分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論

1、第二章分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論教學(xué)目的與要求：掌握速率分布概率密度（速率分布函數(shù)） 的意義，掌握麥克斯韋速率分布；理解速度空 間、麥克斯韋速度分布，了解從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出麥克斯韋速率分布；了解氣體分子碰壁數(shù)的應(yīng)用；了解等溫大氣壓強(qiáng)公式與玻耳茲曼分布；掌握能量均分定理。教學(xué)方法：課堂講授與討論相結(jié)合。 適當(dāng)進(jìn)行課堂習(xí)題練習(xí)與思考題的討論，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教學(xué)重點(diǎn)：速率分布概率密度（速率分布函數(shù)）、麥克斯韋速率分布與能量均分定理。教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)主要教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)概率論的基本知識(shí)一、伽爾頓板實(shí)驗(yàn)A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)律-統(tǒng)計(jì)規(guī)律B統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨

2、著漲落現(xiàn)象二、等概率性與概率的基本知識(shí)1、隨機(jī)事件：在一定條件下，某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。2、概率的定義：在相同的條件下重復(fù)同一實(shí)驗(yàn)，在總次數(shù)N足夠多的情況下（即 NRs），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL,則這一事件出現(xiàn)的百分比就是 該事件出現(xiàn)的概率。3、等概率性在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：（等概率原理）如果對(duì)于系統(tǒng)的各個(gè)可能的狀態(tài)沒有更多的知識(shí)，就可暫時(shí)假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。4、概率的基本性質(zhì)：n（1）歸一化：pr1r 1（2）概率相加法則：n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。（3）概率相

3、乘法則：同時(shí)或依次發(fā)生的,互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率。三、平均值及其運(yùn)算法則1平均值N1u1 N2u2NTiNiUiiNPu1 F2u2PUi說明：應(yīng)用方便，但只適用于N非常大的所有事件。當(dāng)N 時(shí)：U2、漲落（散度、散差）（相對(duì)方均根偏差）物理意義:2 1/2“ U、2J/2( U) ( U)rms()UUU表示隨機(jī)變量在平均值附近散開分布的程度第二節(jié)麥克斯韋速率分布、速率分布概率密度（速率分布函數(shù)）1按位置分布的概率密度射擊點(diǎn)在靶上的分布（圖2.2 ）黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：表示黑點(diǎn)沿 x方向的相對(duì)密集程度。X2f (x)dxX1仃、dNxf（x） -Ndx位置處于洛到x

4、2范圍內(nèi)的概率f (x)dx1 （歸一化條件）里占沿八、八、1 11xf（x）dx（注意：對(duì)所有的黑點(diǎn)求平均）y方向分布的概率密度：表示黑點(diǎn)沿y方向的相對(duì)密集程度。dNy f（y） - Ndy黑點(diǎn)沿平面位置分布的概率密度：表示黑點(diǎn)在某一區(qū)域內(nèi)的相對(duì)密集程度。dNxy f（x,y） 丄 f x f yNdxdy2、速率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)的一種）dNv f （v）-Ndv只與速率-有關(guān)，或說,只是-的函數(shù)含義:速率在U附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比?；蛞粋€(gè)分子的速率在速率u附近單位速率區(qū)間的概率-概率密度。速率分布函數(shù)的歸一化條件f(x)dx 1 (歸一化條件)f()dN曲線下面

5、積恒為13、概率分布函數(shù)的普遍意義分子按能量的概率分布函數(shù)物理意義：能量在£附近f()業(yè)Nd£ - £ +d £)單位能量間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比分子按速度的概率分布函數(shù)：f()物理意義：dNNddNNd xd yd z速度在附近單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)f(r,)物理意義:dNr,Ndrd位置在 r 附近(x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。dNr,Ndxdydzd xd yd z單位長度間隔內(nèi)，速度在 附近單位速度間隔、麥克斯韋速率分布 1、麥克斯韋速率分布

6、無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布：e 2kT2d3 m - f( )d 4 (訂)22 kTf(v):麥克斯韋速率分布概率密度。物理意義：速率在u附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。注意:(1) 僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)(2) 麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的集體。也有漲落，非常小。2、麥克斯韋速率分布曲線:f ()Op所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百(2)平均速率0 f（）d8kT8RTmMRTI-； M(3)方均根速率3kT0)d3RTrms2f(RT1.73M3、三種速率物理意義：分子以速率 p出現(xiàn)的幾率最大?；颍喝舭颜麄€(gè)速率范圍分成許多相

7、等的小區(qū)間，則分比最大。三種速率的比較適用條件：理想氣體分子大小:Prms它們都應(yīng)用：p用于討論速率分布用于討論分子碰撞-rms用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能例題：三、麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)證明 1、朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置Hg '2、實(shí)驗(yàn)原理改變3,從分子束中選擇出不同速率的分子,測定其強(qiáng)度。凹槽有一定寬度，實(shí)際上選出的是某一速率范圍內(nèi)的分子數(shù)。金屬蒸氣的分子速率分布與分子束中的分子速率分布并非一回事F( )df ( )d、速度空間1直角坐標(biāo)表示的速度空間第三節(jié)麥克斯韋速度分布坐標(biāo)軸：速度分量vx、vy、vz從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量：表示分子速度方向和大小。2、代表點(diǎn)在速度空間中的分布速度分布概率

8、密度物理意義:f(vx,vy,vz)巴沁凹NdVxdVydVzA、表示速度空間中體積為dvx dvy dv z的小體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度。B、在速度附近(y, z z d z )單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。f(vx)dvx物理意義:dN(Vx)Nf (Vx)dVxA、任一分子處在速度空間垂直于 Vx軸的無窮大平板中的概率。B分子速度的X分量在Vxvx+dvx的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。二、麥克斯韋速度分布無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布:f(x, y, z)d xd3 m( x2 z m 7-()2 e2 kTyd2y2kTzd xd yd z物理意義：A、任一分

9、子處在速度空間中任一體積為dvx dvy dvz的小立方體中的概率。B、速度在附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。1m x2f( x)d x ( m )2 e TkT d2 kT三、從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布Vzdv x第四節(jié)氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用、由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式1. 由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)速度在，斜柱體內(nèi)的分子數(shù)目N( )dv ng( )Vxd只有Vx>0的才打到墻壁N N( )dv n o g( x)Vxd x2、由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體壓強(qiáng)公式P2mvxIM (v)dv n °22mg(Vx)Vx dVxn mg(Vx)

10、vjdVx2 1 2 nmvxnmvx 3以上推導(dǎo)用到g(Vy)v；dVyg(Vz)v；dVz 1、瀉流及其應(yīng)用的簡單介紹 瀉流的速率分布率3 mvN( )3e 2kT第五節(jié) 外力場中自由粒子的分布與玻耳茲曼分布一、等溫大氣壓強(qiáng)公式i等溫大氣壓強(qiáng)公式大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強(qiáng)隨高度變化:mgzP(z) P(0) e kTM mgzP(0) e各量含義：P(z):高度為z處的大氣壓強(qiáng)P(0):海平面處的大氣壓強(qiáng)Mm大氣分子的摩爾質(zhì)量說明：高度不超過2Km時(shí)，結(jié)果比較符合實(shí)際。應(yīng)用：高度計(jì)高度每升高10米，大氣壓強(qiáng)約降133Pa ( ImmHg)2、重力場中粒子按位置的分布mgzM m

11、gzn(z)n (0)en(0)em?kTKkT(分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律減小)3m -f( ) f( x, y, z)(RkT)2emghn(z)n (0)e 有kT玻爾茲曼對(duì)粒子按能量的分布進(jìn)行了推廣。、玻耳茲曼分布即在某一狀態(tài)區(qū)間的 粒子數(shù)與在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布， 該狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量£有關(guān)，且與e kT成正比。1 2n1n2e kT說明：A、玻爾茲曼分布僅是一種描述粒子處于不同能量的(單個(gè))狀態(tài)上有不同概率的一種分布。(平衡態(tài))B玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。（在&越大的狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少 ）如：重力場

12、中，分子位置分布下密上疏，不再均勻。在量子理論中，處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極少。第六節(jié)能量均分定理、理想氣體熱容1熱容:物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。小dQdT摩爾熱容：1mol物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。Cm 1 嚴(yán)）dT比熱（容）:1Kg物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的1 RQ、 c（）m dTC Cm, C mcC, Cm , C 不僅與物體性質(zhì)有關(guān)，也與具體過程有關(guān) 定體熱容Cv、定壓熱容Cp、摩爾定體熱容Cv,m、摩爾定壓熱容CP,m、定體比熱容Cv、 定壓比熱容CP2、理想氣體內(nèi)能與熱容 單原子理想氣體內(nèi)能:33Um NA kT RT22單原子

13、理想氣體摩爾定體熱容：Cv,m3 R二、自由度與自由度數(shù)21機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)： 看成基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng) 如 自行車輪子的運(yùn)動(dòng)（剛體） （隨C平動(dòng)）加上過C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2、自由度與自由度數(shù)自由度：描述物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)。自由度數(shù)：確定物體空間位置所需要的 獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。（t :平動(dòng)自由度； r :轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；s:振動(dòng)自由度） 質(zhì)點(diǎn)t 3r = 0s = 0三維空間，t = 3若受到限制，自由度降低平面上t :=2直線上t :=1剛體（如:手榴彈，陀螺）t + r6s = 0定質(zhì)心位置需3個(gè)平動(dòng)自由度每一點(diǎn)繞過c點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)共有 3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度先定轉(zhuǎn)軸2個(gè)自由度，再定每個(gè)

14、質(zhì)量元在垂直軸的平面內(nèi)繞軸旋的角度1個(gè)自由度。非剛體 （由N個(gè)獨(dú)立的粒子組成的質(zhì)點(diǎn)系：包括氣體、液體）t + r + s3 N一般說來，這3N個(gè)自由度中，有三個(gè)平動(dòng)、三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)及3N-6個(gè)振動(dòng)自由度3、氣體分子的自由度單原子分子 可看作質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)為 t = 3N個(gè)原子組成的多原子分子可看作質(zhì)點(diǎn)系（非剛體），自由度數(shù)最多為 3N個(gè)。剛性雙原子分子以及其它剛性的線型分子，一般都有3個(gè)平動(dòng)自由度和 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,其自由度數(shù)為5。三、能量均分定理 1、能量均分定理:在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)（氣、液、固）分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能平均分配到每一個(gè)分子的每個(gè)自由度上，每一個(gè)分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都是2kT能量均分定理僅限于均分平均動(dòng)能每一振動(dòng)自由度均分kT的能量。振動(dòng)能量的計(jì)算：簡諧振動(dòng)，平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相等, 若某種分子有t個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度，則每一分子的總的平均能量為一 什r 2s）?丄kT因?yàn)樽杂啥葧?huì)' '2式中各種振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都應(yīng)是確實(shí)對(duì)能量均分定理作全部貢獻(xiàn)的自由度, 發(fā)生凍結(jié)。2、能量按自由度均分的微觀解釋：A、對(duì)于氣體，由于分子間頻