高等數(shù)學(xué)課件：1-2 數(shù)列極限

1、“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放幻播放幻劉徽劉徽1.2 數(shù)列極限數(shù)列極限1.2.1 數(shù)列的概念數(shù)列的概念劉劉 徽徽R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn

2、天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX211 1,2 , 1 ,),(),(),2(),1(,:nnnfxnffffRNfn 記記排排成成一一列列順順序序的的函函數(shù)數(shù)值值可可按按自自然然數(shù)數(shù)的的則則設(shè)設(shè)定定義義:按按自自然然數(shù)數(shù), 3 , 2 , 1編編號(hào)號(hào)依依次次排排列列的的一一列列數(shù)數(shù) ,21nxxx (1) 稱稱為為無(wú)無(wú)窮窮數(shù)數(shù)列列,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱數(shù)數(shù)列列.其其中中的的每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的項(xiàng)項(xiàng),nx稱稱為為通通項(xiàng)項(xiàng)(一一般般項(xiàng)項(xiàng)).數(shù)數(shù)列列(1)記記為為nx. 等等比比數(shù)數(shù)列列；等等差差數(shù)數(shù)列列；常常數(shù)數(shù)列列；例例如如，,) 1(,2,12 naqaqaqadnadadaa

3、ccc又如又如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n) 1(1n;,)1(,34,21, 21nnn ) 1(1nnn,333,33, 3 注意注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx.11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nn 123xyo1 y.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn1.2.2 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念.)1(1

4、1時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放數(shù)列的極限數(shù)列的極限 1xy1 y問(wèn)題問(wèn)題:當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值接近于某一確定的數(shù)值?如果如果是是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它它. 1nxnnn11)1(1 ,1001給給定定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只只要要 n,10011 nx有有,10001給給定定,1000時(shí)時(shí)只只要要 n,1000011 nx有有,100001

5、給給定定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù) a是數(shù)是數(shù)列列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：; .1的的無(wú)無(wú)限限接接近近與與

6、刻刻劃劃了了的的任任意意性性，不不等等式式根根據(jù)據(jù)axaxnn .,.,. 2取取的的大大一一些些一一般般總總可可以以把把論論證證時(shí)時(shí)不不是是唯唯一一的的符符合合條條件件的的越越大大相相應(yīng)應(yīng)的的越越小小，一一般般而而言言，有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)NNNN 幾何解釋幾何解釋:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有只只有有有有限限個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn 其中其中;: 每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 :定義定義N .N,0,N0,limaxnaxnnn 數(shù)

7、列極限的定義未給出求極限的方法，但它數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法，但它給出了一驗(yàn)證數(shù)給出了一驗(yàn)證數(shù)a是否是數(shù)列是否是數(shù)列 的極限的的極限的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。注意：注意：nx n時(shí)時(shí)f(n)以以A為極限的幾何意義為極限的幾何意義： 對(duì)任意給定的小正數(shù)對(duì)任意給定的小正數(shù) ，在，在 與與 之間形成一個(gè)帶形區(qū)域，不論帶形區(qū)域多么窄，總可之間形成一個(gè)帶形區(qū)域，不論帶形區(qū)域多么窄，總可以找到以找到N, ,從第從第N+1項(xiàng)起，項(xiàng)起，以后的一切項(xiàng)以后的一切項(xiàng)yN+1, yN+2 ,yN+3 , , ,的數(shù)值均落在的數(shù)值均落在 內(nèi)內(nèi), ,在帶形在帶形區(qū)域內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，而帶形區(qū)域外有有

8、限個(gè)點(diǎn)。而帶形區(qū)域外有有限個(gè)點(diǎn)。),( AA Ayn Ayn 例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)

9、鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)，,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 0ln q例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 0 0, ,則則,

10、 ,a a取取1 11 1aa 舉例說(shuō)明如何應(yīng)用定義證明極限的存在性。舉例說(shuō)明如何應(yīng)用定義證明極限的存在性。例例1：證明：證明111 nnlim證：證：nnnn2111111111 由由于于,121 N故故取取則當(dāng)則當(dāng)nN時(shí)，便有時(shí)，便有 111n成立。成立。,21, 0 n要要使使 21n只只要要。111 nnlim)0( ,1 aann nl li im m例例5 5證證明明數(shù)值驗(yàn)算數(shù)值驗(yàn)算成成立立。時(shí)時(shí)是是常常數(shù)數(shù)列列，結(jié)結(jié)論論顯顯然然當(dāng)當(dāng)證證明明：1 a,11)1(),0( ,1, 1nnnnnnnnnnnaaa 則則令令設(shè)設(shè)naann110 ,1,1, 0 naNnaN因因此此;1l

11、im nna,1,)( an解解得得令令, 1,1, 10 bbaa則則令令再再設(shè)設(shè)111 nnnnbbba,（令）,11,1, 0 nnbaNnbN由由前前述述所所證證，.1lim nna因因此此，綜合之，即知結(jié)論成立。綜合之，即知結(jié)論成立。. .2 21 1l li im m證證明明例例6 6 432322nnnnn,)432(243214323, 0222 nnnnnnn解解不不等等式式證證明明：) 432( 243214323222 nnnnnnn,4747)2( 24322 nnnnnn,47,47NnNn 取取解得，解得，.4721432322 nnnnn因因此此，. .2 21

12、1l li im m 432322nnnnn思考思考：N的取法是否唯一？不等式放大過(guò)程中是否還的取法是否唯一？不等式放大過(guò)程中是否還可以作其他形式的放大？可以作其他形式的放大？用用Mathematica4.0求極限求極限4132lim21 xxxx1sinlim0 xxx11sinlim xxx41324lim22 xxxx1、有界性有界性1.2.3 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定定義義: 對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)M, 使使得得一一切切自自然然數(shù)數(shù)n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無(wú)無(wú)界界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2n

13、nx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界BxABAn 使使得得等等價(jià)價(jià)于于：顯顯然然，上上述述有有界界性性定定義義,定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取,1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件。有界性是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件。推論推論 無(wú)界數(shù)列必定

14、發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .。是是一一個(gè)個(gè)有有界界的的發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)列列nnx)1( ;,)1( , 1 , 1, 11 n) 1(1n2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.3、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子

15、列）的子數(shù)列（或子列）的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項(xiàng)在原數(shù)列這些項(xiàng)在原數(shù)列保持保持中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx ,:987654321nnxxxxxxxxxxx,54321knnnnnnxxxxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項(xiàng)項(xiàng)，是是第第中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)在在子子數(shù)數(shù)列列注意：注意：例如，例如， ：子子列列knx, , , , ,118652xxxxx定理定理3 3 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收

16、斂且極限相同相同證證 的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使使,NK 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Kk .NnnnNKk . axkn.limaxknk 證畢證畢注：注： ;,發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散的任一子列的任一子列數(shù)列數(shù)列定理的逆否命題是：若定理的逆否命題是：若nnxx ;, 發(fā)散發(fā)散則則不同的極限不同的極限的兩個(gè)子列于的兩個(gè)子列于或若數(shù)列或若數(shù)列nnxx證法一：證法一：例例5.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axN

17、nNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實(shí)實(shí)上上nx。，：n不不存存在在顯顯然然有有子子列列證證法法二二nn12n2nn2nx，xx,x，xx lim111112.limlimlim122nn nnnn12n2nxAxAxxx,xn,并有：并有：的偶子列和奇子列的偶子列和奇子列分別稱為分別稱為一般的，子列一般的，子列4.四則運(yùn)算性質(zhì)四則運(yùn)算性質(zhì)).0(limlimlim)3(;limlim)lim)2

18、(;limlim)lim1,lim,lim4 bbabababababababababbaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（）（則則設(shè)設(shè)定定理理;0(lim 是是常常數(shù)數(shù)）注注： kkakannbbaannnn limlim和和由由證證： 2, 011 aaNnNn時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng) 22)(bbaababannnn ;limlim)(lim )1(bababannnnnnn 時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)令令NnNNN ),max(2,1。即即babannn )(lim 2,22 bbNnNn時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng)又又);(lim )(01 kkakann證證:kaaNnNn 時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng),

19、0 kkkakaNnn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則, aannlim由由。即即kakann lim .6)1(5lim722nnnnn 求求極極限限例例.611lim6lim1lim1lim5lim2 nnnnnnnnnnnnn 226)1(5lim解解： .lim2nnnn 例：求例：求 nnnn 2lim解：解：.211111lim nn nnnnn 2lim nnnnnnnnnn 222lim1.2.4 數(shù)列收斂的判別法數(shù)列收斂的判別法1.夾逼原理夾逼原理定定理理 1 1 （夾夾逼逼原原理理） 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: : ,lim,lim)2()3 , 2

20、, 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 例例8 8).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理

21、得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn。求求極極限限nnnnn432lim 例例9 9nnnnnnn3443432 n nn n4 44 4解解：. 4432lim, 13lim nnnnnnn及及夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則得得，由由?lim, 021 nnmnnnaaai ia a思思考考： 設(shè)設(shè)2.單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:x1x2x3x1 nxnxAM的的存存在在性性。討討論論極極限限nn)11( n nl li im m例例1 10

22、0：數(shù)值實(shí)驗(yàn)：數(shù)值實(shí)驗(yàn)：從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可猜想，這個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增，且不從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可猜想，這個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增，且不超過(guò)超過(guò)3。下面來(lái)嚴(yán)格證明，這個(gè)實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果是正確的。下面來(lái)嚴(yán)格證明，這個(gè)實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果是正確的。nnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( )111(! 21111nxn類似地類似地,).11()121)(111()!1(1 nnnnn)111()121)(111(!1 nnnnn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 121211

23、1 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為ennn )11(lim4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7 計(jì)算可得：計(jì)算可得：這個(gè)數(shù)是與這個(gè)數(shù)是與 一樣重要的常數(shù)，是無(wú)理數(shù)一樣重要的常數(shù)，是無(wú)理數(shù) 121222113211!1nnn例例1111.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1 nnxxn 有有 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的來(lái)來(lái)證證明明nxnnxx 31由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法，21333xx )1(時(shí)成立時(shí)成立 n)(時(shí)成立時(shí)成

24、立假設(shè)假設(shè)kn ,1 kkxx假設(shè)假設(shè), 331 kkxx,331 kkxx,21 kkxx即即)1(時(shí)成立時(shí)成立推出推出 kn ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的所所以以nx,333,33, 3 , 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,limAxnn 設(shè)設(shè)由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法)1(時(shí)成立時(shí)成立 n)(時(shí)成立時(shí)成立kn , 032 AA, 333 kx,333 kxnnxx

25、31存在，并求出極限。存在，并求出極限。極限極限證明證明設(shè)設(shè)例例nnnnnxnxaxxax lim), 2 , 1)(21, 01211,)(211axaxxaxxnnnnn 解解：有下界；有下界；nx,212)(212221nnnnnnnnnxxxxxaxxaxx 單單調(diào)調(diào)遞遞減減。nx存存在在。由由單單調(diào)調(diào)有有界界原原理理，Axnn lim，得得兩兩邊邊取取極極限限，注注意意到到在在等等式式)(21,limlim)(2111AaAAxxxaxxnnnnnnn )( ,舍舍去去？解解得得aAaA 注：給出了求平方根的近似計(jì)算格式注：給出了求平方根的近似計(jì)算格式限限。的的極極限限存存在在，并并

26、求求此此極極證證明明數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)分分，例例)., 2 , 1( )3(, 30)82002(1311nnnnxnxxxx 均均為為正正數(shù)數(shù)，知知解解：1111,3,03,30 xxxx .23)3(21)3(011112 xxxxx故故.23)3(21)3(0),1(230 1 kkkkkkxxxxxkx則則設(shè)設(shè)有界，有界， ,230nnxx , 03)23()3()3(1 nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx.單單調(diào)調(diào)遞遞增增nx用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法，存存在在。nnx lim?)(0,233),3()3(,lim22121舍舍去去兩兩邊邊取取極極限限，得得即即設(shè)設(shè) aaaaa

27、xxxxxxaxnnnnnnnn。23lim nnx單調(diào)有界原理反映了實(shí)數(shù)系的一個(gè)重要性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)有界原理反映了實(shí)數(shù)系的一個(gè)重要性質(zhì)：實(shí)數(shù)系的連續(xù)性。有理數(shù)系中的單調(diào)有界數(shù)列在有實(shí)數(shù)系的連續(xù)性。有理數(shù)系中的單調(diào)有界數(shù)列在有理數(shù)范圍內(nèi)可能沒(méi)有極限。因此極限理論是建立在理數(shù)范圍內(nèi)可能沒(méi)有極限。因此極限理論是建立在實(shí)數(shù)系上的。實(shí)數(shù)系上的。數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性、四則運(yùn)算法則有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性、四則運(yùn)算法則.數(shù)列收斂的判別法數(shù)列

28、收斂的判別法夾逼定理、單調(diào)有界原理。夾逼定理、單調(diào)有界原理。小小 結(jié)：結(jié)：4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7) )n n1 1( (1 1l li im m極極限限：n nn n1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽概念的引入概念的引入1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉

29、徽劉徽概念的引入概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割