考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化資料-定積分(應(yīng)用)

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料 一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-定積分（應(yīng)用）知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。模塊七 定積分（應(yīng)用） 教學(xué)規(guī)劃【教學(xué)目標(biāo)】1、全面學(xué)習(xí)各類幾何量和物理量的計(jì)算方法，掌握計(jì)算公式2、理解微元法的基本思想，能進(jìn)行簡(jiǎn)單公式的推導(dǎo)【主要內(nèi)容】1、掌握平面圖形的面積、簡(jiǎn)單幾何體體積的計(jì)算方法2、掌握曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算方法（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）3、掌握各類簡(jiǎn)單的物理量的計(jì)算方法（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）4、理解微元

2、法的基本思想【重難點(diǎn)】1、各類公式的記憶和使用2、微元法的基本思想的理解和運(yùn)用 知識(shí)點(diǎn)回顧一微元法1簡(jiǎn)介微元法是用積分計(jì)算連續(xù)變化的量的一種重要思想方法，它適用于滿足可加性的實(shí)際量，如面積、體積、質(zhì)量、作用力等。前面平面圖形面積的計(jì)算公式都可以用微元法進(jìn)行推導(dǎo)。2使用步驟1）根據(jù)問(wèn)題的具體情況選取一個(gè)變量如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間。2）將區(qū)間分為許多小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)間，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求出在這一小區(qū)間上求出所對(duì)應(yīng)的分量，可以表示為形式。3） 計(jì)算積分3微元法的應(yīng)用1）極坐標(biāo)下圖形面積的計(jì)算如圖，設(shè)曲線方程為，取為積分變量，設(shè)其上下限為。在圖中取面積元（陰影部分），設(shè)其角度為，當(dāng)取得比較

3、小時(shí)，在這個(gè)范圍內(nèi)可以看作是不變的，設(shè)為。于是，該面積元的可以近似看做一個(gè)扇形，其面積為。由此可以得到面積計(jì)算公式。2）旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，將它的圖像繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積。取為積分變量，其上下限為。取上的一個(gè)小區(qū)間，當(dāng)取得足夠小時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間上的函數(shù)值可以看做不變的。則該區(qū)間上的函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)之后得到的體積元可以近似地看做一個(gè)圓柱，其底面半徑為，高為，因此體積可以表達(dá)為。由可以得到體積計(jì)算公式。二定積分的幾何應(yīng)用1平面圖形面積的計(jì)算1）直角坐標(biāo)形式計(jì)算公式2）極坐標(biāo)如圖所示：曲線與射線和所圍成的陰影部分的面積.3）參數(shù)方程如圖所示：曲線與直線、所圍成的陰影

4、部分的面積.2簡(jiǎn)單幾何體的體積1）平行截面面積已知立體圖形的體積假設(shè)幾何體在垂直于坐標(biāo)軸的平面上的截面積，則其體積為。2）旋轉(zhuǎn)體的體積圖中所示的陰影部分繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體體積為.如果圖中的曲線是通過(guò)參數(shù)方程給出的，則體積計(jì)算公式相應(yīng)地改為.3曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算(*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二)空間曲線的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為，其中稱之為弧長(zhǎng)微分。如果曲線在平面內(nèi)，其參數(shù)方程為，則相應(yīng)的計(jì)算公式改為；如果曲線為函數(shù)，則公式變?yōu)椋蝗绻€的方程是極坐標(biāo)形式，則相應(yīng)的計(jì)算公式為。4旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e的計(jì)算(*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二)設(shè)在軸上方有一條平面曲線，其中滿足。則由微元法可知，該曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。如果該

5、曲線由函數(shù)給出，則相應(yīng)的計(jì)算公式為。如果該曲線由極坐標(biāo)方程給出，則相應(yīng)的計(jì)算公式為。三定積分的物理應(yīng)用（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）1液體的靜壓力設(shè)液體密度為，在液面下深度為處液體的壓強(qiáng)為。因此，液體中的薄板型物件所受到的壓力為。設(shè)該薄板在深度為處的寬度為，運(yùn)用微元法可知，因此，其中是該薄板所在的深度的范圍。2力沿直線做功設(shè)物體在力及其它力的牽引下沿軸從運(yùn)動(dòng)到，力在軸上的分量為，則在該過(guò)程中力對(duì)該物體做功為。3引力質(zhì)量分別為且相距為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力大小為，方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線。4質(zhì)心與形心1）平面曲線的質(zhì)心設(shè)平面曲線的參數(shù)方程為，曲線的線密度設(shè)為，則曲線的質(zhì)量為。設(shè)曲線的質(zhì)心為，則由質(zhì)心的定義可知：

6、2）平面圖形的質(zhì)心設(shè)薄板型物件由曲線及直線圍成，并設(shè)其面密度只與有關(guān)，設(shè)為。則該薄板的質(zhì)量為設(shè)曲線的質(zhì)心為，則由質(zhì)心的定義可知：3）形心計(jì)算：令質(zhì)心計(jì)算公式中的恒為即可。 考點(diǎn)精講一平面圖形面積的計(jì)算【例1】：計(jì)算由下列曲線圍成的平面圖形的面積1）2）與射線所圍成的圖形的面積3）4）5）與所圍成圖形的公共部分答案:（1）（2）（3）（4）（5）【例2】：計(jì)算由下列曲線圍成的平面圖形的面積1）星形線2）與軸答案：（1）（2）【例3】：求曲線在點(diǎn)處法線與曲線所圍成圖形的面積答案：【例4】：設(shè)曲線在第一象限內(nèi)與直線相切，問(wèn)為何值時(shí)，與軸圍成的平面圖形D的面積最大？答案：，面積最大為【例5】：設(shè)拋物線

7、滿足條件：(1) 且通過(guò)點(diǎn)與；(2)與拋物線圍成的圖形面積最小試求此拋物線方程答案：二簡(jiǎn)單幾何體的體積【例6】：計(jì)算下列幾何體的體積（1）與所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積（2）圓繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積（3）與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（4）星形線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（5）與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案：（1）（2）（3）（4）（5）【例7】：設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域（1）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）求為何值時(shí)，最??？并求此最小值。答案：（1）（2）當(dāng)時(shí)，的體積最小，【例8】：過(guò)曲線上某點(diǎn)A做一切線，使之與曲線及x軸圍

8、成圖形面積為，求：（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)的切線的方程；（2）上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積答案：（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）【例9】：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線以及軸圍成的向軸負(fù)向無(wú)限延伸的平面圖形記為（1）求的面積（2）求饒直線所成旋轉(zhuǎn)體體積答案：（1）（2）【例10】：試推導(dǎo)由曲線，及軸所圍成的曲邊梯形（如下圖）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式。答案：三曲線弧長(zhǎng)（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）【例11】：計(jì)算下列曲線的弧長(zhǎng)。（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）【例12】：已知擺線的參數(shù)方程為，其中，常數(shù)，設(shè)擺線一拱的弧長(zhǎng)的數(shù)值等于該弧段饒軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的

9、數(shù)值，求答案：四旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）【例13】：已知圓(xb)2 + y2 = a2, 其中b>a> 0, 求此圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積和表面積.答案：體積：、面積：【例14】：求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積（）。答案：【例15】：求雙扭線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積。答案：【例16】：曲線與直線及圍成一個(gè)曲邊梯形。該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為。（1）求；（2）計(jì)算答案：（1）（2）五物理應(yīng)用（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）1功物理模型1：變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功【例17】：為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井里，抓起污泥后提出井口.已知井深，抓

10、斗自重，纜繩每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度為，在提升過(guò)程中，污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口，問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功?答案：【例18】：某建筑工地打地基時(shí)，需用氣錘將樁打進(jìn)土層。氣錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力做功。設(shè)土層對(duì)樁的阻力大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)），氣錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下。根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求氣錘每次打樁時(shí)所做的功與前一次做的功之比為常數(shù)。問(wèn)：（1）氣錘打樁次后，可將樁打進(jìn)地下多少米？（2）若打擊次數(shù)不限，氣錘最多能將樁打進(jìn)地下多少米？答案：（1）（2）【例19】：（1）假設(shè)在水下有一邊長(zhǎng)為的正方體，正方體的一面剛好與水面平齊，

11、現(xiàn)將該正方體沿著豎直方向往上提到水面外，求這個(gè)過(guò)程中浮力對(duì)該正方體所做的功（假設(shè)水面高度維持不變）。（2）將物體改為底面半徑為，高度為的圓錐，底面向下，頂部在水面下，再計(jì)算將其從水面下沿著豎直方向提到水面外時(shí)，浮力所做的功。答案：（1）（2）物理模型2：抽水問(wèn)題【例20】：假設(shè)在一個(gè)底面半徑為，高度為的圓錐形容器中裝滿了水，將該圓錐的頂點(diǎn)朝下地放置，求要將圓錐中的水抽出來(lái)至少需要客服重力做多少功。答案：【例21】：一容器的內(nèi)側(cè)是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由，連接而成.（1）求容器的容積；（2）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為）.答案：（1）（2）2質(zhì)心與形心【例22】：求星形線的形心，其中為常數(shù)。答案：，【例23】：求由與所圍成的平面區(qū)域的形心。答案：，【例24】：設(shè)曲線的方程為，（1）求的弧長(zhǎng)；（2）設(shè)是由曲線，直線及軸所圍平面圖形，求的形心的橫坐標(biāo)。答案：（1）（2）3液體的靜壓力【例25】： D1m1mCAB1ml h某閘門的性狀與大小如圖所示，其中直線為對(duì)稱軸，閘門的上部