初中數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)

1、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù) 開口方向 對稱軸 頂點 增減性 最大(小)值 y = ax2 a>0 時，開口向上； a<0 拋時，開口向下。x=0 (0，0) 當 a>0 時，在對稱軸左側(cè)， y 隨 x 的增大而減小，在對稱軸 右側(cè)， y 隨 x 的增大而增大；當 a<0 時，在對稱軸左側(cè)， y 隨 x 的增大而增大，在對稱軸右側(cè)， y 隨 x 的增大 而減小。 當 a>0 時，當 x=0 時， =0；當 a<0 時，當 x=0 時， =0 ；y = ax2+c x=0(0, c) 當 a>0 時，當 x=0 時，=c；當 a<0 時，當 x=0

2、 時， =c；y = a (x-h) 2 x=h ( h, 0) 當 a>0 時，當 x=h 時，y 最小=0；當a<0時，當x=h時，y最大=0;y = a (x-h) 2 +k x=h ( h, k) 當 a>0 時，當 x=h 時，y 最小=k ；當a<0時，當x=h時，y最大=k ；y = ax2+bx+c x= (,) 當 a>0 時，當 x=h 時，y 最小=k；當a<0時，當x=h時，y最大=k ；其中 h=, k=二次函數(shù) y = ax2 、y = ax2+c、 y = a( x-h)2 以及 y = a( x-h)2 +k 的 形狀相同,只

3、是位置不同,相互之間可以通過平移得到,一般式 y = ax2+bx+c 可以通過配方化成 y = a ( x-h)2 +k 的形式。3. 二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)解析式常見有三種形式： 一般式：y = ax2+bx+c (a、b、c 是常數(shù)，且 a0) 頂點式：y = a (x-h ) 2 +k (a、h、k是常數(shù)，且a0) 交點式：y=a (x-x1) ( x-x2) (a、x1、x2 是常數(shù)，且 a0, x1、x2 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標)。拋物線y = ax2的開口大小由I a I決定：l a I越大，開口越小；I a I 越小，開口越大。一般式y(tǒng)=ax+bx+c(a 工 0,

4、a b、c 為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a,4ac-b2/4a)； 頂點式y(tǒng)=a(x-h)2;+k(a工O)ah、k為常數(shù))，頂點坐標為(h,k)對稱軸為x=h，頂點 的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=axZ的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x- x2) (a 工0僅限于與 x 軸即 y=0 有交點 A (x1，0)和 B (x2， 0)的拋物線，即b2-4ac> 0；由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟：vX1+x2=-b/a x1 x2=c/a 二 y=ax2;+bx+c=a (x2+b/ax+c/a )=a ( x2-(x1+x2)x+x

5、1x2=a(x-x1)(x-x2)重要概念：a，b，c為常數(shù)，aO,且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方 向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越 大開口就越小 ,a 的絕對值越小開口就越大。1. 二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。 對稱軸為直線 x = h 或者 x=-b/2a 對稱軸與 二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。特別地，當 h=0 時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是 y 軸（即直線 x=0）a,b 同號，對稱軸在 y 軸左側(cè)b=0,對稱軸是y軸a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點2. 二次函數(shù)圖像有一個頂點 P，坐標為P （ h,k ） 當h

6、=0時，P在y軸 上；當 k=0 時， P 在 x 軸上。 h=-b/2a k=（4ac-b2）/4a開口3. 二次項系數(shù) a 決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當 a>0 時，二次函數(shù)圖像向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。決定對稱軸位置的因素4. 一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小于 0，也就 是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-

7、b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號可簡單記憶為同左異右，即當 a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab< 0 ），對稱軸在y軸右。事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。決定二次函數(shù)圖像與y軸交點的因素5. 常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點坐標為（h,k）與y軸交于（0,C） 二次函數(shù)圖像與 x 軸交點個數(shù)6. 二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù) a<0;k>0或a>0;k&l

8、t;0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸有1個交點。a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與 X軸無交點 當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變?。魏瘮?shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k 當a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在x>h 范圍內(nèi)事增函數(shù)，在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y<k 當h=0時，拋物線的對稱軸是 y 軸，這時，函數(shù)是偶

9、函數(shù)7. 定義域： R 值域：（對應解析式，且只討論 a 大于 0 的情況， a 小于 0 的情況請讀者自行推斷）（4ac-bA2）/4a，正無窮）；t,正無窮）奇偶性：當b=0時為偶函數(shù)，當bO寸為非奇非偶函數(shù)。周期性：無 解析式：y=ax2+bx+c 般式a0a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；極值點：（-b/2a，（4ac-b2;）/4a ）； =b24ac, >Q 圖象與 x 軸交于兩點：（-b-VA /2,）和（-b+“4 /2a0）；A =Q圖象與x軸交于一點：（-b/2a，0）；A <Q圖象與x軸無交點；y=a（x-h）2+k頂點式 此時，對應極值點為（h, k），其中 h=-b/2a，k=（4ac-b2）/4a ；y=a（x-x1）（x-x2）交點式（雙根式）（aO）對稱軸X=（X1+X2）/2 當a>0且X三（X1+X2）/2時，丫隨X的增大而增大，當a>0且X三(X1+X2 ) 12時Y隨X的增大而減小此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、丫代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連 用)。 交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交 點式