三角形中的最值問題

1、第42課三角形中的最值問題考占提要P八、J人匚二1掌握三角形的概念與基本性質(zhì).2能運用正弦定理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù)，解決三角形中的最值問題.基礎(chǔ)自測1. ( ABC 中，cosA = V - 3sinA，則 A 的值為 30?；?90°(22 ABC中，當(dāng)A= 時，cosA 2cos- C取得最大值-_ 3 2 22.在 ABC 中,sin A: sinB:sinC 二 m:(m 1):2m，貝U m 的取值范圍是 _m 冷_解 由 sin A: sin B : sin C = a : b : c = m : (m 1) : 2m ,1 令 a =mk,b = (m 1)k,c=

2、2mk，由 a b c,a c b，得 m23 .銳角三角形 ABC中，若A=2B，貝U B的取值范圍是30ov B V 45o .4設(shè)R, r分別為直角三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則-的最大值為.2-1 .R25. 在 ABC中，內(nèi)角A , B, C所對邊的邊長分別是 a,b,c，若b =3ac，則B的取值范圍是 0°旦w 120°.6. 在 ABC中，若A>B，則下列不等式中，正確的為 . sin A>sinB ； cos A<cos B ；sin 2A>sin2B ； cos2A<cos2B .解 a>B ：= a>b：=

3、 2Rsi nA>2Rsi nB：= si nA>s in B，故正確；jincosAvcosBu si n( A) < si n( B) u A>B，故正確(或由余弦函2 2數(shù)在(0,二)上的單調(diào)性知正確)； 由 cos2A<cos2B= 1-2si n2A<1-2si n2B：= sin A> si n B a>B，故正確.知識梳理1. 直角 ABC中，內(nèi)角A , B, C所對邊的邊長分別是 a,b, c , C=90°若內(nèi)切圓的半a ' b -'C徑為r，則r ：22. 在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基

4、礎(chǔ)，起到工具性的作用.它們在處 理三角形中的三角函數(shù)的求值、化簡、證明、判定三角形的形狀及解三角形等問題中有著廣泛的應(yīng)用.例題解析例1已知直角三角形的周長為 1,求其面積的最大值.5.解析方法一設(shè)直角三角形的三邊長為心扒 c.c 為斜邊，則 ac * sioA fb c * cosA.又 abJt-c= 1,:、sinA 4" cos A+1） 1 -， 彳1* * C si nA 4" cosjA 4- 1T三甫形面積S =寺應(yīng)仃=匸卻哮藝 siMgsA（sitiA+cosA+D2'令 片 jiinA + giA=V5in （ A +手） 則 sinAcos-A

5、= Z -.T ?! W （ 0 號）故A十于E （手，羽衣（1"工 3尸J_上一 1 =丄門_ 2 ）4（7+1 瀘 4（H D 41 廣+1 八故當(dāng)尸雄時.面積弘嚴+（1花倉）二上晉爲(wèi) 注三設(shè)直角三角形的三邊長為s札G ,為 斜邊*則a +辦+ f 1，即a十0-F丿左+ / 1 * : l = ci + b+、J/ 十 /+ /2ab.解之得g3-嚴* 故三角形面積朋尋空-*“Z4當(dāng)且儀當(dāng)a = b時等號成立.點評例 2 已知 ABC 中，a=1,b=2 .（1 ）求最小內(nèi)角的最大值；（2）若厶ABC是銳角三角形，求第三邊 c的取值范圍.S+2>c,解（1）由三角形三邊關(guān)

6、系得第三邊c滿足2 c 1,解得1 . c : 3，故最小內(nèi)角為A.1 C 2,又 cosA 二b2 c2 -ac2 312bc4c 4-4(c 3) > £4 c 4（當(dāng)且僅當(dāng)C = J3時等號成立），所以A W 30°即最小內(nèi)角的最大值為30°（2）因為 ABC是銳角三角形，即 A , B,C三個角均為銳角，又因為av b,所以A v B,故只需說明B , C為銳角即可.由B , C為銳角得0<cOSB ：1,0 < cosC : 1,0<上上I2c 20：丄旦I4<1, - _ 解得、,3 ： c ”5 .<1,點評 在銳

7、角三角形中研究問題的時候，一定要注意其三個角都為銳角這個條件.另外 要注意變形的等價性，如“內(nèi)角A為銳角=0 < cosAc1 ”.例3 （2008江蘇）求滿足條件 AB = 2, AC二.2BC的厶ABC的面積的最大值. 解設(shè) BC = X，則 AC = 2x .根據(jù)面積公式得 S.abc =1 AB BC sin B = x、. 1 - cos2 B ,根據(jù)余弦定理得AB2+BC2-AC24 + x2 -2x24-X2cosB =2AB5C4x4x代入上式得128-(x2 -12)216由三角形三邊關(guān)系有x 2x x 2,x 2、2x,解得 2 2-2 x 22 ,故當(dāng)x2 =12,

8、x=23時S abc取最大值點評PQ=2.當(dāng)P, Q處于什么位置例4 如圖，已知/ A=30 , P, Q分別在/ A的兩邊上, 時， APQ的面積最大？并求出 APQ的最大面積.2點評表示三角形的面積可米用兩邊及夾角的表示法，本題解法一運用了余弦定理和基本不等式，解法二運用了正弦定理和基本不等式建立目標(biāo)函數(shù).已知 ABC的周長為6,|BC|,|CA|,|AB|成等比數(shù)列，求:（1） abc的面積s的最大值;（2） BA BC的取值范圍.解 設(shè)| BC|,|CA|,| AB|依次為a, b, c,貝H a+b+c=6, b 2 = ac.a c 6 _ b由b = ac <得0 ： b

9、< 2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立）2 22 2.2 2 2a c b a c ac 2ac - ac 1又由余弦疋理得 cos B>(當(dāng)且僅當(dāng)2ac2ac2ac 2環(huán)a=c時，等號成立)，故有0 ： B <3(1) S=】acsin B =-b2 sin B < - 22 sin 3，即 Smax3 (當(dāng)且僅當(dāng)2223a=b= c時，等號成立);(2)BA BC=accosBa2c2-b(a c)2 -2ac -b222 2(6 -b) -3b2-(b 3)27 .： b< 2, 2< BA BC ：18.（1）為不等式問題，（2）點評 本題運用均值定理

10、進行放縮，再運用不等式的性質(zhì)求解. 為函數(shù)問題.方法總結(jié)1三角形中角的最值（范圍）問題，一般運用余弦定理，通過求該角余弦的范圍，根據(jù) 余弦函數(shù)的單調(diào)性處理要注意三角形三邊關(guān)系和內(nèi)角范圍的隱含條件，尤其要注意 銳角三角形的角的關(guān)系.2三角形中邊的最值（范圍）問題，主要由有三角形三邊關(guān)系決定.3三角形中面積的最值（范圍）問題，可以角為自變量，也可以邊為自變量建立目標(biāo)函 數(shù)，要注意自變量的范圍.練習(xí)42三角形的最值問題班級姓名學(xué)號1.若直角三角形斜邊的長 m （定值），則它的周長的最大值是 2 + 1）AB2.在銳角ABC中，若C 6，則-的取值范圍是（_2，仝）解 AB sinC sin2BAC=

11、 2coS3，而三，丿2空£3sin B sin B64AC3.在 ABC中，若b二.2,a =1，則A的取值范圍是0o< Bw45o4.若 2、3、x分別是銳角三角形的三邊長，則x的取值范圍是C.513）_.5.若三角形兩邊之和為16 cm，其夾角為600則該三角形面積的最大值是_16.3_,周長的最小值是246.已知 ABC中，A = 60 ； BC = 4，則AB + AC 的最大值為 _ 8/37.鈍角三角形的三邊為a,a+1,a +2，其中最大角不超過 120°則a的取值范圍是3 w a ： 3._2解 由題意鈍角三角形中，a+2為最大邊且最大角不超過120

12、°因此得a （a 1） a 2 ，a2 （a 1）2 ： （a 2）2 ，cosAa2 (a 1)2 -(a 2)22a(a+1),2H由= 9得寺血曲皿=9,由 Sa（pu = 16 得*有 d =32csiruy3 3由得a 1，得-1 ：a ：3，得a w -1或a上，故上w a ： 3 .228.已知四邊形 ABCD的對角線 AC與BD相交于點 0,若Saob=9, 0cod=16，則四 邊形面積的最小值是49.9解析假設(shè)OA=a.OB =b * OC= c * OD=1且 XAOB=a.故A旦Asma而 Saaod+5厶眈=號5 +比） sina=+（字+乎）羽,（當(dāng)且僅當(dāng)

13、辺=色時，取等號）c a*披四邊形的面積的最小值是9 + 16 + 24 = 49.9. （2006全國）用長度分別為 2、3、4、5、6 （單位：cm）的5根細木棒圍成一個三 角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為 _6'、Lcm2.解由題意可圍成以下幾種三角形.圖（1）中,邊八寸冊八于，4 15 ；圖（2）中,AD =2.10圖（3）中，cos -1 ,sin 3 , S=103 .比較2 2上述幾種情況可知，能夠得到三角形的最大面積為6-10cm2.點評 當(dāng)周長一定時，三邊越是接近，其面積越大這是等周問題中的一個基本結(jié)論.可見，面積最大的三角形應(yīng)該這樣構(gòu)成：

14、2+5, 3+4 , 6.2 C 2 A 310.在 ABC 中，已知 acos ccosb .2 2 2(1)求證：a、b、c成等差數(shù)列；(2)求角B的取值范圍.解.；=a * (1 +cosC) | c * (1 4-cosA) _ 3 ,2十玄乩代 a +(;+ (acosC+ ccosA) = 3b=>卄/遷產(chǎn)十以必W12卡Qarc=2b,故7、亡成等差數(shù)列. 理+_（寺培 cqsB =2ac3(a2) 2ac-ac 2ac _ 1ButSac當(dāng)且僅當(dāng)時+等號成立.:Fl y=co胃工在（0兀）內(nèi)是減函數(shù)*0<B<11.如圖，正方形 ABCD的邊長為a, E、F分別是

15、邊 BC、CD上的動點，/ EAF=30°求厶AEF面積的最小值.解 設(shè)厶 AEF 的面積為 S,/ BAE=二（15oW rw 45o）,則由/ EAF=30 得/ DAF= 60“ 。.正方形ABCD的邊長為a,AB在 Rt BAE 中，AE =COS日在 RtA DAF 中,AFacosADar =cos(60)cos(60”)1 S AE AF sin EAF221aaasin30 =2 cos cos(60')4cosrcos(60)、1、罷、2cos2 v 2 3sin vcosv4cos)(cos' sin"2 222aacos2r. 3sin

16、2二 112(2cos2sin 2" 1222aa22aacos2 J一 3sin2v 12(lcos2v3s 巾 2R 12 22sin (2 30) 12sin(2 30 30) <312.（2008四川延考）在 ABC中，內(nèi)角 A , B , C對邊的邊長分別是 a,b,c，已知 2 2 2a c =2b .卄兀（門右B ，且A為鈍角，求內(nèi)角 A與C的大小；4（2）若b =2，求 ABC面積的最大值.解（1）由題設(shè)及正弦定理，有si n2A，si n2C=2s in 2B=1.故 sin2 C = cos2 A .因 A 為鈍角，所以 sin C 二- cos A .由

17、cos A 二 cos (二-C），可得兀兀5兀sinC 二sin(-C) , C=,A=448 8（2）由余弦定理及條件b2J(a2c2），有cosB2 2 a c51故 cos B > -24ac2由于 ABC面積_ 1acsin B ,又ac w1 / 2-(ac2) =4,i B屈 sin B w,222當(dāng)a =c時，兩個不等式中等號同時成立，所以 ABC面積的最大值為備用題1直角 ABC的斜邊AB=2，內(nèi)切圓的半徑為r，則r的最大值為 _ .2 -122232.在 ABC 中，已知 sin A + sin B = 5sin C,求證：sinC <5解 等式sin2A +

18、sin2B = 5sin2C立即聯(lián)想正弦定理，有 a2+b2=5c2. 而a2+ b2=5c2與余弦定理連起來也無可非議./ c2= a2+b2-2abcosC,222二 5c = c +2abcosC,. 4c =2abcosC.2 2 2于是可知cosC>0, C為銳角，而5c = a +b 2ab,22故 4c =2abcosC< 5c cosC.4 cosC ,53 sinCw5點評 從外形的聯(lián)想，到方法的選擇，這樣的直覺思維隨時隨地都會出現(xiàn)在解題過 程中.3.已知 ABC 的內(nèi)角滿足 sin B sin C 二 sin A(cos B - cosC).(1)求A ;(2)

19、若厶ABC的面積為4，求 ABC周長的最小值.解 (1) T sin B + sin C = sin A(cos B + cos C)t 由正、余蘢定理可得 i 4-c = 卜牝簡得聲+搶'占一臚即 = A 90： V A = 90 A寺AB X胚=4AB X AC二乳二三角形周長L = AB +AC + /AB? -|-AC2 A 2/AB AC +7ZAB AC =生(吃 + IX4.如圖，邊長為 a的正 ABC的中心為 O,過O任意作直線交 AB、AC于M、N ,1 1求 22的最大值和最小值.OM ON答案最大值2a最小值52 .a5 .如圖/ A = 90 ° / B = « , AH = h, « , h 為常數(shù)，AH 丄 BC 于 H，/ AHE= /AHD = X,問當(dāng)x取何值時， DEH的面積最大？并求出最大面積.A僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlic