二次函數(shù)與幾何圖形綜合

1、二次函數(shù)與幾何圖形綜合類型1利用二次函數(shù)圖象解決與線段、三角形相關(guān)的問(wèn)題以函數(shù)圖象為背景的幾何題，圖象背景往往就是一件衣服，根本套路是依據(jù)“點(diǎn)在圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式求出函數(shù)解析式，從而根據(jù)題目條件求出更多點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求 出線段長(zhǎng)度、三角形面積.1.牡丹江中考如圖，拋物線y = ax2二次函數(shù)y二一x2 + mx + n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 1，4，B1，0，y= x+ b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且 與二次函數(shù)y= x2 + mx + n交于點(diǎn)D.1求二次函數(shù)的表達(dá)式； 點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)點(diǎn)N在BD上方，過(guò)N作NP丄x軸，垂足為點(diǎn)P,交BD于 點(diǎn)M，求MN的最大值. + 2x+ c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0，3，B-

2、 1，0，請(qǐng)答復(fù)以下問(wèn)題:1求拋物線的解析式；拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,連接BD，求BD的長(zhǎng).3如圖，拋物線經(jīng)過(guò) A(4 , 0), B(1 , 0), C(0, 2)三點(diǎn).(1) 求此拋物線的解析式；(2) 在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn) D，使得 DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).類型2二次函數(shù)圖象與“線段之和最短問(wèn)題如果兩條線段有公共端點(diǎn)，那么直接構(gòu)造 “線段之和最短問(wèn)題解決，如果兩條線段沒(méi)有公共端點(diǎn)，那么需要通過(guò)平移將兩條線段構(gòu)造得有公共端點(diǎn)，然后應(yīng)用“線段之和最短 問(wèn)題解決.4. 如圖，拋物線 y=#(x + 2)(x 4)與x軸交于點(diǎn) A B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與

3、y 軸交于點(diǎn)C, M為拋物線的頂點(diǎn).求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；m)(m>0)與 x 軸 設(shè)動(dòng)點(diǎn)N( 2, n)，求使MWBN的值最小時(shí)n的值.15. 如圖，拋物線y= m(x + 2)(x相交于點(diǎn)A，B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).(1) 假設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)G(2，2)，求實(shí)數(shù)m的值；(2) 在(1)的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) H,使A卅CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).6 .如圖，拋物線 y= 2+ bx + c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且02 2, OC= 3.(1) 求拋物線的解析式.(2) 點(diǎn)D(2 , 2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P,

4、使得 BDP的周長(zhǎng)最小,假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.DOABC勺邊OA在y軸的正半軸上,7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在/軸的正半軸上，/ AOO的平分線交AB于點(diǎn)D, E為BC的中點(diǎn)， A(0, 4) , C(5, 0)，二次函數(shù)y = 4x2 + bx + c的圖象拋物線經(jīng)5過(guò)A，C兩點(diǎn).(1) 求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) F , G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接 D, E, F, G構(gòu)成四邊形DEFG求四邊形DEFG周長(zhǎng)的 最小值.8如圖，拋物線 尸x2 + bx + c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( 1, 0), B(3, 0)

5、請(qǐng)解答以下問(wèn)題: (1)求拋物線的解析式；點(diǎn)E(2, m)在拋物線上，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接FH, 求線段FH的長(zhǎng).9.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=W+(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相交于0、A兩點(diǎn).(1) 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2) 在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B,使 AOB的面積等于6,求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3) 對(duì)于(2)中的點(diǎn)B,在此拋物線上是否存在點(diǎn) P,使/ POB=90 ?假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐 標(biāo)，并求出厶POB的面積；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案c= 3,a= 1,1. (1)v 拋物線 y= ax 5. (1)拋物線過(guò)點(diǎn)

6、 G(2 , 2)時(shí),孑(2+ 2)(2 m) = 2,解得 m = 4. + 2x + c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0 , 3), B( 1, 0)，二解得二0= a 2+ c.c= 3.拋物線的解析式為y = x2 + 2x+ 3. v y= x2 + 2x + 3= (x 1)2+ 4,二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4).二 BE = 2, DE = 4.二 BD= BE2+ DE2 = 2 5.4 = 1 m + n,2. (1)v二次函數(shù) y= x2+ mx+ n 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 1, 4), B(1 , 0),二解0= 1+ m+ n.m = 一 2,得n= 3.二次函數(shù)的表達(dá)式為y= x

7、2x + 3.1 1尹+引,1 1 1 1 1 v y = x + b 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B ,二21 + b= 0.解得 b=y = qx + 2.設(shè) M(m ,22112 353 2 49那么 N(m , m 2m+ 3), MN = m 2m+ 3 (m + 2)= m m + 空=(m+玄)+ MN的最大值為49.3. (1)v該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0, 2),設(shè)該拋物線的解析式為y= ax2 + bx 2.將A(4 , 0) , B(1, 0)代入，得16a+ 4b 2 = 0，解得a+ b 2= 0.1a= 2 ,5b=9此拋物線的解析式為y=-歩+ fx 2.設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0<t&l

8、t;4),那么D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一|t2 + |t 2過(guò)D作y軸的平行線交AC1115于E.由題意可求得直線AC的解析式為y = 2x 2. a E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t ,空2).二DE=彳2+21 1 1 1t 2 (夕2)= 歹2+ 2t. a Sadca =X ( qt2 + 2t) X 4= t2 + 4t= (t 2)2 + 4. a 當(dāng) t= 2 時(shí), DCA 面積最大.a D(2 , 1).4. (1)令 y= 0，得彳儀 + 2)(x 4) = 0,解得 X1= 2 , X2 = 4;令 x= 0，得 y = 2. a A( 2 ,0)、B(4 , 0)、C(0 , 2).過(guò)點(diǎn)A( 2

9、, 0)作y軸的平行線l,那么點(diǎn)B關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)B' 8 , 0),又M(1 , ；、2), 連接B'M與I的交點(diǎn)即為使 MN + BN值最小的點(diǎn).設(shè)直線 B'M的解析式為y= kx + b,那么0 = 8k+ b ,9解得8.2= k + b ,1 1/ m= 4，二 y = 4(x + 2)(x 4)令 y= 0, 4(x + 2)(x 4)= 0,解得 xi= 2, x2 = 4.那么2+ 4A( 2, 0), B(4, 0).二拋物線對(duì)稱軸為直線I: x = 廠 =1.令x = 0,那么y= 2,所以C(0,2). t B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，二連接BC, B

10、C與直線I的交點(diǎn)便為所求點(diǎn)H.v B(4, 0),133C(0, 2),二求得線段BC所在直線為y = qx + 2.當(dāng)x= 1時(shí)，y=Q,： H(1 ,).C 3,b =石，6. (1)由條件得A( 2, 0), C(0, 3),代入二次函數(shù)解析式，得 c “ c解得22 2b+ C 0.-C 3.拋物線的解析式為y 2xt 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4 , 4)，/ BOD=45° , BO= 42 42 =4 2. + 2x+ 3.連接AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,那么P為所求的點(diǎn).設(shè)直線 AD的解析式為y kx +1.由得2k+1 0,2k +1 2.解得k2,t 1.1b 1直線AD的解析

11、式為y qx + 1.t對(duì)稱軸為直線x習(xí)，將20+ 5b + c 0,c 4,24b= 解得5 '故c 4.x2代入 y2x+1,得 y4.二 pg, 4).4 27. (1)將 A(0 , 4)、C(5, 0)代入二次函數(shù) y gx2+ bx + c,得424二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2+ 4.延長(zhǎng)EC至E',使E' C EC,延長(zhǎng)DA至D',使D'A DA，連接D' E'交x軸于F點(diǎn)，交y 軸于 G 點(diǎn)，GD GD , EF E' , (DG + GF+ EF+ ED)最小一D 科 DE，由 E(5, 2), D(4, 4),得

12、D' 4 , 4) , E(5 , 2).由勾股定理，得 DE 22 + 12 5 , D ' E ' yj (5+ 4) 2+( 4 + 2) 2 13, (DG + GF+ EF+ ED)最小D E+DE 3仆 + 75.1 b+ c= 0,b 2,8. (1) t拋物線 y x2+ bx + c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 1, 0), B(3 , 0), 解得 y x2 2x 3.9 + 3b + c 0. c 3.t點(diǎn)E(2 , m)在拋物線上，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與m 4 4 3 3.： E(2 , 3) BE . (3 2) 2+( 0+ 3)2 , 10.T 點(diǎn)x軸交于點(diǎn)H , H 是 AB 中點(diǎn)， FH ；BE 9、.(1)t函數(shù)的圖象與 x軸相交于O, 0=k+1, k=-1，二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x.假設(shè)存在點(diǎn) B,過(guò)點(diǎn)B作BD丄x軸于點(diǎn)D.1/ AOB 的面積等于 6，一 AO - BD=6.2當(dāng) y=0 時(shí),x(x-3)=0.解得 x=0 或 3. AO=3.： BD=4 ,即 4=-3x.解得 x=4 或 x=-1(舍去).又t頂點(diǎn)