關于小波分析理論的讀書報告

1、小波分析理論與方法一 傅里葉分析：法國數學家傅里葉于1822年提出并證明了將周期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉分析的理論基礎。通常傅里葉分析是指積分傅里葉變換和傅里葉級數，傳統信號分析以經典傅里葉變換為基礎。傅里葉分析通過將信號正交分解到一族三角函數或復指數函數上,揭示信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系,從而可導出信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制等重要概念。1.1 連續(xù)傅里葉變換對于函數f(t)L1(R),其連續(xù)傅里葉變換為：其中,i是虛數單位，是頻率變量。F()的連續(xù)傅里葉逆變換為傅里葉變換存在的條件是f(x)在R上絕對可積，傅里葉變換把信號完全轉換到頻域進行

2、分析，不但為了某一點頻率的頻譜需要計算過去和未來所有時間的信號，而且丟失了時域的所有信息。 平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號1，通俗講：因為二者都是隨機信號，所以要采用統計的方法對他們進行最初的處理。通過對統計特征的對比，非平穩(wěn)隨機信號的統計特性（均值、方差等）隨著時間變化而變化，而平穩(wěn)隨機信號的統計特性不隨時間變化。  2，略帶理論講：平穩(wěn)信號是指分布參數或者分布律隨時間不發(fā)生變化的信號，也就是統計特性不隨時間變化而變化。 假設信號表示為X(n),則當其滿足： 1. EX(n)= 2.E|X(n)|2< 3.r(n1,n2)=E

3、x(n)x(n+m)=r(m) 則稱信號x(n)為寬平穩(wěn)（或者廣義平穩(wěn)）信號。 注意：上述三個公式分別表示： 1）平穩(wěn)信號的均值和時間無關，為常數； 2）自相關函數（方差）和時間的起點無關，只和兩點的時間差有關。 3）互協方差函數也和時間的起點無關。 4）一階矩為常數，二階矩與信號時間的起始點無關，只和起始時間差有關。  3，非平穩(wěn)信號：不屬于平穩(wěn)信號范疇的就是了一個平穩(wěn)信號有如下形式另一個信號：在0到300ms之間為100Hz的正弦信號，在300到600ms之間為50Hz的信號，在600到800ms之間為25Hz

4、的信號，在800到1000ms之間為10Hz的信號，其原始信號和傅立葉變換如下圖比較兩幅圖可以看出，兩個信號的功率頻譜圖基本相同第三個信號是由半年周期信號，月周期信號，以及365-730的年周期信號組成。原信號圖如下，其功率譜如下：對圖進行分析，傅里葉分析能夠識別出信號中存在月周期和半年周期的信號，但是月周期和半年周期信號的幅值和初始相位等時域信息無從得知。傅里葉譜是對整個時間軸的積分，為了獲取信號某一特定頻率分量信息，必須知道信號在整個事件過程中的變化信息，因此傅里葉變換代表信號的整體頻譜信息，不具備時頻分析局部化能力，這是傅里葉分析對非平穩(wěn)信號分析的局限性。為了提取信號的局部特征,例如變形

5、信號在某一時刻的頻率、形變突發(fā)位置等1946年Gabor提出了短時傅里葉變換，即Gabor 變換，也稱加窗傅里葉變換。Gabor變換的基本思想為：取時間函數作為窗口函數，用同待分析函數相乘，是時間延遲，然后再進行傅里葉變換，即，其中為窗口函數g(t)的窗口傅里葉變換或Gabor變換。窗口函數g(t)起著時限作用，e-it起著頻限作用。該變化具有不變化寬度2g（由時間寬度決定）和不變的窗口面積4gg，這樣信號在窗函數上的展開就可以表示為、這一區(qū)域內的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，和分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高，局部時頻分析效果越好。下圖是短時傅里葉變換的

6、圖解過程，在變換過程中，把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什么頻率了。下面是短時傅里葉變換的例子：非平穩(wěn)信號：傅里葉頻譜圖：短時傅里葉：由上圖可發(fā)現，傅里葉轉換只提供了有哪些頻率成份的信息，卻沒有提供時間信息；而短時傅里葉轉換則清楚的提供這兩種信息。這種時頻分析的方法有利于頻率會隨著時間改變的信號，如音樂信號和語音信號等分析。短時傅里葉變換是在傅里葉分析基礎上引入時域信息的最初嘗試，其基本信息假定在于在一定的時間內窗口信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內把信號展開到頻域就可以局部的頻域信息，但是它的時域區(qū)分度只能依賴

7、于大小不變的時間窗，對某些瞬態(tài)信號來說粒度太大。換言之。短時傅里葉分析只能在一個分辨率上進行。所以對很多應用來說不夠精確，時頻局部化并不徹底，存在很大的缺陷。二 小波變換小波變換法由法國科學家MORLET于1980年在進行地震數據分析時提出，可解決時頻局部化問題小波分析是近20年來迅猛發(fā)展起來的一門新興的交叉性學科，已廣泛應用于數值分析、信號處理、圖像處理、量子理論、地震勘探、語音識別、計算機視覺、CT成像、機械故障等領域，小波理論被認為是對傅里葉分析的重大突破。1. 連續(xù)型小波變換小波變換是一個平方可積分函數（此處解釋什么是平方可積函數）f(t)與一個在時頻域上均具有良好局部性質的小波函數(

8、t)的內積：Wfa,b=<f,a,b>=1a-+ft*(t-ba)dt式中，<* ,*>表示內積（解釋什么是內積），a>0 ,為尺度因子，b為位移因子，*表示復數共軛，a,b(t)稱為小波a,bt=1at-ba(t)稱為母小波，(t)必須滿足容許性條件：-+tdt=0或-+|2|d=C< 其中是(t)的傅里葉變換。連續(xù)小波變換尺度因子a決定了時域和頻域觀測窗大小，位移因子b決定了觀測窗的位置。尺度因子a越大，時窗越寬，頻窗越窄，且頻窗中心向低頻方向移動；a越小，則時窗越窄，頻窗越寬，且頻窗中心向高頻方向移動。小波函數的時間頻率窗小波函數a,b(t)的作用于短

9、時傅里葉變換中的函數g(t-)e-it相似，前者的位移因子b與后者的參數都起著平移作用。但在本質上不同的是，短時傅里葉中的參數的變化不改變窗口g(t)的大小和形狀，在時頻平面上各處的分辨率均相同，而小波變換中的尺度因子a的變換不僅改變小波的頻譜結構，而且改變其窗口的大小和形狀，尺度因子a大時，對應于低頻端，頻率分辨率高。時間分辨率低；反之，尺度因子a小時對應于高頻端，頻率分辨率低，時間分辨率高，這種特性被稱為數學顯微鏡。小波函數中的尺度因子和平移因子決定了小波變換可以獲得函數或信號點處的精細結構，也決定了小波變換對非平穩(wěn)信號具有時頻局部化分析能力。下圖為部分小波母函數圖像。結合容許性條件和上圖

10、可以得出，(t)的時域波形具有衰減性和波動性，其在原點附近波動明顯，則其遠離原點將迅速衰減為零，整個波動趨于平靜，即其振幅具有正負相間的震蕩。小波分類的標準支撐長度：即當時間或頻率趨向于無窮大時，它們從一個有限值收斂到0，長度越小，對奇異點的區(qū)分效果越好。 對稱性：對稱性越好，越能保證信號不失真（不產生畸變），越能提高信號的重構精度。 正則性：它在對信號或圖像的重構獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。小波基數的選擇尚沒有固定的選擇標準，一般根據信號特征和實實際應用效果而定，目前主要是通過比較不同小波基的分析結果與理論分析 結果的偏差大小來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。下圖為一維連續(xù)小波

11、變換示意圖下圖是x(t)的小波時頻圖2 離散小波變換在實際應用中，需要對尺度因子a和位移因子b進行離散化處理，可以?。篴=a0m,b=nb0a0m,其中，m,n為整數，a0為大于1的常數，b0為大于0的常數，a和b的選取與小波(t)的具體形式有關。離散小波函數表示為：m,nt=1a0mt-nb0a0ma0m=1a0m(a0-mt-nb0)相應的離散小波按可以表示為：Wfm,n=<f,m,n>=-+f(t)·m,n*tdt當a0=2，b0=1時，離散小波變換稱為二進離散小波變換，這樣便于分析，并且適合于在計算機上進行高效的運算。2.1 一階濾波：近似與細節(jié)對于大多數信號來說

12、，低頻部分往往是最重要的，往往給出了信號的特征。而高頻部分則與噪聲以及擾動聯系在一起。將信號的高頻部分去掉，信號的基本特征仍然可以保留。正因為這個原因，我們在后面信號的分析中，經常會提到對信號的近似于細節(jié)。近似主要是系統大的、低頻部分，而細節(jié)往往是信號局部、高頻成分。下面根據一階離散小波變換系數重建的信號：2.2 多尺度分解：對信號的高頻分量不再分解，而將信號的低頻部分繼續(xù)分解.實際中， 分解的級數取決于要分析的信號數據特征及用戶的具體需要，例如長度為N的信號，最多能分成log2N層。在實際中，可以選擇合適的分解層數。下圖為三層多尺度分解樹結構，原始信號S的多尺度分解為：S=cA3+Cd3+c

13、D2+Cd12.3 小波包分析：小波包不僅對低頻部分進行分解，而且對高頻部分也做了二次分解。小波包的主要優(yōu)點是小波包可以對信號的高頻部分做更加細致的刻畫，對信號的分析能力更強，當然其代價是信號分析的計算量將顯著上升。三非線性大地測量信號小波包估計在大地測量系統中,由于受觀測條件、觀測儀器等諸多因素的影響,所獲取的觀測時間序列數據中包含了信號和誤差(噪聲)兩部分,對數據進行預處理,有效地消除誤差,并估計特征值,分析其規(guī)律是大地測量數據分析研究的主要內容之一。利用小波估計信號時,由于僅對低頻部分進行分解,高頻部分被舍棄。而大地測量信號大多是非線性的,其內涵的信息比較復雜性,許多有用信息可能隱藏于高

14、頻部分,若按經典二進小波分解與重構,會造成高頻部分中的有用信號丟失,從而降低信號估計的精度。而小波包則對低頻和高頻部分同時進行分解與重構,可以充分利用信號內涵的信息。3.1小波去噪3.1.1 隨機噪聲小波包變換特征加噪信號數學模型為f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信號，n(t)是隨機白噪聲，滿足En(t)=0和Dn(t)=2。設(t)為小波函數，n(t)的小波包變換為Wn(j,t)=n(t)·j(t)=Rntjt-udun(t)的小波包系數的期望和方差分別為E(|Wn(j,t)|2)=0D(|Wn(j,t)|2)=|t|2j由上式可以看出，經小波包變換后，白噪聲的小波包系數

15、的均值仍為零，但方差為t2j，且其隨著尺度j的增加，系數幅值逐漸減小。3.1.2 信號小波包去噪的原理和步驟原信號和隨機噪聲在小波包變換中具有不同的表現性態(tài),即它們的小波包系數幅值隨尺度變化的趨勢不同,尺度j增加,噪聲系數的幅值快速衰減,而原信號的系數幅值基本保持不變。根據這一特征,可將信號先進行小波包分解,再設計一門限,將低于該門限的小波包系數置為零,然后將處理后的小波包系數重構回原始信號,從而使信號中的隨機噪聲得到有效抑制，達到信號小波包估計的目的。步驟如下：(l)選擇小波基并確定最佳分解的層次,對信號進行小波包分解;(2)對步驟(1)獲得的小波包樹,選擇一定的嫡標準,計算最優(yōu)樹;(3)估

16、計閥值,并應用該閥值對最優(yōu)樹的小波包系數進行閥值量化;(4)將經量化處理的小波包系數,重構回原始信號。小波包閥值消噪有兩個關鍵點：1、如何估計閥值；2 如何利用閥值量化小波包系數。選擇小波基的標準有：正交性，消失矩，正則行，緊支性和對稱性。常用的小波函數主要有：haar小波，daubechies小波,symlets小波,meyer小波,morlet小波,和墨西哥草帽小波。這些經典的小波在對稱性，緊支性，消失矩，正則行等方面均具有不同的特點。小波基的選擇，尚沒有固定的選擇標準，一般根據信號特征和實際應用效果而定。目前主要是通過比較不同的小波基的分析結果與理論分析結果的偏差的大小來判定小波基的好壞

17、，并由此選定小波基。最佳分解層次J的確定分解層次越大，被濾掉的噪聲越多，同時信號的失真也越大，所以必須選擇一個最佳的分解層次J，在保證信號不失真的前提下，最大程度地濾掉噪聲。通過實驗，J一般取3-5即可。最優(yōu)小波包樹的確定熵：用來確定最優(yōu)樹的標準，熵值越小，對應的小波包基越好。1）：香農熵：約定0log(0)=0，則香農熵定義為：Es=-si2log(si2)2）P范數熵：若P1，在lp范數意義上定義E(s)=siP,則E(s)=isiP=|s|PP3)對數能量熵：E(si)=log(si2)， 0log(0)=0,則有E(s)=ilog(si2) 4）閥值熵 E(s)=1 si>1 s

18、i式中，是閥值，且>0.5)sure (stein unbiased risk estimate)熵Esi2=-n+A2+P2+B式中，n為待求熵值序列的長度；P為閥值，且P>0;A為序列si2中大于P2的元素的數量；B為序列si2中不大于P2的元素之和。閥值選擇準則閥值太小，去噪后的信號仍然有噪聲存在；相反，閥值太大，重要的信號特征又將被濾掉，引起偏差。從直觀上看，對于給定的小波系數，噪聲越大，閥值就越大。幾種經典的閥值估計準則如下：1） 通用閥值T1(sqtwolog準則)T1=2log(n) 是附加噪聲信號的標準差，在假設噪聲為高斯白噪聲的情況下取其為1，或者用原信號的小波分

19、解的各層系數的標準差來衡量。n是含噪信號f(t)在尺度1-m（m>J）上通過分解得到小波系數的個數總和，J為二進制尺度參數。2） stein無偏風險閥值T2（Rigrsure準則）設W為一向量，其元素為小波系數的平方，并按由小到大的順序排列，W=w1,w2,wn，且w1w2wn，再設一向量R，其元素為：ri= n-2i-(n-i)w+k=1iwk/n (i=1,2,.,n)以R元素中的最小值rb為風險值，由rb的下標變量b求出對應的wb，則閥值T2為： T2=wb3） 啟發(fā)式的stein無偏風險閥值T3（Heursure）準則啟發(fā)式的stein無偏風險閥值是前兩種閥值的綜合，是一種良好的

20、預測變量閥值選擇方法。當滿足某一條件時，選取閥值用通用閥值準則，否則，取無偏風險估計準則與通用閥值準則的較小者作為本準則的閥值。設為n個小波系數的平方和，令=-nn，=(log2n)32n，則T3=T1 minT1,T2 >4) 最大最小準則閥值T4（Minimax準則）該準則采用的也是一種固定閥值，它產生一個最小均方誤差的極值。具體的閥值選取規(guī)則為： T4=0.3936+0.1829log2n n>32 0 n 32 閥值量化函數的選取閥值量化是應用所估計的閥值T，對小波系數進行的處理。目前，閥值量化函數主要采用兩種方法。一種是硬閥值法，當小波系數大于該閥值時，保留原值，否則置零

21、，其公式為：yi=yiyi>T0 yiT另一種是軟閥值法，當小波包系數大于該閥值時，向著減小系數幅值的方向作一個收縮，否則置零，其公式為：yi=sgnyiyi-yi>T0 yiT式中，sgn（）為符號函數。硬閥值法和軟閥值法本質區(qū)別在于選取的閥值量化函數不同，體現了對小波包系數的不同處理策略。他們基本的思想都是去除小的系數，對大的系數進行收縮或保留。硬閥值法往往使濾波結果具有較大的方差，而軟閥值法使得濾波結果有較大的偏差，主要因為其對所有大于閥值的系數共同作了收縮。軟閥值法和硬閥值法在應用時要根據實際需要進行選擇。小波包分析去噪實例各種閥值估計準則的SNR和RMSE閥值準則heur

22、suresqtwologrigrsuremininmaxSNR11.006228.714311.006221.9542rmse1.79760.74161.79761.0398閥值量化函數硬閥值法軟閥值法SNR13.939128.7143RMSE1.55240.7416均方根誤差公式：RMSE=1Ni=0N(sdi-si)2信噪比公式：SNR=-10logi=1N(si-sdi)2i=1Ns2(i)s和sd分別為原始信號和消噪后的信號最優(yōu)小波包樹系統性干擾信號小波包估計小波包閥值估計抑制了信號中隨機噪聲，但是觀測序列中有時可能存在一定的系統性的干擾，系統性干擾或作用于整個觀測期間，或作用于某一時

23、段，作用的頻率也可能發(fā)生變化。本文借助小波包變換將信號投影到不同頻帶，來探測，抑制系統性干擾。下圖為小波包分解的第4層上各頻帶的信號，從圖中可以看出，L1頻帶顯示了信號的形狀，L2，L3，L4，L7頻帶存在系統性干擾信號，且干擾信號的頻率與所疊加的干擾信號一致，幅值比疊加的干擾信號小，這是因為小波包閥值信號估計損失了一定的系統性干擾信號，這說明小波包變換能夠準確地時序數據中的系統性干擾，也能夠較準確地反映干擾的特征。將所提取的系統性干擾信號消除，以達到消除或減弱信號系統干擾的目的。下圖為消除隨機噪聲和系統干擾后的信號：閥值量化函數噪聲消除和系統干擾處理小波包閥值消噪SNR43.413528.7143RMSE0.35560.7416隨機噪聲消噪和系統性干擾預處理后的仿真數據的信噪比和均方根誤差分別為43.4135和0.3556，而只進行小波包閥值消噪的仿真數據的信噪比為28.7143，均方根誤差為0.7416。在原始數據中用突變點前后的數據進行插值或擬合計算突變點的數據，即可