量子躍遷20101213

1、研究的問題：研究的問題：定態(tài)微擾理論與時間無關(guān)，研究在有微擾作用下，定態(tài)能量和波函數(shù)的修正，從而得到有微擾時的能量和波函數(shù)。在有與時間有關(guān)的微擾作用下，哈密頓算符與時間有關(guān)，體系的能量不守恒。因而不存在定態(tài)，也就談不上對能量的修正。故只能研究有微擾時的波函數(shù)。量子狀態(tài)之間的躍遷，以及體系對光的吸收和發(fā)射（能量變化）等。微擾理論微擾理論設(shè) 時，體系處于定態(tài)，哈米頓算符為 ，定態(tài)波函數(shù)為 ，其中 為的 本征函數(shù)，即0t0Htinnnen0H與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with timennnH0（5.6-3）在 時，體系受到與時間有關(guān)的微擾 ，使體系的哈米頓算符變?yōu)?/p>

2、：0t)(tH)()(0tHHtH（5.6-1） 體系處的狀態(tài)為：nntinnnnnertatrtatr)()(),()(),(（5.6-4）由含時薛定格方程：),()(),()(),(0trtHHtrtHtrti（5.6-2）與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with time初始條件： )() 0 ,() 0 ,(rrrnn當 時，系統(tǒng)可能會處于各個定態(tài) ，相應(yīng)的幾率為 ，即：0tn2| )(|tan0t nmmnntHrnntatatatatrr2222211)()(| )(| )(| )(|)(),()0 ,(幾率態(tài)與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation

3、 theory with time將（5.6-4）代入（5.6-2）式得：nnnnnnnnnnnntHtaHtadttdaittai)()()()()(0（5.6-5）注意 是 的本征函數(shù)，無微擾時， ，故上式中消去兩邊的第一項得：0HnnHti0nnnnnnHtadttdai)()(與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with time以 左乘上式兩邊后，對整個空間積分得：*mnnmnnnmndHtaddttdai)()(*歸一條件： ，代入：mnnmd*ntimnnmmneHtadttdai)()(（5.6-6） 其中微擾矩陣元： dHHnmmn*（5.6-7）與時

4、間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with time 躍遷的玻爾頻率： （5.6-8）mn)(1nmmn（5.6-6）是一個聯(lián)立方程組，一般不能嚴格求解。可仿定態(tài)微擾理論引入?yún)⒆兞壳?，但很煩。)(tan若 時，體系處于 的第 個本征態(tài) ，則由（5.6-4）式， ，必有 0t0Hkk) 0 ,() 0 ,(rrknnnkrar)0 ,()0()(nkna)0(（5.6-9）若只考慮一級近似，則用 代替 ，（5.5-6）變?yōu)椋?0(na)(tan與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with timetimkntimnnkmmkmneHeHdttdai

5、)(1)(0dteHitattimkmmk（5.6-10）故由 躍遷到 的幾率為：km2| )(|taWmmk（5.6-11）此為微擾一級近似下的躍遷幾率公式。5.6 與時間有關(guān)的微擾理論Perturbation theory with time下面分兩種情況來計算 和 。)(tammkW一、設(shè)一、設(shè) 在在 內(nèi)，不為零內(nèi)，不為零但與時間無關(guān)（常微擾）但與時間無關(guān)（常微擾）H10tt 體系在 時所處的定態(tài)為 ，在 作用下，躍遷到連續(xù)分布的末態(tài) ，其能量 在動態(tài)能量 上下連續(xù)分布。0tkHmmk以 表示在 能量范圍內(nèi)末態(tài)的數(shù)目， 即是末態(tài)密度。mmd)(mmmd)(m從初態(tài)到末態(tài)的躍遷幾率為：5.

6、7 躍遷幾率Transition ProbabilitytH0t1mmmmdmtataW)(| )(| )(|22（5.7-1）而（5.6-10）式有：ttimkmdteHitamk01)(mkmkttimkitideHimk) (10mktimkttimkmkmkmkeHeH105.7 躍遷幾率Transition Probability11| )(|222titimkmkmmkmkeeHta22222222sin| 4cos12|mkmkmkmkmkmktHtH（5.7-2）代入（5.7-1），且注意 ，則mkmddmkmkmkmmkdtHW22)(22sin|4（5.7-3）5.7 躍遷

7、幾率Transition Probability（ 在3.2中，歸一化時知上式中被積后部分可表為 函數(shù)）222sinmkmkt)(21mkmktt 時當mkmkmkdmHtW)()(|22（5.7-5） )(|22mHtmk5.7 躍遷幾率Transition Probability（ 和 平滑變化時可移出積分號，而 ）H1)(mkmkd單位時間內(nèi)的躍遷幾率 )(|22mHtWmk（5.7-6）態(tài)密度 的具體形式取決于末態(tài)的具體情況。)(m例：當末態(tài)是自由粒子（三維）動量的本征函數(shù)時： （箱歸一化）在 內(nèi)的態(tài)數(shù)目為 rPimeLr2/3)(md5.7 躍遷幾率Transition Probab

8、ilitydddPPLdmmsin2)(23而 mPm22dPmPdmddmPLmsin2)(3（5.7-8）mPdL325.7 躍遷幾率Transition Probability二、周期微擾二、周期微擾. .)(cos)(titieeFtAtH則微擾矩陣元： （5.7-9）)()( *titimkkmmkeeFdtHH（5.7-10）dFFkmmk*（5.7-11）由（5.6-10）式：ttitimkmdteeiFtamkmk0)()()(5.7 躍遷幾率Transition ProbabilitymktimktimkmkmkeeF11)()(（5.7-12）由于此式中，分子 的數(shù)量級僅為

9、1，而微擾角頻率一般很大（如可見光 /秒），故 一般都很小。timke)(1510)(tam又由數(shù)學(xué)分析中，關(guān)于不定式的定值法洛比達第一法則 大數(shù)學(xué)手冊P171 ， ，有000)(limxfax0)(limxgaxkxgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim5.7 躍遷幾率Transition Probability當 時，上式中有一項與時間無關(guān)，而另一項則與時間成正比，故當時間 足夠大時，略去與時間無關(guān)的項，只取起主要作用的與時間有關(guān)項，則：mktmk時 )(1)(1)()()(mkmktimkmkmktimkmmkmkeFeFta故由 態(tài)躍遷到 態(tài)的幾率為：km) 1)(1(

10、)(| )(|)()(2222titimkmkmmkmkmkeeFtaW5.7 躍遷幾率Transition Probability222)(|)()(222titimkmkmkmkeeFtFtFmkmkmkmkmkmk)(21sin)(| 4)cos(1)(| 22222222（5.7-14）由 函數(shù)定義（5.7-4）式)(sinlim22xtxxtt)(21)()(21sinlim22mkmkmkttt5.7 躍遷幾率Transition Probability)(|222mkmkmkFtW（5.7-15）)(|22kmmkFt（5.7-16）單位時間內(nèi)的躍遷幾率：)(|22kmmkmkm

11、kFtW（5.7-17） 5.7 躍遷幾率Transition Probability討論：討論：（1）當 時，體系由 發(fā)射能量 ， mkmk22|2mkmkFtW)(km當 時，體系由 吸收能量 ， mkmk22|2mkmkFtW)(kmmkkmWW（5.7-20） 即兩定態(tài)間，相互躍遷的幾率相等。5.7 躍遷幾率Transition Probabilitymkmk發(fā)射發(fā)射 吸收吸收2能量測不準關(guān)系由（5.7-14）式和（5.7-15）式，當 時：mk2222)()(21sin|4mkmkmkmktFWt時 5.7 躍遷幾率Transition Probability)(|222mkmkFt

12、根據(jù) 函數(shù)的性質(zhì)，當 時， ，而 ， 而實際測量中的結(jié)果并非如此。原因在于：定態(tài)能量有一定寬度 ，測量的時間不是無限長 ，而且微擾頻率 也不一定單一等mk) 0 (0)0(Et現(xiàn)討論初態(tài) 分立，末態(tài) 連續(xù)，微擾頻率 單一，作出（5.7-14）式表示的躍遷幾率的曲線圖，由圖看出，躍遷幾率主要分布在 內(nèi)km22)(ttmk5.7 躍遷幾率Transition Probability故 的不確定范圍：mkttmk14而 EEEkmmk1如果把這個微擾過程看作是在 時間內(nèi)測量能量 的過程，而能量的不確定范圍是 ，則有能量時間的測不準關(guān)系： ttmEEtE（7.5-22）5.7 躍遷幾率Transiti

13、on Probability圖265.7 躍遷幾率Transition Probability. 0B ,; 0B ,:mkmkDiscuss原子與輻射場相互作用的三個過程：1.自發(fā)輻射 (spontaneous emission) 2.受激輻射 （stimulated emission) 3.受激吸收 （stimulated absorption) 一、愛因斯坦的發(fā)射和吸收系數(shù)一、愛因斯坦的發(fā)射和吸收系數(shù)1三個系數(shù)的引入設(shè)原子體系能譜：mk321的吸收系數(shù)由受激發(fā)射系數(shù)的自發(fā)發(fā)射系數(shù)由mkkmmkkmmkBBA5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorptionmm

14、kNA自發(fā)dtdNmkEkEm自發(fā)輻射自發(fā)輻射mmkmk)N(BIdtdNmk受激EmEk受激輻射受激輻射EmEk受激吸收受激吸收mmkkm)N(IBdtdNkm自發(fā)則單位時間內(nèi)，原子由 ，發(fā)射光子 ，受激躍遷幾率為kmmk)(mkmkIB設(shè)光波在頻率 范圍內(nèi)的能量密度是 ddI)(5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption則單位時間內(nèi)，原子由 ，吸收光子 ，受激躍遷幾率為mkmk)(mkmkIB若處于 和 能級的原子數(shù)目分別 為和 ，則其平衡條件；kmkNmN)()(mkkmkmkmkmkmIBNIBAN由麥克斯韋玻爾茲曼分布：kTkTmkkTmkTkmk

15、mkmkeeNNeTCNeTCN/)()(5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption而：kmmkkTkmmkmkkTkmmkmkkmmkmkmkBBeBABeBABBNNAImkmk1)(又：黑體輻射的普朗克公式：118)(/33kThveChvv兩者聯(lián)系： dIdvv)()()(2)(Iv 5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption兩邊比較得： kmmkBBmkmkkmmkmkBCBChvA233334 （1）（利用 ）vhv2由（1）式知，只要能求出 ，即可求得 和 ，光與原子的相互作用：光波中的電場 和磁場B對原子中

16、的電子都有作用mkBmkAkmB在電磁場中電子的能量 在磁場中電子的能量 reUBMUB二、用微擾理論計算系數(shù)二、用微擾理論計算系數(shù)5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption電子在原子中的磁矩 zZLceM2（CGS） （SI）zzLeM2數(shù)置級： 0aeU 220seaBCeUB 5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption又因為： （SI） （CGS）BCB1371/222ceeeceUUssB 精細結(jié)構(gòu)常數(shù)故：磁場對電子的作用相對很弱，近似計算可略去，只考慮電場。平面單色光情況：平面單色光情況：平面單色偏振光的電場強度

17、可表示為：)2cos(ztx0zy 這里討論的是原子內(nèi)部問題，故Z的變化范圍是原子線度 ，而可見光波長 :0a5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption10061010a120a可以略去txcos0電子在其光電場中的勢能為：xex由于這個能量比電子在原子中的勢能小得多，故可視為微擾，用上節(jié)的微擾理論來處理。 )(20titixeexeexH所以（5.7-9）式，得到單位時間內(nèi)，原子由態(tài)躍遷到態(tài)的幾率：5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption)(|22202kmmkmkxe)(|222202mkmkxe為便于求系數(shù)，上式中

18、的 可以用光的能量密度I來表后：20)(81)(21cos1)()()(200200220020TtdtTI其中周期 ， 為真空電容率2T05.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption)(| )(42222mkmksmkxIe（CGS）自然光情況：自然光情況：對于頻率在一定范圍內(nèi)連續(xù)分布的光，能量密度是按一定的頻率間隔計算的，在 內(nèi)的能量密為 ，故在上式中用 代替I，并對頻率分布范圍積分：ddI)(dI)()(|4)()(|422222222mxmxsmkmksmkIxedIxe如果光不是沿方向偏振，而是各相同性的，則cos)(21)(2100rereF5.8

19、光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption222022cos| | )(|41|mkmkreF而 d222cos41coscos200231sincos41dd2222|mkmkmkmkzyxrkmmkmkmksmkBIrIe)(|)(3422225.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption而這種幾率即為)(mkmkmkIB23322332222|34|34mkmksmkmkmkmkkmmksmkrCeBCABBreB輻射強度輻射強度單位時間內(nèi)一個原子自發(fā)躍遷 發(fā)射出的能量為)(km5.8光的發(fā)射和吸收Light emission

20、 and absorption2342|34mkmksmkmkrCeAdtdE 設(shè)受激態(tài) 的原子數(shù)目為 ，則輻射頻率為 光的強度mmNmk2342|34mkmksmmmkrCeNdtdENJkm自發(fā)躍遷的平均壽命 mkmkA1原子處在 態(tài)的平均壽命 mkmkmA15.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption應(yīng)用原理：應(yīng)用原理：受激輻射發(fā)出的光，在強度上正比于輻射場中該振蕩模受激輻射發(fā)出的光，在強度上正比于輻射場中該振蕩模式的強度，而且在振蕩頻率相位傳播方向和偏振態(tài)等方式的強度，而且在振蕩頻率相位傳播方向和偏振態(tài)等方面都與該模式的振蕩一致面都與該模式的振蕩一致使

21、相干光的取得和放大成使相干光的取得和放大成為可能。為可能。主要應(yīng)用：主要應(yīng)用：1 微波量子放大器微波量子放大器 2 激光激光p如何實現(xiàn)相干光的取得和放大？如何實現(xiàn)相干光的取得和放大？1 粒子數(shù)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)增加總輻射強度增加總輻射強度2 原子在激發(fā)態(tài)壽命長原子在激發(fā)態(tài)壽命長3 諧振腔諧振腔使自發(fā)輻射小于受激輻射使自發(fā)輻射小于受激輻射EmEk光放大光放大5.8光的發(fā)射和吸收Light emission and absorption由上節(jié)，躍遷系數(shù)2|mkmkrB 躍遷能發(fā)生的條件是矩陣元 ，否則禁戒！ 0|2mkr而 2222|mkmkmkmkyyxr故三個分量矩陣元不能同時為0，否則躍遷將不會發(fā)生！原子中的電子在輳力場中運動，波函數(shù)為：)()()(cos)(),(|lmnlimmlnllmnlmYrRePrRNr5.9選擇定則 Selection rule設(shè)初態(tài)量子數(shù)為 ，末態(tài)量子數(shù)為nlm mln)(sin21sinsin)(sin21cossincosiiiieeriryeerrxrz5.9選擇定則 Selection rule)(cos121)(cos12)(coscos11mlmlmlPlmlPlmlP20) (003* * , sincos)(cos)(cosc