《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案_第1頁
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文檔簡介

1、?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?習(xí)題及答案習(xí)題三1將一硬幣拋擲三次, 以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù), 以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與 出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值 試寫出X和Y的聯(lián)合分布律【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:*012310= 1113C3g2 2 28cfg確定常數(shù)k; - -3/82 2 203180011112 2 2 82盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取 4只球,以X表示取到黑球的只 數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù)求X和Y的聯(lián)合分布律【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:0123000Cfgc;3eg2c:35c:3510c3gC2gC求 P Xv 1, Yv 3;6c3gc;e;12c

2、3e;2c:35c:35c:352P(0黑,2紅,2白)=4C3£C2 £C26cie; 30cQ/c:c:35c:35353設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為si nxsiny, 0F(x,y)=0,n -x,02n y 2 其他.求二維隨機(jī)變量X, Y在長方形域 Ox,:6ny 3內(nèi)的概率【解】如圖P0 Xn nn,Y公式(3,2):63n nn nnF(-) F(-) F(0,刁 :3: 63f (0, n6n n n nnnsin-gsinsingsinsin OgsinsinOgsin-434636¥( 3 i).4題3圖 說明:也可先求出密度函數(shù),再

3、求概率。4設(shè)隨機(jī)變量X, Y的分布密度f (x, y)Ae (3x4y),x 0,y 0,0,其他.求:1常數(shù)A;2隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù);(3) P0 <X<1 , 0<Y<2.【解】(1)由f(x,y)dxdy °° Ae-(3x 4y)dxdy A 1得 A=12(2)由定義,有y xy y12e(3u 4v)dudv 0 00,F (x, y)f (u, v)dudv(1 e 3x)(1 e4y) y 0,x 0,0,其他 P0 X 1,0 Y 2P0 X 1,0 Y 2012e(3x 4y)dxdy(1 e1 2 3 4 *)(1 e8)

4、0.9499.5設(shè)隨機(jī)變量X, Y的概率密度為f (x, y)k(6 xy), 0x2,2 y 4,0,其他.1,f(x, y)dxdyk(6 x y)dydx 8k0 21故 R -813(2) PX 1,Y3f (x,y)dydx13 -028*(6 x y)dydx PX 1.5 f (x, y)dxdy如圖a f (x, y)dxdyx 1.5D11.54127dx (6 x y)dy .02 832 PX Y 4f(x,y)dxdy如圖 b f (x, y)dxdyX Y 4D22 4x120dx2 8(6 x y)dy 3.<?|1.5 2xo 24 J(b)題5圖6.設(shè)X和

5、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在0, 0.2上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為fY ( y)=其他.題6圖【解】1因X在0, 0.2 上服從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為5e5y,0,y 0,fx(X)龐 0 x°20, 其他.所以fY(y)5e5y, y 0,0, 其他.f (x, y)X, 丫獨(dú)立 fx (x)gfY(y)5e5y0,25e5y, 0 x 0.2且 y 0,0, 其他(2) P(Y X)f (x,y)dxdy如圖y x0.2 x5dx 25e- ydy0 725e 5ydxdy0-1 =e7設(shè)二維隨機(jī)變量X, YD0 2 ( 5e 5x5)dx0.3679.的聯(lián)合分布函

6、數(shù)為F x,y(10,4x e)(1e2y),x 0, y 0, 其他.求X,Y的聯(lián)合分布密度【解】f (x, y)2F(x, y)8e(4x0,2y)0,y 其他.0,8設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的概率密度為求邊緣概率密度【解】fXXfY(y)f x,4.8y(20,x),1,0y x,其他.f (x, y)dyx0 4.8y(2 x)dy0,f (x, y)dx1y4.8y(2 x)dx0,2.4x2(20,x),0其他.1,2.4 y(3 4y y2),0 y 1,0,其他.題9圖f (x,y)=ey0,x y,其他.題8圖9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求邊緣概率密度【解】fx(x)f

7、 (x, y)dyfY(y)x0,e ydye x0,f (x, y)dx0, 其他.ye0,y o,其他.ye ydx00,10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為y1y=x'wp.oX題10圖y 1,其他(1)(2)試確定常數(shù)c; 求邊緣概率密度2cx y, f( x,y)=0,【解】(1)f (x, y)dxdy如圖 f (x, y)dxdyD1dx-11242cx ydy c 1.x 21214fx(x)f (x, y)dy1 21 21 2 42 x ydy x (1 x ),1 x 1,x 480,0,其他.fY(y)f(x, y)dxy 21y 4x2ydx52y2,

8、0 y 1,0,0,其他.11.設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為求條件概率密度【解】fx(X)f (x, y)fYi X (y | x),f (x, y)dyx1dyx0,2x,fx I Y其他.fY(y)1, |y x,0 x 1,0,其他.(x| y).題11圖1,f(x, y)dx11dxy11dxy0,y,y,1 y 0,0 y 1,所以fYix(y |x)f(x,y)fx(x)12x0,|y| x 1,其他.,y x 1,fxY(x| y)f(x,y)fY(y)i y亠,y x i,i y0, 其他.12.袋中有五個(gè)號碼1, 2, 3, 4, 5,從中任取三個(gè),記這三個(gè)號碼中最小的

9、號碼為X,最大的號碼為Y.1求X與Y的聯(lián)合概率分布;2X與Y是否相互獨(dú)立?【解】1 X與Y的聯(lián)合分布律如下表345PX Xi11122336亠3亠310C510C510c510201122310c51010300111210C510PY yi丄2_6_1010106 16 1(2)因 PX 1gPY 3PX 1丫 3,10 10 100 10故X與Y不獨(dú)立2 X與Y是否相互獨(dú)立?因 PX 2gPY 0.40.2 0.80.160.15 P(X 2,Y0.4),故X與Y不獨(dú)立.14設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,fY (y)=X 在(0,1y/22e ,0,1)上服從均勻分布,Y的概率密度為y

10、 0,其他.(1) 求X和Y的聯(lián)合概率密度;(2) 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.1,0 x 1,【解】(1)因fX(x)©其他;fY(y)1 2e 220,y 1,其他.1 e 故 f(x,y)X,Y獨(dú)立 fx(x)gfY(y)2y/2x 1,y0,PX2 Yf (x, y)dxdyx2 1e0 21 廠0.1445.1dx0y/2dy(1)(0)15設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì)) 從同一分布,其概率密度為,并設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且服1000f( x) = F0,x 1000,其他.求Z=X/Y的概率密度【解】如圖,Z的分布函數(shù)Fz

11、(z)XPZ z PX 2(1)當(dāng) ZW0寸,F(xiàn)z(z)0Fz(z)LOGO103z yx=1000 時(shí),y=106) z103 dyz(如圖a)yz 106103 2 210 x y2 2x ydxdy103106,z23dy -yzy2(2) 當(dāng)0<z<1時(shí),(這時(shí)當(dāng)dxx y -zio當(dāng)Z?1時(shí),Fz(z)題15圖沖寸,x=103z)(如圖b)106dxdy103 dyzy1062 21032x yx y1031061dy13x y -z(這時(shí)當(dāng)y=1032 dx2103zy2zfz(z)fz(z)1丄2zz20,12z2,12,0,1,z 1,其他.1,z 1,其他.16設(shè)

12、某種型號的電子管的壽命 (以小時(shí)計(jì))近似地服從N( 160, 202)分布.隨機(jī)地選取4 求其中沒有一只壽命小于 180的概率.只,【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=l,2,3,4),那么XiN ( 160, 202),從而Pmin(X!,X2,X3,X4)180Xi之間獨(dú)立 PXi 180gPX2180PX3180gPX41801 px1 180 g:1PX2 180 g1 PX3 180 g1 PX4 1801PX141804, 180 16012014(1)4(0.158)0.00063.17設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布律分別為PX=k=p( k), k=0, 1, 2,,PY=r

13、=q (r), r=0, 1, 2, 證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為iPZ=i= p(k)q(i k) , i=0, 1, 2,k 0【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù), 所以Z i X Y iX 0,Y i UX1,Y i 1 UL UXi,Y 0于是iPZ i PXk 0ik,Y i kX,Y 相互獨(dú)立PX kgPY i kk 0p(k)q(i k)k 018設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,數(shù)為2n, p的二項(xiàng)分布它們都服從參數(shù)為n , p的二項(xiàng)分布證明Z=X+Y服從參【證明】方法X+Y可能取值為0, 1, 2,,2n.kP X Y k PX i,Y k ii 02n kP(X i)

14、gPY k ik ni n inkinkpq,.p q0 ikk nnk 2n kp q0 ik ii 0k 2n kp q方法二:設(shè)俘,/律,為均服從兩點(diǎn)分布參數(shù)為p,那么X=川+國+ 屮,Y= pi' + +,,X+Y= pi+ p+ p+ p' +' +,,所以,X+Y服從參數(shù)為2n,p的二項(xiàng)分布.【解】(1) PX 2|Y2PX 2,Y2PY 2PX 2,Y25PX i,Y 2i 00.0510.252PY 3|X0PY 3, X 0PX 0PX 0,Y33PX 0,Y jj 00.010.03(2) PV i Pmax( X,Y) i PXi,Y i PX i

15、,Y iPXk 0ii,Y k PX k,Y i,k 0i 0,1,2,3,4,519設(shè)隨機(jī)變量X,Y的分布律為*012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2) 求V=max (X, Y)的分布律;(3) 求U=min (X, Y)的分布律;(4) 求W=X+Y的分布律.V=max(X,Y) 00.040.160.280.240.28(3) PUiPmin( X,Y)iPX

16、 i,Y iPXi,Yi35i 0,1,2,3,PX i,YkPXk,Y ik ik i1于是U=mi n(X,Y)0123P0.280.300.250.174類似上述過程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)X, Y在屏幕上服從均勻分布(1) 求 PY> 0 | Y> X;(2) 設(shè) M=maxX, Y,求 PM >0.y題20圖【解】因X, Y的聯(lián)合概率密度為1 2 2 2f (x, y)2, x y R , R0, 其他.(1) PY 0|Y XPY 0,Y XPY

17、Xf(x,y)dy 0y xf(x,y)dy xndx/4R 12rdr0 nR25n4 dn412 rdr0 nR23/831/2 4(2) PM 0 Pmax( X,Y) 01 Pmax( X,Y) 01 PX 0,Y0 1 f (x, y)dx 0y o21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0, x=1,x=e【解】因 PY yjPjPX xi,Y yj,所圍成,二維隨機(jī)變量X, Y 在區(qū)域D上服從均勻分布,求X, Y關(guān)于X的邊緣概率密度在 x=2處的值為多少?【解】區(qū)域D的面積為 S0e21dx1 xf(x,y)2 e1In2.X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為120,0其他.X, Y關(guān)于X

18、的邊緣密度函數(shù)為fx(X)1/x 10 20,dy丄2x其他.故PY 比PX X1,Y yd PX X2,Y yd,從而 PX x1,Y1241 所以 fX2.422.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量X,Y聯(lián)合分布律及關(guān)于 X和Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處y1y2yi 1P X=xi= piX1 x21/81/8P Y=yj= pj1/61而 X與 Y獨(dú)立,故 px XigPY yj PX Xi,Y yi,從而PX1X1 2 PX6為,丫%124.即:PXX11 1 1 /24 64又PX為PXX1,YydPXX1,Yy2)PXX1,Y1即丄11PX

19、冷丫3,4248從而PX1x1,丫 y3 12同理PYy2)12'PXX2,Yy2 8311 1又PYyj1,故 PYy3)1 -j162 3.同理PXX234.從而PXX2,Y y3 PY y3 PX xnY 3131 112 4故y1y2y3PX X P1111X12481241313X28844PYyjPj111162323設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為 久?>0的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p 0<p<1,且中途下車與否相互獨(dú)立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求:1在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下,中途有 m人下車的概率;2二維隨機(jī)變量X,Y的概 率分布.【

20、解】1 PYm |XnCmpm1 pn m,0 mn, n0,1,2丄.2 PXn,YmPX ngPY m|Xnmmn m enCn p (1 p) g , n m n,n 0,1,2,L . n!1 224設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立,其中X的概率分布為 X,而丫的概率密度為f(y),0.3 0.7求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F (y)是Y的分布函數(shù),那么由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為G(u) PX Y u 0.3PX Y u|X 1 0.7PX Y u|X 20.3PY u 1| X 1 0.7PY u 2|X2由于X和Y獨(dú)立,可見G(u) 0.3PY u 1 0.7PY u 20.3F(u 1) 0.7F(u2).由此,得U的概率密度為g(u) G(u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)0.3f(u 1) 0.7f (u 2)

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