雙曲線的簡單幾何性質(zhì)()

1、 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（1）思考回顧 橢圓的簡單幾何性質(zhì) ？ 范圍范圍; 對稱性對稱性; 頂點頂點; 離心率等離心率等 雙曲線是否具有類似的性質(zhì)呢? 方程方程性質(zhì)性質(zhì)12yxFFOM12222byax0ba 12222byax00ba， 范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率byax|，關(guān)于坐標軸對稱、關(guān)于坐標軸對稱、關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱A1(-a,0), A2(a,0),B2(0,-b), B1(0,b).ace )(10 eax |關(guān)于坐標軸對稱、關(guān)于坐標軸對稱、關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱A1(-a,0) , A2(a,0) .ace )(1eA1A1

2、A2B2B1A2B2B1線段線段A1A2叫實軸叫實軸 .線段線段B1B2叫虛軸叫虛軸 .圖象圖象實軸長實軸長 |A1A2|=2a ,虛軸長虛軸長 |B1B2|=2b .雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì): :xaby22221xyab 漸近線漸近線:從圖可以看出，雙曲線的各支向外從圖可以看出，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近延伸時，與這兩條直線逐漸接近.即即0yxabyB2A1A2 B1 xOF2F1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)aac2212e(1)(1)概念概念: :焦距與實軸長之比焦距與實軸長之比離心率離心率(2)定義式定義式: e=c a(3)范圍范圍: e

3、1 (ca0)(4)雙曲線的形狀與雙曲線的形狀與e的關(guān)系的關(guān)系abk 即即:e越大越大,漸近線漸近線 斜率斜率的絕對值越大的絕對值越大,其開口越闊其開口越闊.xabyyB2A1A2 B1 xOF2F1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線標準方程：雙曲線標準方程：22221yxab 0bxay雙曲線性質(zhì)：雙曲線性質(zhì)：1、范圍：、范圍：2、對稱性：、對稱性： 關(guān)于關(guān)于x軸，軸，y軸，原點對稱軸，原點對稱.3、頂點：、頂點：A1 （0，-a ），），A2（0， a ）實軸長實軸長|A1A2|=2a ，虛軸虛軸 |B1B2|=2b .4、漸近線方程：、漸近線方程：5、離心率：、離心率：cea

4、 ayay或或線段線段A1A2叫實軸叫實軸 . 線段線段B1B2叫虛軸叫虛軸 .xbay(1)e 即即xyB1A2A1 B2 OF1F2中中在在雙雙曲曲線線方方程程)1(122222222 bxaybyax，那么雙曲線叫做，那么雙曲線叫做如果如果ba :此時雙曲線方程為此時雙曲線方程為222ayx :它的漸近線方程為它的漸近線方程為xy . )(xy .等軸雙曲線等軸雙曲線)(222axy 利用雙曲線的漸近線利用雙曲線的漸近線 , , 可以幫助可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖我們較準確地畫出雙曲線的草圖 . .具體具體做法是做法是 : : 畫出雙曲線的漸近線畫出雙曲線的漸近線 , ,先確先

5、確定雙曲線頂點及第一象限內(nèi)任意一點的定雙曲線頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置位置 , , 然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分近線的特點畫出雙曲線的一部分 , , 最后最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線 . . B2A1A2 B1 yxOF2F1應用舉例應用舉例: : 例例1.求雙曲線求雙曲線9y2 16x2 =144的實半軸與虛半軸的實半軸與虛半軸長長,焦點坐標焦點坐標,離心率及漸近線方程離心率及漸近線方程,并畫出雙曲線草圖并畫出雙曲線草圖.解：

6、解：:原方程可化為原方程可化為1342222 xy.34 ba，虛半軸長，虛半軸長實半軸長實半軸長5342222 bac. )50()50(，焦點坐標焦點坐標 .45 ace離心率離心率3-34-4xyO.34:xy 漸近線方程為漸近線方程為例例2.求符合下列條件的雙曲線的標準方程：求符合下列條件的雙曲線的標準方程：解：解：5(1)28,4caa 4,5,ac 2229.bca 故所求標準方程為：故所求標準方程為： 221.169xy解：解：（2）由題意）由題意43ca 雙曲線焦點在雙曲線焦點在y軸上，軸上，162 c6,8ac 22228.bca 故所求標準方程為：故所求標準方程為： 221

7、.3628yx解：解：（3）由橢圓）由橢圓22185xy的焦點的焦點),0 ,3(),0 ,3( 得到雙曲線的頂點得到雙曲線的頂點12(3,0),( 3,0),AA 知雙曲線的焦點在知雙曲線的焦點在x軸上，軸上， 且焦點為且焦點為12( 2 2,0),(2 2,0),FF 3,2 2,ac 2225.bca 故所求標準方程為：故所求標準方程為： 221.35xy（4）一個焦點是）一個焦點是F1(6，0)的等軸雙曲線的等軸雙曲線.解：解：設雙曲線為設雙曲線為 22221xyaa則由則由222bac 得得2226aa218.a故所求標準方程為：故所求標準方程為： 221.1818xy(2)對于雙曲

8、線所特有的漸近線，注意正向、反向應用對于雙曲線所特有的漸近線，注意正向、反向應用. (1)得到雙曲線的標準方程需要三個條件：得到雙曲線的標準方程需要三個條件：a,b及焦點位置；及焦點位置；【說明說明】22221xyab的漸近線為的漸近線為 0 xyab byxa 即即漸近線為漸近線為 byxa 的雙曲線標準方程一定是的雙曲線標準方程一定是22221xyab？問：問：雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程，時時當漸近線的方程為當漸近線的方程為xaby答：，不一定不一定2222122xyab例例如如： 雙雙曲曲線線它的漸近線它的漸近線的雙曲線方程有：的雙曲線方程有：為漸近線為漸近線即即以以0byaxxa

9、by注意：22221(0)xyab 2222(0)xyab 22221xyab一一定定是是嗎嗎？.xaby方程是方程是的的為漸近線為漸近線即為以即為以0byax.雙曲線系方程雙曲線系方程即即例例3 求與雙曲線求與雙曲線 共漸近線且過點共漸近線且過點 191622 yx的雙曲線方程及離心率的雙曲線方程及離心率)332( ，解：解：設與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程為設與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程為 091622 yx 點點 在雙曲線上，在雙曲線上， )(332，991612 41 故所求雙曲線方程為：故所求雙曲線方程為： 4191622 yx即即.144922 xy 離心率離心率.35 e，

10、223 ba.25449 c(2)過點P(2，1)，漸近線方程是y3x.解 方法一首先確定所求雙曲線的標準類型，可在圖中判斷一下點P(2，1)在漸近線y3x的上方還是下方.如圖所示，x2與y3x交點為Q(2，6)，P(2，1)在Q(2，6)的上方，所以焦點在x軸上.方法二由漸近線方程3xy0，將點P(2，1)代入(*)，得35，(2)過點P(2，1)，漸近線方程是y3x.22111332xyyx 求求以以橢橢圓圓的的焦焦點點為為焦焦點點，以以直直線線為為漸漸近近線線的的雙雙曲曲線線方方程程。解：解：021xy所所求求雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線為為：可設所求雙曲線方程為可設所求雙曲線方程為22

11、1133xy 它它與與橢橢圓圓共共焦焦點點，221.82xy故故所所求求雙雙曲曲線線方方程程為為：41332 . 2241xy 0 變式變式1即即2214xy 0 22111332xyyx 求求以以橢橢圓圓的的焦焦點點為為焦焦點點，以以直直線線為為漸漸近近線線的的雙雙曲曲線線方方程程。221.82xy故故所所求求雙雙曲曲線線方方程程為為：解法二：解法二：雙曲線與橢圓共焦點，可設雙曲線方程為雙曲線與橢圓共焦點，可設雙曲線方程為221133xy所求雙曲線的漸近線為所求雙曲線的漸近線為41133xy215有相同的焦點坐標有相同的焦點坐標說明：說明：橢圓橢圓 與雙曲線與雙曲線12222byax1222

12、2bkykax)(22akb變式變式12225922514.5xy已已知知雙雙曲曲線線與與橢橢圓圓有有公公共共焦焦點點，它它們們離離心心率率的的和和為為，求求雙雙曲曲線線方方程程解：解：221259yx由由雙雙曲曲線線與與橢橢圓圓共共焦焦點點，:可設雙曲線方程為可設雙曲線方程為44145525 故所求雙曲線方程為：故所求雙曲線方程為：221.412yx變式變式2221259yx則由題意則由題意解得解得21 例3雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m，試選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1 m).解如圖，建立直角坐標系xOy，使小圓的直徑AA在x軸上，圓心與原點重合.這時，上、下口的直徑CC，BB都平行于x軸，且|CC|132，|BB|252.|AA|2a，a12.設雙曲線的方程為令點C的坐標為(13，y)，則點B的坐標為(25，y55).因