高中數(shù)學(xué)新人教版必修2教案：第4章4.1.2圓的一般方程含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料4.1.2圓的一般方程1了解圓的一般方程的特點,會由一般方程求圓心和半徑(重點)2會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡單問題(重點)3初步掌握求動點的軌跡方程的方法(難點、易錯點)基礎(chǔ)·初探教材整理圓的一般方程閱讀教材p121至p122“例4”以上部分,完成下列問題1圓的一般方程的概念當(dāng)d2e24f0時,二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圓的一般方程2圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑圓的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)表示的圓的圓心為,半徑長為.3對方程x2y2dxeyf0的說明方程條件圖形x2y2dxeyf0d2e24f

2、0不表示任何圖形d2e24f0表示一個點d2e24f0表示以為圓心,以為半徑的圓判斷(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程()(2)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓心為,半徑為的圓()(4)若點m(x0,y0)在圓x2y2dxeyf0外,則xydx0ey0f>0.()【解析】(1)正確圓的方程都能寫成一個二元二次方程(2)正確圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程是可以互化的(3)錯誤當(dāng)a2(2a)24(2a2a1)>0,即2<a<時才表示圓(4)正確因為點m(x0,y0)在圓外,所以22

3、>,即xydx0ey0f>0.【答案】(1)(2)(3)×(4)小組合作型圓的一般方程的概念辨析若方程x2y22mx2ym25m0表示圓,求：(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑【精彩點撥】(1)根據(jù)表示圓的條件求m的取值范圍；(2)將方程配方,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解【自主解答】(1)據(jù)題意知d2e24f(2m)2(2)24(m25m)0,即4m244m220m0,解得m,故m的取值范圍為.(2)將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m,故圓心坐標(biāo)為(m,1),半徑r.形如x2y2dxeyf0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如

4、下兩種方法：(1)由圓的一般方程的定義令d2e24f>0,成立則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.應(yīng)用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2y2dxeyf0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解.再練一題1下列方程各表示什么圖形？若表示圓,求其圓心和半徑(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)【解】(1)d1,e0,f1,d2e24f1430,方程不表示任何圖形(2)d2a,e0,fa2,d2e24f4a24a20,方程表示點(a,0)(3)兩邊同除以2,得x2y2axay0,da,ea,

5、f0,d2e24f2a20,方程表示圓,它的圓心為,半徑r|a|.求圓的一般方程圓c過點a(1,2),b(3,4),且在x軸上截得的弦長為6,求圓c的方程. 【精彩點撥】由條件,所求圓的圓心、半徑均不明確,故設(shè)出圓的一般方程,用待定系數(shù)法求解【自主解答】設(shè)所求圓的方程為x2y2dxeyf0.圓過a(1,2),b(3,4),d2ef5,3d4ef25.令y0,得x2dxf0.設(shè)圓c與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為x1,x2,則x1x2d,x1x2f.|x1x2|6,(x1x2)24x1x236,即d24f36.由 得d12,e22,f27,或d8,e2,f7.故所求圓的方程為x2y212x22y270

6、,或x2y28x2y70.1利用待定系數(shù)法,先設(shè)出圓的方程,再根據(jù)條件列出方程組求出未知數(shù),這是求方程問題的常用方法2如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用設(shè)圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求d、e、f.再練一題2已知a(2,2),b(5,3),c(3,1),求三角形abc的外接圓的方程【解】設(shè)三角形abc外接圓的方程為x2y2dxeyf0,由題意得解得即三角形abc的外接圓方程為x2y28x2y120.探究共研型求動點的軌跡方程探究1已知動點m到點(8,0)的距離等于點m到點(2,0)的距離的2倍,你能求出點m的軌跡方程嗎？【提示】設(shè)m(x,y),則2,整理可得點m的軌跡方程為x2y21

7、6.探究2已知直角abc的斜邊為ab,且a(1,0),b(3,0),請求出直角頂點c的軌跡方程【提示】設(shè)ab的中點為d,由中點坐標(biāo)公式得d(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知,|cd|ab|2,由圓的定義知,動點c的軌跡是以d(1,0)為圓心,以2為半徑長的圓(由于a,b,c三點不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點)設(shè)c(x,y),則直角頂點c的軌跡方程為(x1)2y24(x3且x1)已知圓心為c的圓經(jīng)過點a(1,1)和b(2,2),且圓心c在直線l：xy10上(1)求圓c的方程；(2)線段pq的端點p的坐標(biāo)是(5,0),端點q在圓c上運動,求線段pq的中點m的軌跡方程【精彩點撥】(1)利用圓的有關(guān)幾何

8、性質(zhì),確定圓心坐標(biāo)與半徑可求得圓c的方程(2)點m隨點q運動而運動,將q點坐標(biāo)用p、m兩點坐標(biāo)表示,再將q點坐標(biāo)代入(1)中的圓的方程,即得m點的軌跡方程【自主解答】(1)設(shè)點d為線段ab的中點,直線m為線段ab的垂直平分線,則d.又kab3,所以km,所以直線m的方程為x3y30.由得圓心c(3,2),則半徑r|ca|5,所以圓c的方程為(x3)2(y2)225.(2)設(shè)點m(x,y),q(x0,y0)因為點p的坐標(biāo)為(5,0),所以即又點q(x0,y0)在圓c：(x3)2(y2)225上運動,所以(x03)2(y02)225,即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即

9、所求線段pq的中點m的軌跡方程為(x1)2(y1)2.求與圓有關(guān)的軌跡問題常用的方法1直接法：根據(jù)題目的條件,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出動點坐標(biāo),并找出動點坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式2定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程3相關(guān)點法：若動點p(x,y)隨著圓上的另一動點q(x1,y1)運動而運動,且x1,y1可用x,y表示,則可將q點的坐標(biāo)代入已知圓的方程,即得動點p的軌跡方程再練一題3已知定點a(4,0),p點是圓x2y24上一動點,q點是ap的中點,求q點的軌跡方程【解】設(shè)q點坐標(biāo)為(x,y),p點坐標(biāo)為(x,y),則x且y,即x2x4,y2y.又p點在圓x2y24

10、上,x2y24,將x2x4,y2y代入得(2x4)2(2y)24,即(x2)2y21.故所求的軌跡方程為(x2)2y21.1圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是()a(2,3)b(2,3)c(2,3)d(2,3)【解析】圓的方程化為(x2)2(y3)213,圓心為(2,3),選d.【答案】d2已知方程x2y22x2k30表示圓,則k的取值范圍是()a(,1)b(3,)c(,1)(3,) d.【解析】方程可化為：(x1)2y22k2,只有2k20,即k1時才能表示圓【答案】a3若方程x2y2dxeyf0表示以(2,4)為圓心,4為半徑的圓,則f_.【解析】以(2,4)為圓心,4為半徑的圓的方程為(x2)2(y4)216,即x2y24x8y40,故f4.【答案】44設(shè)a為圓(x1)2y21上的動點,pa是圓的切線且|pa|1,則p點的軌跡方程是_【解析】設(shè)p(x,y)是軌跡上任一點,圓(