反證法典型例題

1、象中象中 選修選修1-2：第三章第三章 推理與證明推理與證明反證法典型例題2例例1. 1. 已知：一個整數(shù)的平方能被已知：一個整數(shù)的平方能被2 2整除，整除， 求證：這個數(shù)是偶數(shù)。求證：這個數(shù)是偶數(shù)。證明：證明：設(shè)整數(shù)設(shè)整數(shù)a a的平方能被的平方能被2 2整除整除. . 假設(shè)假設(shè)a a不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 則則a a是奇數(shù)，不妨設(shè)是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2m+1(ma=2m+1(m是整數(shù)是整數(shù)) ) a a2 2=(2m+1)=(2m+1)2 2=4m=4m2 2+4m+1=4m(m+1)+1+4m+1=4m(m+1)+1 a a2 2是奇數(shù)，與已知矛盾。是奇數(shù)，與已知矛盾。 假設(shè)不成立，所以假設(shè)不

2、成立，所以a a是偶數(shù)。是偶數(shù)。反證法典型例題3a a b b證證：假假設(shè)設(shè) a a b b不不成成立立，則則 a a b b若若 a a = =b b，則則a a = = b b, ,與與已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，則a b,若 a b，則a b b矛矛盾盾, ,故故假假設(shè)設(shè)不不成成立立，結(jié)結(jié)論論 a a b b成成立立。例例2.2.證明：如果證明：如果ab0ab0，那么，那么反證法典型例題4證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x

3、 ，x x 且且x x x x1 12 2則則a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0與與已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假設(shè)設(shè)不不成成立立，結(jié)結(jié)論論成成立立。例例3.3.已知已知a0a0，求證關(guān)于，求證關(guān)于x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一個根。一個根。反證法典型例題5P P已知：在已知：在O O中中,

4、,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CD CD 不全是直徑不全是直徑求證：求證：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O例例4.4.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分互相平分. .反證法典型例題62 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N

5、）2 22 22 22 2從從而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶數(shù)數(shù)，這這與與m m，n n互互質(zhì)質(zhì)矛矛盾盾！所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。例例5.5.求證：求證： 是無理數(shù)是無理數(shù). .反證法典型例題7 (4)結(jié)論為結(jié)論為 “唯一唯一”類的命題。類的命題。正難則反正難則反!應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形： (1)直接證明困難直接證明困難;(2)需分成很多類進(jìn)行討論；需分成很多類進(jìn)行討論；(3)結(jié)論為結(jié)論為“至少至少”、“至多至多”、“有無窮多個有無窮多個”這一類的命題；這一類的命題；反

6、證法典型例題8例例6.6.已知已知a+ +b+ +c00, , ab+ +bc+ +ca0, 0, abc0.0.求證求證: : a, ,b, ,c00證明證明: : 假設(shè)假設(shè)c0, 0, 0, ab0.00. . ab+ +bc+ +ca= =ab+(+(a+ +b) )c0.0.矛盾矛盾! !假設(shè)不成立假設(shè)不成立. .反證法典型例題9例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, - 0(1),22a ba bb a1- +1(1- ) - 0(2),22b cb cc b1- +1(1- ) - 0(3).22c ac aa c(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: 00,:

7、 00,矛盾矛盾! ! 假設(shè)不成立假設(shè)不成立. .所以所以,(1-,(1-a) )b, (1-, (1-b) )c, (1-, (1-c) )a不可能同時大于不可能同時大于1/4.1/4. 反證法典型例題10例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, 1, 求證求證: (1-: (1-a) )b, (1-, (1-b) )c, , (1-(1-c) )a不可能同時大于不可能同時大于1/4. 1/4. 證明證明: : 假設(shè)假設(shè)(1-(1-a) )b, (1-, (1-b) )c, (1-, (1-c) )a同時大于同時大于1/4. 1/4. 則則11(1)(1),44a bab11(1)(2

8、),44b cbc11(1)(3).44c aca(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: :1113()()()3444abcabc矛盾矛盾! ! 假設(shè)不成立假設(shè)不成立. .原結(jié)論成立原結(jié)論成立. .反證法典型例題11例例8.8.已知已知 : f (x)=x2+px+q.求證求證 : |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于 .反證法典型例題12例例9.9.已知已知A,B,C為三個正角為三個正角. 且且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求證求證: A+B+C900.解解: :假設(shè)假設(shè)A+B+C 900, 由于由于A,B,C為三個正角為三個正角, 所以所以它們都為銳角它們都為銳角, 且有且有cos(A+B)cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B) 1-cos2(A-B) 1.矛盾矛盾! 假設(shè)不成立假設(shè)不成立. 從而從而, A+B+C900.反證法典型例題13推理推理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理（歸納、類比）（歸納、類比） （三段論）（三