概率論與數(shù)理統(tǒng)計：ch4-2 方差

1、 前面介紹了隨機變量的數(shù)學期望。數(shù)學前面介紹了隨機變量的數(shù)學期望。數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的重要的數(shù)字特征。機變量的重要的數(shù)字特征。 但在一些場合，僅僅知道平均值是不夠但在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的，還需了解其他數(shù)字特征。的，還需了解其他數(shù)字特征。4.2 4.2 方差方差 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果次，將測量結(jié)果X用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖：a 乙儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果 a甲儀器測量結(jié)果甲儀器測量結(jié)果較好較好因為乙

2、儀器的測量結(jié)果集中在均值附近。因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近。又如，甲、乙兩門炮同時向一目標射擊又如，甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：炮彈，其落點距目標的位置如圖：甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好乙較好因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 。 中心中心中心中心 為此需要引進另一個數(shù)字特征，用它來為此需要引進另一個數(shù)字特征，用它來度量隨機變量取值偏離其中心度量隨機變量取值偏離其中心(均值均值)的程度。的程度。這個數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。這個數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。4.2.1 方差的定義方差的定義

3、注注: 有的書上也將有的書上也將Var(X)記成記成 D(X)。 定義定義1: 設(shè)設(shè) X 是一隨機變量，若是一隨機變量，若EX- -E(X)2 存在存在, 則稱其為則稱其為X 的方差，記成的方差，記成 Var(X)，即，即 Var(X)= EX- -E(X)2 ; (1)并稱并稱 為為X的標準差。的標準差。)(XVar 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X- -E(X)都起正的作用都起正的作用若方差較大，則說明若方差較大，則說明X 的取值比較分散。的取值比較分散。若方差若方差Var(X)=0，則，則 X 以概率以概率1取取常數(shù)常數(shù)。 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學方差刻劃

4、了隨機變量的取值對于其數(shù)學期望的偏離程度期望的偏離程度 。若方差較小，則說明若方差較小，則說明X 的取值比較集中；的取值比較集中；均值均值E(X)X為離散型，為離散型，PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機變量由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的的數(shù)學期望數(shù)學期望 。,)()(,)()(212dxxfXExpXExXVarkkk X為連續(xù)型，為連續(xù)型，f (x)為密度。為密度。例例1 1：設(shè)設(shè) X 服從服從0-1分布，分布， 求求 Var(X)。解：解： Var(X) = (0- -p)2(1- -p) + (1- -p)2p = p(1- -p) 例例2 2：設(shè)設(shè)

5、 X 服從均勻分布，服從均勻分布， 求求 Var(X)。解：解：dxabbaxXVarba1)2()(223)(121)2(131abbaxabba計算方差的一個簡化公式計算方差的一個簡化公式Var(X)=E(X2)- -E(X)2 . 展開展開證：證：Var(X)=EX- -E(X)2=EX2- -2X E(X)+ +E(X)2=E(X2)- -2E(X)2+E(X)2=E(X2)- -E(X)2.利用期利用期望性質(zhì)望性質(zhì)求求 Var( (X) )。 例例 3：設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X 的的密度函數(shù)為密度函數(shù)為:.1 ,0 ,0,1 ,0 ,2)(xxxxf.1813221 22

6、)()( )()()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXVar解：解：例例4：設(shè)設(shè)X為某加油站在一天開始時貯存的油量，為某加油站在一天開始時貯存的油量，Y 為一天中賣出的油量為一天中賣出的油量( (當然當然YX) )。設(shè)。設(shè)( (X, ,Y) )具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù)這里這里1表明表明1個容積單位，求每日賣出的油量個容積單位，求每日賣出的油量Y 的期望與方差。的期望與方差。. ,0, 10 ,3),(其他xyxyxf； 0 0 ),()(dxdxyxfyfY解：解：當當 y 1 1 時時, ,當0y1時,).1(23 3 ),()(21yxdxdxy

7、xfyfyY.1 , 0 , 0,1 , 0 ),1(23)( 2yyyyfY所以，,)()(51123 21022dyyyYE. 0594.0 8351 )()()(222YEYEYVar,)()(83123 210dyyyYE4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1). 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則則Var(C)=0;(2). 若若C是常數(shù)，則是常數(shù)，則Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若若X1與與X2 獨立，則獨立，則 Var(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推廣為：可推廣為：若若X1, X2, , Xn相互相互獨立，則獨立，則； )(121niiiniiiXVar

8、CXCVar例例5：設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的的期望和方差分別為期望和方差分別為E( (X) )和和Var( (X) )，且且Var( (X) ) 0 0，求求的期望和方差。 )()(XVarXEXY解：解：； 0 )()()()(1 )()()(1)(XVarXEXEXVarXVarXEXXVarEYE.1 )()(1 )(1 )()()(1)(XVarXVarXXVarVarXVarXEXXVarVarYVar. )()( 的標準化隨機變量為稱XXVarXEXY4.2.3 幾種常用隨機變量的方差幾種常用隨機變量的方差 1. 1. 兩點分布兩點分布若若 X B(1, p)，則，則 Var(X

9、) = p(1- -p)； 2. 2. 二項分布二項分布若若 X B(n, p)，則，則 Var(X) = n p(1- -p)； 3. 3. 泊松分布泊松分布若若 X P()，則，則 Var(X) = ；,!) 1( !) 1( )1( ) 1()(02202ekkkekkkXXEXXXEXEkkkk利用前面講過的利用前面講過的 E(X) =，得，得而而 ,!) 1(002eekkkkkkkk, )(22XE所以，. )()()(22XEXEXVar 4. 4. 均勻分布均勻分布若若 X U(a, b) ，則，則.12)()(2abXVar5.指數(shù)分布 ).0( 0 , 0 , 0 ,)(xxexfxdxxfxXE)()(22 所以，,2022 dxexx.)()()()(2221 1 XEXEXVarXE，得利用6.6.正態(tài)分布正態(tài)分布. 21/)( 21)( )()(22222)(22222dtetxtdxexXEXEXVartx若若 X N( , 2)，則，則例例5：設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X N( , 2)，計算，計算(1). P - - X + + ;(2). P - -2 X +2 ；(3). P - -3 X + +3 。解：解：由由(X- - )/ N(0, 1)，得，得(1).；