第8章從傅里葉換到小波變換ppt課件

1、本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)n信號(hào)的時(shí)、頻域分析n信號(hào)時(shí)域分析和頻域分析的重要性：n時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量。n信號(hào)的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。-j t-f( )f(t)edtj t-1(t)f( )ed2f 例1：12( )sin(10 )sin(20 ),( )sin(10 ) ()sin(20 ) ( )f tttf tt utt u t回目錄2( )f t1( )f t回目錄n例2：從歌聲中恢復(fù)樂譜 n或從從樂譜中恢復(fù)歌聲怎么辦？怎么辦？ 為什么？為什么？n用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。n傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。n傅立葉

2、變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號(hào)的突變成分。n為了討論方便，將重寫如下： (81) (82) 式中 稱為（簡(jiǎn)稱） j tff t edt 12j tf tfedj te回目錄 ；1j te回目錄( )f t(,) ( )f t ， j te回目錄1j tej te( ) t(,) ( )f( )f t(,) ( )f( )f回目錄j te(,) j te回目錄2( ) j te( ) tn由于fourier變換是頻域分析的基本工具，因此，最方便也是最容易想到的方法就是在fourier分析中的基函數(shù)之前乘上一個(gè)時(shí)間上有限的時(shí)限函數(shù)g(t)，即用 作為積分核，這樣 起頻限的作用g(t)起時(shí)限的作用，

3、合在一起就可以起到時(shí)頻雙限制的作用，這時(shí)的變換公式為： （83） 顯然， 提供了f(t)在g(t)所限定的局部時(shí)間區(qū)域內(nèi)波形的頻域信息。 j tg t ej te j tgff t g t edt gf回目錄ng(t)往往被稱之為，則相應(yīng)的傅里葉變換稱為。其變換公式為： （84） 式中， 中的g表示的意思； 稱為。 ,j tgff t g tedt ,f t gt dt ,gf ,j tgtg te 回目錄n如果我們?cè)陬l域中對(duì) 通過窗函數(shù) 的加窗作用而獲得了 在頻率 附近的局域信息 ，則 f ,g f fg 1,2jgffged fg 回目錄 n不失一般性，選作為窗口函數(shù)，即 （86） 2/4

4、12taagtea2212taea回目錄n式中正常數(shù)a為。其實(shí)，gauss函數(shù)在窗口最小意義下是最優(yōu)窗口函數(shù)，這時(shí)的窗口傅里葉變換也稱為。為： (87) 2412tjaageedta22212tjaaaedta221xaedxe21ae2ae回目錄將將(86)的窗口函數(shù)代入式的窗口函數(shù)代入式(84),然后兩邊對(duì)做積分，然后兩邊對(duì)做積分，有：有：2()424jjjjj( , )( )()e( )e()1( )e(e)21( )e(e)21( )e()( )taxatatattgfdf t g tdt df tg td dtf tddtaf tdx dtaf tdtf (88) 回目錄n由于窗口傅

5、里葉變換不損失f(t)在頻域的任何信息，因此有 (89) 這表明窗口fourier變換也是。2|( )|f td21|( , )|2gfd d 回目錄n當(dāng)時(shí)移 固定時(shí)，例如取 ，式(84)可寫為0 00,gff t gt dt ， 0j tf t g tedt 0j tf t g tedt0j tf edt回目錄 式中 。 00ftf t g t回目錄n當(dāng)頻率固定時(shí)，例如 ，式(84)可以寫為n若窗函數(shù)是偶對(duì)稱的，即0 0,0 xgff t gt dt， 0jtf t g tedt 0jtf t eg tdt g tgt回目錄n則有 (811)n從上可見， 是一個(gè)時(shí)頻函數(shù)，從看，它是時(shí)域局部區(qū)

6、域信號(hào) 的頻譜；從看，它又是信號(hào)頻譜被低通濾波器過濾后的輸出。 00,jtgff t egt dt 0jtf t eg t,gf f t g t回目錄n從上可知，窗口函數(shù)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻局部化分析的基本函數(shù)，而窗口函數(shù)的局部性則可由其自身的窗口尺度來表征。n設(shè)g(t)為時(shí)域窗口函數(shù)，其傅里葉變換 為頻域窗口函數(shù)，而相空間的點(diǎn) (812) 稱為（或重心）。 g00,t 202t g tdttg t 202gdg g 回目錄n式中 為。而 可看作是。 （813） 分別稱為窗函數(shù) 的， 可認(rèn)為是窗函數(shù) 的。 22g tg tdt 2212ggd 22,g tg g g t g 22202222021

7、1g tgttg tdtg tgdg g 回目錄n對(duì)中心在 處能量為 的窗口函數(shù) ，總可以由下式將其 (814)n因此以后凡提到窗函數(shù)，若無特別說明，總假定已標(biāo)準(zhǔn)化。此時(shí)式(811)可寫為 （815）n從上可見，用時(shí)頻窗的面積 作為衡量時(shí)頻局部特性的定量標(biāo)準(zhǔn)是適宜的。 (816)00,t 2g t g 002jtg tteg tg t 222g ttg tdt 22212ggd g tg 22222212g tgtg tdtgd 2212tg tdtgd回目錄n注意到n則 (817)n又由于為保證窗函數(shù)的局部性效果，總假設(shè) n則（816）可進(jìn)一步寫為 g tg gtg 2212gtdtgd 2

8、2222g tgtg tdtgtdt 2lim0tt g t回目錄 （818） 或 （819）n這就是著名的。即 與 之積為常數(shù)，表明二者不可能同時(shí)達(dá)到最小，即提高時(shí)間分辨率 ，意味著降低頻率分辨率 ，反之亦然。n式(818)或(819)中的等號(hào)在 時(shí)成立，即高斯窗口函數(shù)具有最小的時(shí)頻窗口面積 (820) 12g tg 1124g tg fg tg g t g 42atg tea 2142agea11444ggaa g t g回目錄n1.一個(gè)信號(hào)過程，既可以用 描述，也可以用 來描述。比較直觀，對(duì)分析物理過程的變化方式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用中根據(jù)問題的性質(zhì)和難易程度可以選用更適合的某一種方法。n2.當(dāng)

9、對(duì)信號(hào)的時(shí)間特性和頻譜特性都感興趣時(shí)，可以使用。 f回目錄n3.窗口傅里葉變換是一種有效的時(shí)頻分析方法，其窗口的時(shí)頻局部特性可以用時(shí)窗寬度 和頻窗寬度 的乘積，即時(shí)頻窗口面積 來衡量。n4.時(shí)頻窗口面積受（817）式的制約，頻窗和時(shí)窗不能同時(shí)達(dá)到極小值。這表明改善頻率分辨率總是以犧牲時(shí)間分辨率為代價(jià)，反之亦然. g t g g tg回目錄n5.對(duì)窗口傅里葉變換而言，只要窗口一旦選定，它即 和 也就隨之確定不變，亦時(shí)頻窗口面積及形狀也就確定不變。在整個(gè)分析過程中便不再改變。 g t g回目錄n對(duì)窗口傅里葉變換而言，由于對(duì)同一種窗函數(shù)而言，其通帶寬度與窗寬是成反比的，所以，如果希望頻率分辨率高，則

10、窗寬應(yīng)盡量取大些n它所具有的為 ，所以若希望時(shí)間分辨率高，則窗寬應(yīng)盡量取小一些。112stff 回目錄n如果設(shè) 為， 為，即n則 滿足式(819),即 (821) 式中 仍滿足式（813）、（815）。n從heisenberg不等式可以看出，時(shí)間分辨率和頻率分辨率對(duì)窗寬的要求是相互矛盾的，二者不能同時(shí)很高，也不會(huì)同時(shí)很低。tf 1,2g tgtf tf 14tf tf 回目錄( )g t回目錄 n ( )g t( )g t回目錄 回目錄 ( )( )f tf()f aa01a回目錄tfa f t( )()tfa f aaa,1( )(),0a btbtaaan以式(822)作為積分核定義一個(gè)積

11、分變換 （823） 式（823）稱為，其中a是，b是，函數(shù) 稱作，若 是復(fù)變函數(shù)時(shí)，上式積分中要用復(fù)共軛函數(shù) 。n利用parseval公式和fourier變換的尺度變換性質(zhì)，可以證明對(duì)所有 f(t) 的連續(xù)子波逆變換，即為： （824） ,a bwf a bf tt dt 1tbf tdtaa ,a bt ,a bt 2,f ttlr ,21,a bdadbf twf a btca 2flr ,a bt回目錄n圖87尺度參數(shù)的變化對(duì)的影響及其傅里葉變換的相應(yīng)變換示意圖回目錄n圖88小波的波形隨參數(shù)a,b變化的情形 回目錄n式中 （825）n這表明小波變換并沒有損失 f(t) 的任何信息，即變換

12、是守恒的。因而下式成立 （826） 2cd 2221,dadbf tdtwf a bca 回目錄n為了保證小波反變換的存在性，所采用的小波必須滿足：“容許條件”。 （827） 稱為。20|( )|cd 回目錄n盡管滿足容許性條件的 就可以用作基本小波，但為了使 在頻域上表現(xiàn)出更好的局域性 能，要求 隨a的減小而迅速減小，實(shí)際上往往要求更高一些。 這就是要對(duì) 施加上“正則性條件”，即要求小波 的前n階原點(diǎn)矩等于0，且n值愈大愈好，即 （828）n根據(jù)傅里葉變換的頻域微分性質(zhì)，可以證明式（828）等效于要求 （829） t ,wf a b 0ptt dt0pn 00ppdd t t0pn 回目錄n

13、這也就是要求 在 處有高階零點(diǎn)，且階次n愈高愈好。 （830）n式（828）、（830）就是所謂的。顯然當(dāng)n=1時(shí)，正則性條件就等價(jià)于容許性 條件。 0 10n 000回目錄n連續(xù)小波變換在二維小波空間的 與 兩點(diǎn)之間存在自相關(guān)性，其程度可以用小波在二維小波空間兩點(diǎn)間的自相關(guān)函數(shù)即 來（reproducing kernel）度量：11,a b22,a b12121241212111,;,tbtbka a b bdtcaaaak回目錄 顯然，重構(gòu)核就是小波函數(shù)本身的小波變換，因此它與所選擇的用于分析的小波函數(shù)的類型密切相關(guān)，并且度量了每一個(gè)小波的時(shí)頻選擇性一詞的意義在于：將 作用于 時(shí)，依然會(huì)得

14、到 ，既有： （832）k,wf a b2,1,;,da dbwf a bwf a b ka a b baa ,wf a b回目錄n由于重構(gòu)核是小波函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，因此：n1.由于 ，則 不會(huì)消失，這說明連續(xù)小波變換空間中兩點(diǎn)存在某種相關(guān)性是必然的客觀存在。n2.一個(gè)復(fù)雜信號(hào)的小波圖中能顯示的不僅有信號(hào)自身的關(guān)聯(lián)，而且也有連續(xù)小波變換本身的某些關(guān)聯(lián)，二者并不容易區(qū)分開來，這里顯然不利于從信號(hào)中提取所需要的信息。n因此在小波分析中，為更好的從小波中提取信息，需要選擇合適的小波，顯然，選擇什么樣的小波與人們的分析目的有關(guān)，即與我們想從信號(hào)中提取什么樣的信息有關(guān)。k12aa12bb回目錄n如果說連

15、續(xù)小波變換主要用于理論分析方面，則離散小波變換則傾向于計(jì)算機(jī)上的運(yùn)用。把參數(shù)a,b離散化： （833）n則連續(xù)小波就變成了離散小波 （834）0jaa00mjbkb a01a 00b ,m nz 2,000jjj ktaa tkb回目錄n特別，若取 ，則有： （835）相應(yīng)的為： （836）n對(duì)應(yīng)的為： （837）n從概念上看，式（837）可以理解為,展開基為小波 ，由式（836）確定的 可理解為小波級(jí)數(shù)的系數(shù)。002,1ab 2,22jjj kttk 2,22jjwtj kf ttk dt , j kf tt dt ,1,4k tj z k zf twtj ktc , j kt,wtj k回

16、目錄n我們先看一下與多分辨分析說法相關(guān)的一個(gè)名詞?？煞旨?jí)性并不是一個(gè)全新的思想，而是一個(gè)由來已久的概念。比如，各類由粗到細(xì)思想方法，從目錄到摘要、正文的論文書寫模式，等等，無不體現(xiàn)著可分級(jí)性的思考。n實(shí)現(xiàn)這些可分級(jí)模式，的是先要獲得原始信號(hào)相應(yīng)的多分辨率分解。n信號(hào)經(jīng)分解后便可以根據(jù)某種精細(xì)度要求可分級(jí)進(jìn)行傳遞，在接收端進(jìn)行重建。n在逐級(jí)重建的過程中就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)由粗及精的觀察?；啬夸?(, ) ()201,hh回目錄0h1h(0,)21h0hn圖89頻帶理想剖分圖示說明 回目錄 ( )f n回目錄回目錄( )f n(0 )1( )h j0( )h j220v1( )2w1v2(0 )1( )

17、h j0( )h j222( )4 2w 2v4(0 )1( )h j0( )h j223( )8 4w 3(0 )8v 0()gj( )sa x1()gj回目錄221()g j0()g j221()g j0()g j2v1v221()g j0()g j( )f n0v ( )f t回目錄( )f t( )f t( )x( ) tn把空間作逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的空間。 （838） 式中符號(hào) 表示， ，j值愈小，空間愈大.n上述剖分是完整的，意即： （839） 時(shí)， 將包含整個(gè)平方可積的突變函數(shù)空間 （840） 01112211,jjjvvw vvwvvwjz 2limjjvlrj 2jj

18、 zvlrjv回目錄n剖分是逐級(jí)包含的，這表明 可寫作： （841）n 當(dāng) ， 即空間最終剖分到空集為止 （842）n 空間和 空間是正交的； （843） 不同級(jí)的各 空間也是正交的；0v011221vvwvww0jj zvj 0jv jjvwjvjwjiwwijjw回目錄n各個(gè) 空間是逐級(jí)包含的，即： （844） 式中符號(hào) 表示。顯然，式（844）就是式（840）如圖812（a）中所示的那樣。歸納一下上述討論我們有：n這個(gè)剖分也是逐級(jí)替換的，即： （845）n各個(gè) 和 及各個(gè) 頻率空間互不重疊，故 與 正交， 與 正交。這就是式（842）、（843）。jvjw012vvvab01112212

19、3jjvwvwwvwwwwvijjvjwjvjwjwiw回目錄n每個(gè)子空間 是其低級(jí)子空間 二剖分的結(jié)果，故j越小，空間也越小，當(dāng) 時(shí)，成為空集。這就是式（841）。n顯然，所有剖分后各子頻帶空間的總合就是初始空間 這就是式（840）。n根據(jù)的定義： （846）n顯然對(duì) ， ；對(duì) ， ，這個(gè) 結(jié)果具有一般性，即各 的品質(zhì)因數(shù)是相同的。: 0 2jjv11: 0 2jjvj 0: 0 vq 中心頻率帶寬1w33422q2w33824qjw回目錄n從上述對(duì)頻率空間剖分的討論還可以看出：n 函數(shù)f(t)的平移不改變其所屬的空間，如 ，則f(t-k)仍屬于 ，這一特性稱為函數(shù)的位移不變性。n 如 ，則

20、 （847） 即函數(shù)的尺度變換會(huì)改變所屬空間。 jf tvjv12jtfv jf tv回目錄n空間中的低通平滑函數(shù)族 稱為。它的整數(shù)移位集合 是 中的，即： （848）意味著： （849）jv jkt0v t,tkkz tktm dtkm 1t dt0v回目錄n式（847）、（848）意味著可以用 及其平移作為基函數(shù)，將空間 中的任意函數(shù)f(t)展開成 的線性組合： （850）n式中， （851） 是， 代表f(t)在 上的投影，稱為，即f(t)在分辨率j=0下的概貌。 t0v 0kt 000kkkp f tft 000kkfp f tt dt 0kf tt dt 0p f t0v0v回目錄nf(t)在 中的平滑逼近