第一章極限與連續(xù)(連續(xù)部分)

1、1第一章第一章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)連續(xù)連續(xù)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) M y zx0 2定定義義1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量的的增增量量x 趨趨向向于于零零時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)的的增增量量y 也也趨趨向向于于零零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù), ,0 x稱稱為為)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn). .1 1、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義).()(lim200 xfxfxx 定定義義一一 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3

2、2. 2. 左、右連續(xù)左、右連續(xù))()(lim00 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf)()(lim00 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf ,)()0(00 xfxf ,)()0(00 xfxf 左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)0 x左連續(xù)左連續(xù)xyOxyO4例例.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)

3、處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a.)()(00既左連續(xù)又右連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)處處在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf3 3、連續(xù)的充要條件、連續(xù)的充要條件5例例.0, 0, 2, 0, 2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù), ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf6:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)

4、(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf4 4、間斷點(diǎn)的定義、間斷點(diǎn)的定義7間斷點(diǎn)分為兩類間斷點(diǎn)分為兩類:第二類第二類間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)：第一類第一類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn):)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, ,及及中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf稱稱 為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). .0 x)

5、0(0 xf若若稱稱 為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn). .0 x若若其中有一個(gè)為振蕩其中有一個(gè)為振蕩, ,若若其中有一個(gè)為其中有一個(gè)為, 稱稱 為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn). .0 x稱稱 為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn). .0 x, )0(0 xf5 5、間斷點(diǎn)的分類、間斷點(diǎn)的分類81.1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)(,)(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)義義處無(wú)定處無(wú)定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfox

6、y112xy 1xy2 9解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意：注意： 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, ,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .如此例中如此例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112xy 1xy2 10,1112處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xxxy11lim21 xxx如補(bǔ)充定義如補(bǔ)充定義:, 2)1( f令令.1處處連連續(xù)續(xù)所所給給函函數(shù)數(shù)在在則則

7、 x.1稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)所以所以 x.1,不連續(xù)不連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)所以所以 x又如又如 21lim1 xx但但xyO112112.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱

8、為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x123.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無(wú)無(wú)窮窮間間13例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有

9、定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為振振蕩蕩間間14第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型0yx0 x可去型可去型0yx0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮型無(wú)窮型0yx0 x0yx振蕩型振蕩型15各類間斷點(diǎn)各類間斷點(diǎn)可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)振振蕩蕩型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)16例例.,1lim)(并判斷其類型并判斷其類型的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求求txtxteexxf 解解: 010210)(xxxxxf.,0且是跳躍間斷點(diǎn)且是跳躍間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn) x17

10、.,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 6 6、閉區(qū)間的連續(xù)性、閉區(qū)間的連續(xù)性7 7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 18定理定理1 1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(

11、,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)若若8 8、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 319定理定理4 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.由此可得初等函數(shù)求極限的方法由此可得初等函數(shù)求

12、極限的方法代入法代入法.).()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx20ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaxf 有有使得使得則則連續(xù)連續(xù)在在若若9 9、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理( (最大值最小值定理最大值最小值定理) )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值. .定理定理 ( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .21定義定義: :.)(, 0)(00的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn)為函數(shù)為

13、函數(shù)則稱則稱如果如果xfxxf 推論推論( (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) . 0)( fab3 2 1 幾何解釋幾何解釋: :.,)(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy xyo)(xfy .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf 22定理定理 ( (介值定理介值定理) ) .)(cf 幾何解釋幾何解釋: :MCmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)至少有至少有與水平直線與水平直線連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 23例例.)1 , 0(0142

14、3至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx24例例.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFb

15、bfbF )()(, 0 .)( f即即252.2.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限求極限的方法求極限的方法1.利用極限的定義利用極限的定義,連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義求極限求極限3.3.消去零因子法求極限消去零因子法求極限; ;4.4.利用左右極限求分段函數(shù)的極限利用左右極限求分段函數(shù)的極限. .5.5.無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì), ,無(wú)窮小等價(jià)代換，無(wú)窮大無(wú)窮小等價(jià)代換，無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系與無(wú)窮小的關(guān)系266. 6. 極限存在的準(zhǔn)則極限存在的準(zhǔn)則 夾逼定理夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.)11(lim,)1(lim, 1sinlim100exe

16、xxxxxxxx . 11lim, 1)1ln(lim,21cos1lim, 1tanlim00200 xexxxxxxxxxxx7. 7. 兩個(gè)重要極限與一些已知極限兩個(gè)重要極限與一些已知極限278.8.兩對(duì)重要的單側(cè)極限兩對(duì)重要的單側(cè)極限.21arctanlim,21arctanlim).1(0lim,lim0000100100 xxaaaxxxxxx. 11lim, 11lim22 xxxxxx一類需要注意的極限一類需要注意的極限28 如果如果 f ( (x) )與與 g ( (x) )的極限都存在，且的極限都存在，且 f ( (x) )的極限大于零的極限大于零. . 那么那么9. 9.

17、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則運(yùn)算法則, ,求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí)求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí), ,函數(shù)運(yùn)算和函數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算可以交換順序極限運(yùn)算可以交換順序)(lim)(limxgxf )()(limxgxf初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以函數(shù)連續(xù)性的研究重點(diǎn)是分段函數(shù)的連續(xù)性性的研究重點(diǎn)是分段函數(shù)的連續(xù)性. .29._)(001012)(. 111的的是是則則設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxxxeexfxx 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)三三 練習(xí)練習(xí)（一）（一） 填空題填空題30連續(xù)連續(xù)在在可使可使定義定義如果補(bǔ)充如果補(bǔ)充，當(dāng)當(dāng)0)(_,)0

18、(),2tanarcsin()(0. 4 xxffxxxfx_)0(0)(23sin)(0. 3 fxxfxxxfx處連續(xù)，那么處連續(xù)，那么在在，又已知，又已知時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)_)1ln()1(1)(. 22是是的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xxxf231, 0 xx6類型是類型是無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)31221sin2lim21xxxx 求求（二（二） 計(jì)算題計(jì)算題., 8)2(lim . 3aaaxaxxx為常數(shù)，求為常數(shù)，求設(shè)設(shè) 1.1.求求函數(shù)函數(shù) 的間斷點(diǎn)并判斷其類型的間斷點(diǎn)并判斷其類型. 11)(1 xxexf.,11sin)1sin(1212. 411并判斷其類型并判斷其類型的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求求 xxyxx32四四. .解答：解答：填空題填空題01)1ln()1(1)(. 22 xxxxxf，是是的可能間斷點(diǎn)的可能間斷點(diǎn)函數(shù)函數(shù) )1ln()1(1lim20 xxx )1ln()1(1lim21xxx所以，所以，0,1 xx是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).返回返回332323lim23sinlim)(lim. 3000 xxxxxfxxx23)0(0)( fxxf處連續(xù)，那么處連續(xù)，那么在在要使要使 )2tanarcsin(lim)(lim. 40