福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修

1、福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修2授課類型：新授課 授課時(shí)間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：理解三垂線定理及其逆定理的證明，準(zhǔn)確把握“空間三線”垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)；掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。2、過(guò)程與方法：通過(guò)三垂線定理的證明及應(yīng)用，體會(huì)空間線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想和論證能力；培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和辯證唯物主義觀點(diǎn)。二、教學(xué)重點(diǎn)：三垂線定理及其逆定理的證明和初步應(yīng)用。難點(diǎn)：三垂線定理中的垂直關(guān)系及證明過(guò)程。關(guān)鍵：把握住斜線和它在平面上的射影必定同時(shí)垂直于平面內(nèi)的某條直線。三、教材

2、分析：1、“三垂線定理”是高中立體幾何中的重要內(nèi)容之一，它是在研究了空間直線和平面垂直的基礎(chǔ)上研究?jī)蓷l直線垂直關(guān)系的一個(gè)重要定理，它既是線面垂直關(guān)系的一個(gè)應(yīng)用，又為以后學(xué)習(xí)面面垂直，研究空間距離、空間角奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。2、本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程為：猜、證、比、用，即猜想平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理及其逆定理；比較兩個(gè)定理；應(yīng)用定理證題。由于本節(jié)課安排在立體幾何學(xué)習(xí)的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時(shí)期，因此要重視讓學(xué)生動(dòng)手做模型，教師演示指導(dǎo)，讓學(xué)生直觀地感受到空間線面、線線關(guān)

3、系的變化，再在教師的引導(dǎo)下思考線面、線線垂直關(guān)系存在的因果關(guān)系，逐步推理、猜想命題，論證命題，從而發(fā)現(xiàn)定理，揭示定理的實(shí)質(zhì)，在定理論證中進(jìn)一步發(fā)展定理，引出逆定理，再進(jìn)行比較，從而更進(jìn)一步地把握定理的關(guān)鍵。對(duì)定理的應(yīng)用，只要求學(xué)生在理解定理的基礎(chǔ)上，理清應(yīng)用定理證題的一般步驟，學(xué)會(huì)證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。3、本節(jié)課采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考，勇于探索，使學(xué)生的心理達(dá)到一種“欲罷不能”的興奮狀態(tài)，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。四、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)和引入新課提問(wèn)：（1）直線和平面垂直的定義是什么？（直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。

4、）（2）直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（3）如圖，如果PO平面，PA與平面交于點(diǎn)A，則PO為平面的垂線，PA為平面的斜線，連接垂足O與斜足A的直線OA叫做斜線PA在平面內(nèi)的射影。（二）猜想和發(fā)現(xiàn)1、揭示問(wèn)題，引導(dǎo)探究根據(jù)直線和平面垂直的定義知平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。進(jìn)一步，平面內(nèi)的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂直？（否）是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直？2、模型演示引導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型（如圖）。如圖表示平面的斜線（PO）在平面內(nèi)有垂線（a），且有無(wú)數(shù)條。這些直線應(yīng)具備什么條件，即怎樣

5、判定平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢？指導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型（如圖），使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面內(nèi)的直角邊垂直時(shí)，便與斜邊垂直。3、結(jié)論：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（三）證明定理實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明。已知：PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影，（如圖）。求證：aPA。分析：證明兩直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，從本題條件看，PO在平面PAO內(nèi)，只要證明a平面PAO即可。證明：因?yàn)?，所以PO a，又a O

6、A，POOA = O，所以a平面POA，所以a PA。（四）揭示定理上面命題反映了平面內(nèi)一條直線、平面的斜線和斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影這三者之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理，下面請(qǐng)大家根據(jù)已知條件和結(jié)論，把三垂線定理完整地表達(dá)出來(lái)。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判定定理。這個(gè)定理之所以著名，不僅在于它給了我們一個(gè)證明線線垂直的重要方法，為研究計(jì)算空間角、空間距離奠定了基礎(chǔ)，而且這個(gè)定理的證明方法“線面垂直法”，也是一種非常重要的方法。剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PA

7、O垂直，現(xiàn)在我們?cè)倏?，由于PA與a總垂直，那么當(dāng)a與PO垂直時(shí)還會(huì)有a平面PAO嗎？進(jìn)一步可得到什么結(jié)論？（aAO）這樣我們又得到了一個(gè)重要定理：三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出證明過(guò)程，并與原定理進(jìn)行對(duì)比。（五）原、逆定理的比較相同點(diǎn)：（1）結(jié)構(gòu)相同：都是由線線垂直推證線線垂直；（2）證明方法相同：都采用了線面垂直法。不同點(diǎn)：（1）用途不同：原定理是用來(lái)證空間兩直線垂直；逆定理是用來(lái)證平面上兩直線垂直。（2）條件與結(jié)論不同：原定理：“與射影垂直”“與斜線垂直”；逆定理：“與斜線垂直”“與射影垂直”。（六

8、）定理的應(yīng)用例1：如圖，O是ABC的垂心，PO平面ABC，連結(jié)PA，求證：BCPA。分析：PO是平面的垂線，PA是平面的斜線，BC在平面ABC上，所以，欲證BCPA，只需證明BC垂直P(pán)A在平面ABC上的射影即可。證明：連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影。又O是ABC的垂心，所以ADBC，由三垂線定理可得BCPA。小結(jié)：使用三垂線定理證題的一般步驟是：一定定平面及平面內(nèi)的一條直線；二找找平面的垂線、斜線及射影；三證證明平面內(nèi)一直線與射影垂直。由于逆定理與原定理的實(shí)質(zhì)相同，結(jié)構(gòu)相似，因而使用時(shí)也可以按以上步驟進(jìn)行，這對(duì)我們?cè)趶?fù)雜圖形中使用定理很有好處。例2：正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：（1）A1CBD； （2）A1CBC1； （3）A1C平面BDC1。4、探究：如圖，直四棱柱（側(cè)面與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，？解：連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以為在平面?nèi)的射影，由三垂線定理知，當(dāng)時(shí)，有，即四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直時(shí)，。（七）歸納總結(jié)1、本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了三垂線定理及其逆定理，它們是空間兩線垂直的判定與性質(zhì)定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的區(qū)別與聯(lián)系。2、學(xué)會(huì)按“一定、二找、三證”的步驟應(yīng)用兩個(gè)定理證明線線垂直。（八）布置作業(yè)1、已知點(diǎn)O是ABC的BC邊