拉伸法測(cè)楊氏模量

1、用拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)誤差分析及改進(jìn) 摘要：這一學(xué)期，我選做了彈性楊氏模量的測(cè)量這一實(shí)驗(yàn)，在完成實(shí)驗(yàn)之后，我對(duì)其進(jìn)行了拓展性的探究。伸長(zhǎng)法測(cè)定楊氏模量是一個(gè)傳統(tǒng)的物理實(shí)驗(yàn),在儀器的調(diào)整和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方面對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)技能有著重要的作用,但也是一個(gè)難度較大的力學(xué)實(shí)驗(yàn).在保持實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法不變的前提下,我對(duì)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)儀器和方法進(jìn)行改進(jìn)，由靜態(tài)拉伸法結(jié)合光放大原理，用一次性增 ( 減) 砝碼反復(fù)讀取標(biāo)尺刻度值的測(cè)量方案，對(duì)逐步增 ( 減) 砝碼來(lái)測(cè)量鋼絲微小伸長(zhǎng)量的測(cè)量方法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)對(duì)鏡與標(biāo)尺距離的控制，在保證微小伸長(zhǎng)量測(cè)量質(zhì)量的前提下，確定望遠(yuǎn)鏡可視距離內(nèi)的最佳鏡與尺距離。由實(shí)

2、驗(yàn)原理及其不確定度的分析，結(jié)合測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出鋼絲的楊氏模量。用置信概率為 95% 的不確定度對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與評(píng)定，得到了較為合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這不僅簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)操作、降低了調(diào)節(jié)的難度，而且還提高了實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度，有利于開(kāi)闊實(shí)驗(yàn)教學(xué)思路、豐富教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。 關(guān)鍵詞：楊氏彈性模量；拉伸法；誤差分析；不確定度；改進(jìn)引言楊氏模量【1,2】的測(cè)定是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是如何精確測(cè)量金屬絲的微小伸長(zhǎng)量。作為金屬學(xué)中的重要物理量，楊氏彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的重要物理量，是選定機(jī)械構(gòu)件材料的依據(jù)之一，是工程技術(shù)中常用的參數(shù)。目前，高等學(xué)校實(shí)驗(yàn)教材中普遍采用

3、的是傳統(tǒng)的靜態(tài)拉伸的實(shí)驗(yàn)方法。在此基礎(chǔ)之上逐步形成了莫爾條紋法【3】、電容法【4】、駐波法【5】、霍爾傳感器法【6】等實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)量楊氏模量。莫爾條紋測(cè)楊氏模量中，由于其計(jì)數(shù)移動(dòng)的條紋時(shí)是采用肉眼觀察，位移信號(hào)必須控制在人眼能分辨的程度，這在操作光學(xué)系統(tǒng)時(shí)有相當(dāng)?shù)碾y度。而駐波法、霍爾傳感器法存在儀器條件的限制。電容法取材容易，但存在著自制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，必然存在較大的誤差。綜合上述，用靜態(tài)拉伸法結(jié)合光放大原理，采用一次性加減砝碼的測(cè)量方案，通過(guò)對(duì)鏡與尺距離的合理控制，用置信概率為 95% 的不確定度對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與評(píng)定，可以得到了較為合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但在長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作中發(fā)現(xiàn)，大

4、部分學(xué)生的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，與實(shí)驗(yàn)要求的測(cè)量值范圍，相差很多。究其原因，是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的誤差造成的。找出造成實(shí)驗(yàn)誤差的原因，并在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中加以改進(jìn)，才能提高測(cè)量的精確度。1、 實(shí)驗(yàn)原理 1.1、實(shí)驗(yàn)方法分析楊氏彈性模量，由胡克于年提出而得名。胡克定律表明：在材料的彈性范圍內(nèi)，固體的單項(xiàng)拉伸變形與所受的外力成正比。若把胡克定律推廣應(yīng)用與三維應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)，則可得到廣義胡克定律。由于楊氏彈性模量是一個(gè)與物體的形狀、外力等無(wú)關(guān)的材料常數(shù)，這樣我們可選擇便于開(kāi)展試驗(yàn)工作的實(shí)驗(yàn)條件，控制實(shí)驗(yàn)的參變量，這就是我們采用細(xì)絲形狀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的原因。然而，由于鋼絲楊氏彈性模量很大，通常實(shí)驗(yàn)條件下只能提供不太大的外力作用在

5、其表面上，此時(shí)鋼絲的伸長(zhǎng)量也很小，無(wú)法直接測(cè)量，需要對(duì)這微小量進(jìn)行放大，本實(shí)驗(yàn)采用光杠桿鏡放大法來(lái)測(cè)量。測(cè)量楊氏彈性模量的方法不止一種，本實(shí)驗(yàn)采用的方法為靜態(tài)拉伸法。光杠桿放大的思想來(lái)源于杠桿放大。阿基米德說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬動(dòng)地球”，這就是杠桿放大的思想。光杠桿在測(cè)量中更有優(yōu)勢(shì)：一是根據(jù)幾何光學(xué)成像的原理知其放大倍數(shù)是杠桿的兩倍；二是用光線來(lái)代替杠桿，可有效增加杠桿長(zhǎng)度，提高放大倍數(shù)而不會(huì)引入測(cè)量誤差。但是由于光杠桿需要望遠(yuǎn)鏡來(lái)配合完成，因此給測(cè)量的調(diào)整帶來(lái)一定的難度，也因?yàn)楣鈱W(xué)系統(tǒng)測(cè)量存在視差，會(huì)產(chǎn)生一定的附加誤差。 1.測(cè)量原理分析設(shè)金屬絲的原長(zhǎng)L，橫截面積為S，沿長(zhǎng)度方向施力F

6、后，其長(zhǎng)度改變，則金屬絲單位面積上受到的垂直作用力 F/S 稱為正應(yīng)力，金屬絲的相對(duì)伸長(zhǎng)量為 /L 稱為線應(yīng)變。實(shí)驗(yàn)結(jié)果指出，在彈性范圍內(nèi)，由胡克定律可知物體的正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比【1】（） （1) 式中的比例系數(shù)E稱為楊氏模量，單位為 設(shè)實(shí)驗(yàn)中所用鋼絲徑為 ，則將此公式代入上式整理得（） （2) 式表達(dá)了金屬材料抵抗外力產(chǎn)生拉伸( 或壓縮) 形變的能力。 由于 值很小，用光放大原理進(jìn)行測(cè)量。如圖 2 所示，在時(shí)而那么故（） (3) 式中 b 為光杠桿前后直距，為標(biāo)尺刻度變化范圍。若負(fù)重 （）聯(lián)立( 2) 得（）當(dāng)外加負(fù)重相同時(shí)， 相對(duì)固定，由于為定值，考慮到即則與 D 成正比，只要控制住鏡與

7、尺間距 D，的測(cè)量范圍就被限定了。 1.3 不確定度的分析不確定度可分為 A 類、B 類進(jìn)行評(píng)定。測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差【7】為 （5） 對(duì)于 A 類分量，實(shí)驗(yàn)中測(cè)量次數(shù)一般為 6 10 次，此時(shí)測(cè)量結(jié)果服從 t 【8】分布，即 （6） (6) 式中，為與一定置信概率相聯(lián)系的置信因子，當(dāng) p = 0. 95 時(shí)，= 2. 57，【8】則 （7）( 7) 式中的 x 可以分別表示對(duì)于 B 類分量，若其誤差極限為 ，則 （8）( 8) 式中，為一定置信概率下相應(yīng)分布的置信因子， 為儀器精度，C 為相應(yīng)分布的置信系數(shù)，若儀器誤差服從均勻分布 當(dāng) p = 0. 95 時(shí)，= 1. 96，【8】那么 （

8、9）( 9) 式中的 X 可以分別表示 L、D、b、d、。 合成不確定度為 （10）而楊氏模量 E 的合成不確定度為 （11）由( 11) 式知，要減小根號(hào)下前三項(xiàng)對(duì)的影響，關(guān)鍵是合理選擇測(cè)量工具。而第四、五項(xiàng)對(duì) 的影響是極其顯著的，應(yīng)控制好對(duì) d 和 的測(cè)量。2、 實(shí)驗(yàn)裝置 實(shí)驗(yàn)裝置如圖 1 所示，主要由伸長(zhǎng)儀、光杠桿及望遠(yuǎn)鏡橫直尺組成。調(diào)節(jié)支架螺釘觀察水平泡，使防振臺(tái)水平，調(diào)節(jié)光杠桿使之達(dá)到備用狀態(tài); 移動(dòng)望遠(yuǎn)鏡尺組，使鏡與尺的距離在 2 米 ( 3 米、4 米) 左右，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的高度及方向，使其與平面鏡等高，且其瞄準(zhǔn)方向應(yīng)對(duì)正欲觀測(cè)目標(biāo) ( 反射鏡中標(biāo)尺的像) ; 調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡，準(zhǔn)確地到

9、標(biāo)尺的像，使成像清晰; 調(diào)節(jié)目鏡看清叉絲; 調(diào)節(jié)物鏡，使從望遠(yuǎn)鏡中能看到直尺的刻線和叉絲，仔細(xì)調(diào)節(jié)物鏡消除叉絲橫線 ( 或交點(diǎn)) 與直尺刻線之間的視差。調(diào)節(jié)好儀器就可以進(jìn)行測(cè)量，但要注意在加減砝碼時(shí)，砝碼輕拿輕放，盡量不要碰到實(shí)驗(yàn)裝置。3、 測(cè)量數(shù)據(jù)及結(jié)果 3. 1 對(duì)各長(zhǎng)度( L、b、d) 的測(cè)量 3. 2 對(duì)標(biāo)尺刻度變化范圍的測(cè)量采用一次性加減砝碼反復(fù)讀 和 值的測(cè)量方案。 3. 3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 取 g = 9. 8，表 1 分別結(jié)合表 2、3、4，由( 4) 式可計(jì)算楊氏模量。4、誤差分析 4.1找出誤差原因造成楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)誤差的原因很多，根據(jù)性質(zhì)可以將其分為兩類，系統(tǒng)誤差和偶然誤

10、差。 4.2實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差及改進(jìn)方法 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是，總是使測(cè)量結(jié)果向一個(gè)方向偏離，偏離數(shù)值是一定的，或按一定規(guī)律變化的。 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，楊氏模量測(cè)量?jī)x，一般沒(méi)有調(diào)節(jié)成標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的功能，因此，測(cè)量時(shí)基本是在非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下進(jìn)行，存在著系統(tǒng)誤差。很多實(shí)驗(yàn)者對(duì)這種非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的誤差并沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)。其實(shí)，由于標(biāo)尺基本是平行固定在立柱上，只要底座放置在水平桌面上，標(biāo)尺就基本鉛直，而望遠(yuǎn)鏡和光杠桿平面鏡卻均為手動(dòng)調(diào)節(jié)，常處于傾斜較大的非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)9。這給實(shí)驗(yàn)測(cè)量帶來(lái)誤差，現(xiàn)在通過(guò)實(shí)驗(yàn)儀器簡(jiǎn)單改進(jìn)就能將這種誤差消除，提高測(cè)量的精確度。針對(duì)當(dāng)前理工科院校為學(xué)生開(kāi)出的光杠桿測(cè)量實(shí)驗(yàn)，光路調(diào)整復(fù)雜、望遠(yuǎn)鏡捕捉數(shù)據(jù)難

11、度大且望遠(yuǎn)鏡成本高等缺點(diǎn)，用可調(diào)焦式激光器，替代望遠(yuǎn)鏡所在位置，可調(diào)焦式激光器包括激光器和柱面透鏡兩部分，激光器采用半導(dǎo)體激光器，成本低，聚焦準(zhǔn)。激光器調(diào)焦部分采用實(shí)驗(yàn)室自制柱面透鏡，通過(guò)實(shí)驗(yàn)制成焦距適中的柱面透鏡，通過(guò)調(diào)焦，使激光器射出的激光通過(guò)柱面透鏡并經(jīng)光杠桿反射后，成為平行于標(biāo)尺刻度的細(xì)直線段。 很多文章中都已提出用激光器替代望遠(yuǎn)鏡這一方案，采用這一方案，激光器通過(guò)光杠桿成像于標(biāo)尺上的是一個(gè)光斑，同樣會(huì)產(chǎn)生讀數(shù)上的誤差，所以本文采用可調(diào)焦式激光器，利用柱面透鏡優(yōu)化激光成像，提高測(cè)量精確度。 金屬絲楊氏模量測(cè)量裝置中，發(fā)光標(biāo)尺有幾厘米的厚度。改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置，可調(diào)焦式激光器代替望遠(yuǎn)鏡，固

12、定于發(fā)光標(biāo)尺旁邊，現(xiàn)將發(fā)光標(biāo)尺側(cè)面的空白區(qū)粘貼和正面標(biāo)尺刻度相對(duì)應(yīng)的標(biāo)尺刻度，一方面可以利用標(biāo)尺刻度調(diào)節(jié)可調(diào)焦激光器的傾斜度使其處于水平狀態(tài)，另一方面可以利用調(diào)節(jié)好的水平可調(diào)焦激光器所對(duì)應(yīng)的側(cè)面標(biāo)尺刻度值，在金屬絲不受外力并且光杠桿鏡面垂直的情況下，與經(jīng)光杠桿反射的激光對(duì)應(yīng)的標(biāo)尺刻度值相同，來(lái)幫助調(diào)節(jié)光杠桿水平。 在楊氏模量測(cè)量時(shí)，金屬絲在未加砝碼時(shí)常處于彎曲狀態(tài)，如果此時(shí)直接加一個(gè)砝碼記一個(gè)讀數(shù)那就會(huì)造成測(cè)量的系統(tǒng)誤差，錯(cuò)將金屬絲彎曲部分當(dāng)作加砝碼后產(chǎn)生的形變讀數(shù)，所以為了避免這一部分對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果造成的誤差，可以在所有讀數(shù)讀取之前，先在托盤上欲加一到兩個(gè)砝碼，將金屬絲拉直后，再逐漸加砝碼正

13、式開(kāi)始讀數(shù)。 由于楊氏彈性模量?jī)x的下卡頭與平臺(tái)中圓孔內(nèi)壁之間的間隙很小，如果楊氏彈性模量?jī)x立柱不豎直,下卡頭受平臺(tái)中圓孔限制,與上卡頭的中心軸線不在同一豎直線上,上、下卡頭之間的金屬絲不豎直，下卡頭與圓孔內(nèi)壁接觸就會(huì)發(fā)生摩擦。增加砝碼時(shí),下卡頭運(yùn)動(dòng)方向向下,摩擦力向上,金屬絲所受的實(shí)際拉力小于名義上的載荷；減砝碼時(shí),下卡頭運(yùn)動(dòng)方向向上，摩擦力方向向下，金屬絲所受的實(shí)際拉力大于名義上的載荷，導(dǎo)致砝碼數(shù)相同時(shí),金屬絲在減載時(shí)的長(zhǎng)度大于加載時(shí)的長(zhǎng)度，減載時(shí)的讀數(shù)總是大于加載時(shí)的讀數(shù)。數(shù)據(jù)處理時(shí),對(duì)加載和減載時(shí)的數(shù)據(jù)取平均，就可以減小甚至消除摩擦因素對(duì)結(jié)果的影響，從而提高結(jié)果的準(zhǔn)確度，但精密度不高10

14、。楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)是在金屬絲彈性范圍內(nèi)進(jìn)行的，完整的彈性應(yīng)該是加載時(shí)立即變形，卸載時(shí)立即恢復(fù)原狀，作圖時(shí)如果以載荷為縱坐標(biāo)，以形變?yōu)闄M坐標(biāo)，加載線與卸載線應(yīng)該重合，但是實(shí)際上彈性變形時(shí)加載線與卸載線并不重合，應(yīng)變落后于應(yīng)力，存在著彈性滯后。因此在楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果測(cè)量時(shí)只采用順次加砝碼測(cè)量的方法，就會(huì)造成誤差，這類誤差也屬于系統(tǒng)誤差，測(cè)量時(shí)采用順次加載砝碼記數(shù)后，再依次減小砝碼記數(shù)，最后對(duì)同一載荷下記得數(shù)據(jù)相加求和取平均值的方法來(lái)減小由彈性滯后效應(yīng)造成的系統(tǒng)誤差。 4.3實(shí)驗(yàn)中的偶然誤差及改進(jìn)方法 由于偶然的不確定的因素所造成的每一次測(cè)量值的無(wú)規(guī)則的漲落稱為偶然誤差，其特征是帶有隨機(jī)

15、性，所以也叫隨機(jī)誤差。學(xué)生實(shí)驗(yàn)時(shí)所加砝碼是有缺口的，在逐次加砝碼時(shí)要求砝碼口要互相相對(duì)放置，如果放置時(shí)缺口始終面朝一個(gè)方向，就會(huì)造成砝碼倒塌，測(cè)量失敗，除此之外取放砝碼時(shí)一定要輕拿、輕放，稍有震動(dòng)就會(huì)使光杠桿移動(dòng)，造成測(cè)量失敗。 綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)時(shí)只要找到造成實(shí)驗(yàn)誤差的原因，將實(shí)驗(yàn)加以改進(jìn)，就可以減小甚至是避免在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，提高實(shí)驗(yàn)測(cè)量的精確度。5、 具體改進(jìn)方法1. 學(xué)校使用的是拉伸法測(cè)量，但是實(shí)驗(yàn)室中的地板抗震性不是很好，稍微走動(dòng)十 字×絲就會(huì)擺動(dòng)，此外由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，不能確定儀器是否垂直，觀測(cè)臺(tái)是 否水平，因此我有一些改裝。為了防止震動(dòng)產(chǎn)生的誤差，可以選擇在

16、儀器底部 增加一些彈簧抵消微小震動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。 2.由于楊氏彈性模量是測(cè)量微小位移的實(shí)驗(yàn)，因此支架剛性同樣會(huì)影響到實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，所以我在支架上添加2個(gè)支柱，組成2個(gè)三角形使支架更加穩(wěn)定，減少支架形變對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。3. 儀器的水平同樣會(huì)影響實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量，如果測(cè)量臺(tái)與支架不在同一水平面上，產(chǎn)生一定角度，同樣會(huì)影響實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，為此我在設(shè)計(jì)上加入了長(zhǎng)方形支架,希望整個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)茉谕凰矫嫔线M(jìn)行。4. 實(shí)際上,100N 的力遠(yuǎn)不足以導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)所用的金屬絲產(chǎn)生范性形變,但加砝碼時(shí) 動(dòng)作太猛,瞬時(shí)的沖力可能超過(guò)其彈性極限,造成金屬絲的一個(gè)不可逆的伸長(zhǎng), 產(chǎn)生“增重時(shí)形變大”的假象,使得L很大，為此我建議在實(shí)驗(yàn)的

17、過(guò)程中添加 一些緩沖設(shè)施，諸如泡沫等。 5上述改進(jìn)有些不可操作有些不太現(xiàn)實(shí)，摘取了一些材料， 參考了他人對(duì)楊氏彈性模 量的改進(jìn)，但是這些都是我對(duì)楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)的思考。參考文獻(xiàn):1 楊述武，趙立竹等 . 普通物理實(shí)驗(yàn) 1 力學(xué)、熱學(xué)部分第四版 M. 高等教育出版社，2007，12: 4851.2 王新春 . 對(duì)拉伸法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)研究 J . 貴州大學(xué)學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)版) ，2004，7: 2729.3 管志蓮 . 用莫爾條紋測(cè)金屬絲楊氏模量 J . 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2000，6，13 ( 2) :2022.4 花世群 . 利用電容器測(cè)量楊氏彈性模量 J . 大學(xué)物理，2003，7，22 ( 7) :2728.5 蔣毅，陳美華等 . 測(cè)楊氏模量的一種新方法駐波法 J . 嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)) ，2010，11，28 ( 11) : 3134.6 金