因式分解知識點歸納

1、因式分解知識點回顧1、因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma mb mc m(a b c)(2)運用公式法： 平方差公式：a2 b2 (a b)(a b);完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步驟：(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4)最后考慮用分組分解法5

2、、同底數(shù)募的乘法法則：amgan am n ( m,n都是正整數(shù))同底數(shù)募相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如：(a b)2ga b)3 (a b)56、募的乘方法則：(am)n amn (m,n都是正整數(shù))募的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如： (35)2 310募的乘方法則可以逆用：即 amn (am)n (an)m如：46(42 )3(43)27、積的乘方法則：(ab)n anbn (n是正整數(shù))積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積3 2.553.52.5515 10 532x y z8、同底數(shù)募的除法法則：am an am na 0, m,n都是正整數(shù)，且m n）同底數(shù)募相除

3、，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如:(ab)4 (ab) (ab)3 a3b3如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z9、零指數(shù)和負指數(shù);p 1 a ap的倒數(shù)。a0 1 ,即任何不等于零的數(shù)的零次方等于（a 0, p是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的p次方等于這個數(shù)的p次方如：23 J3 810、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘, 對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意: 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數(shù)募的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個

4、因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。如：2x2y3z?3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加,即 m（a b c） ma mb mc（ m, a,b,c者B是單項式）注意： 積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的 的積相加。如:(3 a 2b)(a

5、3b)(x 5)(x 6)三、知識點分析：1 .同底數(shù)幕、幕的運算：aman=am+n(m, n都是正整數(shù)).(am)n=amn(m, n都是正整數(shù)).例題 1.若 2a 2 64 ,貝U a=;若 27 3n ( 3)8,貝4 n=例題 2.若 52x1 125,求(x 2)2009 x 的值。例題3.計算x 2y 3 n 2y x 2 m練習2 .若 a2n 3,則 a6n=3 .設 4x=8y-1,且 9y=27x-1，則 x-y 等于。4 .積的乘方(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的募相乘.例題1.計算：n m3m n n m p5

6、.乘法公式平方差公式：a b a b a2 b2完全平方和公式：ab 2a22abb2完全平方差公式：ab 2a22abb2例題1.利用平方差公式計算：2009X 2007 20082例題2.利用平方差公式計算：一007 .20072 2008 20063. (a-2b+3c-d) (a+2b-3c-d)考點一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算1、下列從左到右是因式分解的是()A. x(a-b尸ax-bxB. x2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x

7、(a+b)+c2、若4a2 kab 9b2可以因式分解為(2a 3b)2,則k的值為3、已知a為正整數(shù)，試判斷a2 a是奇數(shù)還是偶數(shù)？4、已知關于x的二次三項式x2 mx n有一個因式(x 5),且m+n=17,試求m, n的值考點二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式找公因式的方法：1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2 、字母是相同字母3、字母的次數(shù)-相同字母的最低次數(shù)習題1、將多項式20a3b2 12a2bc分解因式，應提取的公因式是（A、ab B 、4a2b C、4ab D、4a2bc 2、已知(19

8、x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23)可因式分解為(ax b)(8x c),其中 a, b,c均為整數(shù)，則a+b+c等于()A、-12 B 、-32C 、38 D 、723、分解因式(1) 6a(a b) 4b(a b)(2) 3a(x y) 6b(y x)(3) xn xn1 xn 2( 4) ( 3)2011 ( 3)20104、先分解因式，在計算求值(1) (2x 1)2(3x 2) (2x 1)(3x 2)2 x(1 2x)(3x 2) 其中 x=(2) (a 2)(a2 a 1) (a2 1)(2 a) 其中 a=185、已知多項式x4 2012x2 2011x

9、 2012有一個因式為x2 ax 1 ,另一個因式為x2 bx 2012 ,求 a+b 的值6、若ab2 1 0,用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、已知 a, b, c 滿足 ab a b bc b c ca c a 3,求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a,b, c都是正整數(shù))考點三、用乘法公式分解因式平方差公式a2 b2(a b)(a b)運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號相反習題1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）.22_A、x 4y B2、分解下列因式(1) 3x2 12(4) x3 xy2(7)2009 2011 *

10、 /520102 122-22、x 2y 1 C、 x 4 y D、2(2) (x 2)(x 4) x 4(6) 9(a2(5) (a b) 122x 4y22(3)(x y) (x y)b)2 30(a2 b2) 25(a b)23、若n為正整數(shù)，則(2n 1)2 (2n 1)2一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間 放的特點，其中首尾兩項的符號必須相同，中間項的符號正負均可。習題1、在多項式x2 2xy y2x2 2xy y2x2 xy+y24x2 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有()A、 B

11、 、 C 、 D 、2、下列因式分解中，正確的有() 4a a3b2 a(4 a2b2) x2y 2xy xy xy(x 2) a ab ac a(a b c)_ .22 22 2 2,9abc 6a b 3abc(3 2a) x y xy xy(x y)333A 0個 B 、1個 C 、2個 D、5個3、如果x2 2(m 3)x 16是一個完全平方式，那么 m應為()A -5 B 、3 C 、7 D 、7 或-14、分解因式(1)mx2 4mx 2m(2)2a2-4a 2(3)x3 2x2 x22(4) (2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y222/24(6) (x -2x

12、y) +2y (x -2xy)+y 4x212xy+9y2 4x+6y-35、已知a,、1 ob 2, ab 2,求a3b 22, 21,3a b - ab26、證明代數(shù)式x2 y210x 8 y 45的值總是正數(shù)7、已知a, b, c分別是 ABC的三邊長，試比較(a2 b2 c2)2與4a2b2的大小考點四、十字相乘法2式a、b的積，并且a(1)二次項系數(shù)為1的二次三項式x px q中，如果能把常數(shù)項q分解成兩個因b等于一次項系數(shù) P的值，那么它.就可以把二次三項式2x px例題講解分析：將q分解成1、分解因式:x2 5x 66分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2X 3=(

13、-2) X (-3)=1 X 6=(-1)X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合,解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 =(x 2)(x 3)2+3=5例題講解解:2、分解因式:原式=x2 (=(x 1)( x1)6)7x6)x1)( 6)11 -6 (-1(-6 ) = -7練習分解因式(1) x2 14x 24(4) x2x 2(5)(2)2ya22y 1515a 362、二次項系數(shù)不為1的二次三項式(6)2 bx x210xx2 4x 524條件：(1)(2)(3) 分解結果： 例題講解a a1a2c c1c2b a1c2 a2 G ax2 bx c = (a1x1、分

14、解因式：3x2axC1)(a2x C2)11x 10b a1 c2 a2clX 即12131 X 2+1 X 3=5 用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和 要等于一次項的系數(shù)。分析:-5(-6 ) + (-5) = -11解：3x2 11x分解因式：(1) 5x2(3) 10x2 17x 310 = (x 2)(3x 5)7x 6(4)6y2 3x2 7x 211y 103、二次項系數(shù)為1的多項式128b2例題講解、分解因式：a2 8ab分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分 解。1 8b1-16b8b+(-16b尸-8b

15、解：a2分解因式(1) x28ab 128b2 = a23xy4、二次項系數(shù)不為1例題講解122-2x 7xy-2y.-3y2y2 (2)的多項式 6y2(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y) 分解因式：(1) 15x2 7xy4y28b ( 16b)a 8b ( 16b) =(a 8b)(a 16b)6mn把xy-28n2(3)a2 ab 6b23xy 21-1(-1)+(-2)= -3(2)解：,a2x原式=(xy 1)( xy 2)2 6ax考點五、因式分解的應用1、分解下列因式(1) 3x2 3(2) x4x(3) x3 6x2 27x(4) a2b22b 12、計算下列各題(1) (4a24a1) (2 a 1)(a2 b22_c 2ab) (a b c)3、解方程(1) 16(x1)225(x 2)2(2) (2x 3)2(2x 3)4、如果實數(shù)a10a b ,且那么a+b的值等于5、10b a12232425262123456200922010220112 201222009 20102011 20126、若多項式x2 ax 12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù)a的值(寫出3個)7、先變形再求值(1)已知 2x y , xy 4,求 2x4y3