考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強化資料-定積分(應(yīng)用)

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2、法的基本思想【重難點】1、各類公式的記憶和使用2、微元法的基本思想的理解和運用 知識點回顧一微元法1簡介微元法是用積分計算連續(xù)變化的量的一種重要思想方法，它適用于滿足可加性的實際量，如面積、體積、質(zhì)量、作用力等。前面平面圖形面積的計算公式都可以用微元法進行推導(dǎo)。2使用步驟1）根據(jù)問題的具體情況選取一個變量如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間。2）將區(qū)間分為許多小區(qū)間，取其中一個小區(qū)間，根據(jù)實際問題求出在這一小區(qū)間上求出所對應(yīng)的分量，可以表示為形式。3） 計算積分3微元法的應(yīng)用1）極坐標(biāo)下圖形面積的計算如圖，設(shè)曲線方程為，取為積分變量，設(shè)其上下限為。在圖中取面積元（陰影部分），設(shè)其角度為，當(dāng)取得比較

3、小時，在這個范圍內(nèi)可以看作是不變的，設(shè)為。于是，該面積元的可以近似看做一個扇形，其面積為。由此可以得到面積計算公式。2）旋轉(zhuǎn)體體積計算函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，將它的圖像繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積。取為積分變量，其上下限為。取上的一個小區(qū)間，當(dāng)取得足夠小時，函數(shù)在該區(qū)間上的函數(shù)值可以看做不變的。則該區(qū)間上的函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)之后得到的體積元可以近似地看做一個圓柱，其底面半徑為，高為，因此體積可以表達為。由可以得到體積計算公式。二定積分的幾何應(yīng)用1平面圖形面積的計算1）直角坐標(biāo)形式計算公式2）極坐標(biāo)如圖所示：曲線與射線和所圍成的陰影部分的面積.3）參數(shù)方程如圖所示：曲線與直線、所圍成的陰影

4、部分的面積.2簡單幾何體的體積1）平行截面面積已知立體圖形的體積假設(shè)幾何體在垂直于坐標(biāo)軸的平面上的截面積，則其體積為。2）旋轉(zhuǎn)體的體積圖中所示的陰影部分繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體體積為.如果圖中的曲線是通過參數(shù)方程給出的，則體積計算公式相應(yīng)地改為.3曲線弧長的計算(*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二)空間曲線的弧長的計算公式為，其中稱之為弧長微分。如果曲線在平面內(nèi)，其參數(shù)方程為，則相應(yīng)的計算公式改為；如果曲線為函數(shù)，則公式變?yōu)?；如果曲線的方程是極坐標(biāo)形式，則相應(yīng)的計算公式為。4旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e的計算(*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二)設(shè)在軸上方有一條平面曲線，其中滿足。則由微元法可知，該曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。如果該

5、曲線由函數(shù)給出，則相應(yīng)的計算公式為。如果該曲線由極坐標(biāo)方程給出，則相應(yīng)的計算公式為。三定積分的物理應(yīng)用（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）1液體的靜壓力設(shè)液體密度為，在液面下深度為處液體的壓強為。因此，液體中的薄板型物件所受到的壓力為。設(shè)該薄板在深度為處的寬度為，運用微元法可知，因此，其中是該薄板所在的深度的范圍。2力沿直線做功設(shè)物體在力及其它力的牽引下沿軸從運動到，力在軸上的分量為，則在該過程中力對該物體做功為。3引力質(zhì)量分別為且相距為的兩個質(zhì)點之間的引力大小為，方向沿著兩質(zhì)點的連線。4質(zhì)心與形心1）平面曲線的質(zhì)心設(shè)平面曲線的參數(shù)方程為，曲線的線密度設(shè)為，則曲線的質(zhì)量為。設(shè)曲線的質(zhì)心為，則由質(zhì)心的定義可知：

6、2）平面圖形的質(zhì)心設(shè)薄板型物件由曲線及直線圍成，并設(shè)其面密度只與有關(guān)，設(shè)為。則該薄板的質(zhì)量為設(shè)曲線的質(zhì)心為，則由質(zhì)心的定義可知：3）形心計算：令質(zhì)心計算公式中的恒為即可。 考點精講一平面圖形面積的計算【例1】：計算由下列曲線圍成的平面圖形的面積1）2）與射線所圍成的圖形的面積3）4）5）與所圍成圖形的公共部分答案:（1）（2）（3）（4）（5）【例2】：計算由下列曲線圍成的平面圖形的面積1）星形線2）與軸答案：（1）（2）【例3】：求曲線在點處法線與曲線所圍成圖形的面積答案：【例4】：設(shè)曲線在第一象限內(nèi)與直線相切，問為何值時，與軸圍成的平面圖形D的面積最大？答案：，面積最大為【例5】：設(shè)拋物線

7、滿足條件：(1) 且通過點與；(2)與拋物線圍成的圖形面積最小試求此拋物線方程答案：二簡單幾何體的體積【例6】：計算下列幾何體的體積（1）與所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積（2）圓繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積（3）與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（4）星形線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（5）與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案：（1）（2）（3）（4）（5）【例7】：設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域（1）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）求為何值時，最小？并求此最小值。答案：（1）（2）當(dāng)時，的體積最小，【例8】：過曲線上某點A做一切線，使之與曲線及x軸圍

8、成圖形面積為，求：（1）切點的坐標(biāo)及過切點的切線的方程；（2）上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積答案：（1）切點的坐標(biāo)，（2）【例9】：過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線以及軸圍成的向軸負(fù)向無限延伸的平面圖形記為（1）求的面積（2）求饒直線所成旋轉(zhuǎn)體體積答案：（1）（2）【例10】：試推導(dǎo)由曲線，及軸所圍成的曲邊梯形（如下圖）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積計算公式。答案：三曲線弧長（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）【例11】：計算下列曲線的弧長。（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）【例12】：已知擺線的參數(shù)方程為，其中，常數(shù)，設(shè)擺線一拱的弧長的數(shù)值等于該弧段饒軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的

9、數(shù)值，求答案：四旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）【例13】：已知圓(xb)2 + y2 = a2, 其中b>a> 0, 求此圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積和表面積.答案：體積：、面積：【例14】：求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積（）。答案：【例15】：求雙扭線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積。答案：【例16】：曲線與直線及圍成一個曲邊梯形。該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為。（1）求；（2）計算答案：（1）（2）五物理應(yīng)用（*數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）1功物理模型1：變力對質(zhì)點做功【例17】：為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井里，抓起污泥后提出井口.已知井深，抓

10、斗自重，纜繩每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度為，在提升過程中，污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口，問克服重力需作多少焦耳的功?答案：【例18】：某建筑工地打地基時，需用氣錘將樁打進土層。氣錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力做功。設(shè)土層對樁的阻力大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)），氣錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下。根據(jù)設(shè)計方案，要求氣錘每次打樁時所做的功與前一次做的功之比為常數(shù)。問：（1）氣錘打樁次后，可將樁打進地下多少米？（2）若打擊次數(shù)不限，氣錘最多能將樁打進地下多少米？答案：（1）（2）【例19】：（1）假設(shè)在水下有一邊長為的正方體，正方體的一面剛好與水面平齊，

11、現(xiàn)將該正方體沿著豎直方向往上提到水面外，求這個過程中浮力對該正方體所做的功（假設(shè)水面高度維持不變）。（2）將物體改為底面半徑為，高度為的圓錐，底面向下，頂部在水面下，再計算將其從水面下沿著豎直方向提到水面外時，浮力所做的功。答案：（1）（2）物理模型2：抽水問題【例20】：假設(shè)在一個底面半徑為，高度為的圓錐形容器中裝滿了水，將該圓錐的頂點朝下地放置，求要將圓錐中的水抽出來至少需要客服重力做多少功。答案：【例21】：一容器的內(nèi)側(cè)是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由，連接而成.（1）求容器的容積；（2）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長度單位：，重力加速度為，水的密度為）.答案：（1）（2）2質(zhì)心與形心【例22】：求星形線的形心，其中為常數(shù)。答案：，【例23】：求由與所圍成的平面區(qū)域的形心。答案：，【例24】：設(shè)曲線的方程為，（1）求的弧長；（2）設(shè)是由曲線，直線及軸所圍平面圖形，求的形心的橫坐標(biāo)。答案：（1）（2）3液體的靜壓力【例25】： D1m1mCAB1ml h某閘門的性狀與大小如圖所示，其中直線為對稱軸，閘門的上部