈活運(yùn)用,例如本題中推出sabc2r2sin asin bsin c借助該公式順利解出外接圓半徑r.變式訓(xùn)練1已知三角形面積為,外接圓面積為,則這個(gè)三角形的三邊之積為()a1 b2 c. d4知識(shí)點(diǎn)二利用正弦定理證明恒等式例2在abc中,求證：.總結(jié)正弦定理的變形公式使三角形的邊與邊的關(guān)系和角與角的關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化的功能更加強(qiáng)大,更加靈活變式訓(xùn)練2在abc中,角a、b、c的對(duì)邊分別是a、b、c,求證：a2sin 2bb2sin 2a2absin c.知識(shí)點(diǎn)三利用正弦定理判斷三角形形狀例3已知abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c,若ac2b,且2cos 2b8cos b50

3、,求角b的大小并判斷abc的形狀變式訓(xùn)練3已知方程x2(bcos a)xacos b0的兩根之積等于兩根之和,且a、b為abc的兩邊,a、b為兩內(nèi)角,試判定這個(gè)三角形的形狀1借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化,從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明2在abc中,有以下結(jié)論：(1)abc；(2)sin(ab)sin c,cos(ab)cos c；(3)；(4)sin cos ,cos sin ,tan .課時(shí)作業(yè)一、選擇題1在abc中,角a、b、c的對(duì)邊分別是a、b、c,若abc123,則abc等于()a123 b234c345 d122在abc中,若,則abc是()a直角三角形 b

4、等邊三角形c鈍角三角形 d等腰直角三角形3在abc中,(bc)(ac)(ab)456,則sin asin bsin c等于()a456 b654 c753 d7564在abc中,a2bcos c,則這個(gè)三角形一定是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等腰或直角三角形5在abc中,b60°,最大邊與最小邊之比為(1)2,則最大角為()a45° b60° c75° d90°題號(hào)12345答案二、填空題6在abc中,已知a3,cos c,sabc4,則b_.7在abc中,若tan a,c150°,bc1,則ab_.8在abc中

5、,a60°,a6,b12,sabc18,則_,c_.三、解答題9在abc中,角a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c,且c10,又知,求a、b及abc的內(nèi)切圓半徑10在abc中,a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊,若a2,c,cos ,求abc的面積s.11.1正弦定理(二)知識(shí)梳理1(1)abc(2)2r(3)2rsin a2rsin b2rsin c(4)2.absin cbcsin acasin b3.自主探究證明(1)在abc中,由大角對(duì)大邊定理a>ba>b2rsin a>2rsin bsin a>sin b.(2)在abc中,由正弦定理sin a&

6、gt;sin b>a>ba>b.對(duì)點(diǎn)講練例1解tan b>0,b為銳角sin b,cos b.tan c2,c為鈍角sin c,cos c.sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c××.sabcabsin c2r2sin asin bsin c2r2×××1.r2,r.r2,即外接圓面積為.a2rsin a,b2rsin b,c2rsin c.變式訓(xùn)練1a設(shè)三角形外接圓半徑為r,則由r2,r1,由sabsin c,abc1.例2證明因?yàn)?r,所以左邊右邊所以等式成立變式訓(xùn)練2證明左邊4r2sin2

7、 a·sin 2b4r2sin2 b·sin 2a8r2sin2 asin bcos b8r2sin2 bsin acos a8r2sin asin b(sin acos bcos asin b)8r2sin asin bsin(ab)8r2sin asin bsin c2·(2rsin a)·(2rsin b)·sin c2absin c右邊等式成立例3解2cos 2b8cos b50,2(2cos2b1)8cos b50.4cos2b8cos b30,即(2cos b1)(2cos b3)0.解得cos b或cos b(舍去)0<b&

8、lt;,b.ac2b.由正弦定理得sin asin c2sin b2sin .sin asin,sin asin cos acos sin a.化簡得sin acos a,sin1.0<a<,a.a,c.abc是等邊三角形變式訓(xùn)練3解設(shè)方程的兩根為x1、x2,由韋達(dá)定理得x1x2x1x2,bcos aacos b.由正弦定理得2rsin bcos a2rsin acos b,sin acos bcos asin b0,sin(ab)0.a、b為abc的內(nèi)角,0<a<,0<b<,<ab<.ab0,即ab.故abc為等腰三角形課時(shí)作業(yè)1dabc123

9、,a30°,b60°,c90°,abcsin asin bsin c12.2b由正弦定理知：,tan atan btan c,abc.3c設(shè)bc4k,ac5k,ab6k(k>0),三式聯(lián)立可求得ak,bk,ck,abc753,即sin asin bsin c753.4a由正弦定理：sin a2sin bcos c,sin(bc)2sin bcos c,sin bcos ccos bsin c2sin bcos c,sin(bc)0,bc.5c設(shè)c為最大角,則a為最小角,則ac120°,·,1.tan a1,a45°,c75°.62解析cos c,sin c,absin c4,b2.7.解析tan a,a(0,180°),sin a.由正弦定理知,ab.8126解析12.sabcabsin c×6×12sin c18.sin c,12,c6.9解由正弦定理知,.即sin acos asin bcos b