初中數(shù)學(xué)專題4.6局部到整體

1、4.6局部到整體在處理數(shù)學(xué)問題時，一般都從問題的局部出發(fā)，將問題分解成若干個簡單的子問題，但 是這種思考方法常導(dǎo)致解題過程繁雜，有時我們也可以從整體的形式與結(jié)構(gòu)特征出發(fā).例 1 設(shè)有個實數(shù) XI, X2,X”，X”滿足：Xl+X2lFx“=O 且X： + X； H卜 X： =1,i己X2f ，X”, b=maxxy 洶，x.求證：/，W一 n【證明】由于本題只要證明1 +,曲W0所以，我們改寫式為X： + %； + + X； - (+x2 + +x")("+力)+nab WO,因此問題等價于要證明：(X； (a+b)xi+句 + (x； -3+6)w+4 + (x； -(a

2、+bg+abW0而x： 3+)m+W0, (xi «/)(Xi -b)WO(i=l, 2» ,» n)這個不等式明顯成立，故原題結(jié)論成立.【注】要從結(jié)論的表面看穿局部與整體的聯(lián)系實屬不易.本題的結(jié)論較好地掩蓋了局部 的痕跡.例2設(shè)正整數(shù)>1,對于整數(shù)+1的每個正約數(shù)4均用除以小并將所得的商寫 在黑板上，余數(shù)寫在本子上.證明兩處所寫不同的數(shù)的全體是一樣的.【證明】設(shè)+l=k/,其中"是整數(shù)，則=伏- 1)4+4- 1,因此黑板上所寫之?dāng)?shù)為女 一1,本子上所寫之?dāng)?shù)為一1.若記+1的全體正約數(shù)為。，則黑板上所寫之?dāng)?shù)均具有形式竺11,其中"為。中

3、 d的一個數(shù)；本子上所寫之?dāng)?shù)均具有形式一 1,其中，也為。中的一個數(shù).由于當(dāng)，/取遍。 中所有不同數(shù)時，”1也將取遍。中所有不同之?dāng)?shù)，故兩者的全體所含之?dāng)?shù)是一致的.(1【注】本題實質(zhì)是利用了£>=Z號這一數(shù)論中的事實. din dn "例3圓周上寫著紅藍兩色的數(shù).已知每個紅色數(shù)等于其兩側(cè)相鄰數(shù)之和，每個藍色數(shù) 等于其兩側(cè)相鄰數(shù)之和的一半.證明：所有紅色數(shù)之和等于0.【證明】將所有紅色數(shù)之和記為S，所有藍色數(shù)之和記為S.注意到對任意三個相連 的數(shù)“、b、c,都有“+c=b或2以視人為紅數(shù)還是藍數(shù)而定)，將所有這些等式全部求和.從 圓周上所寫等式的左邊看：每個數(shù)都被加了兩

4、次，所以總和為2(S+Sl)；從等式的右邊看， 每個紅色數(shù)都被加了一次，每個藍色數(shù)被加了兩次，所以總和為Sn+2SL.由此即可得到2(% +Sl)=S+2Sl,從而 S=0.【注】本題利用了算兩次的思想，將紅色數(shù)之和與藍色數(shù)之和聯(lián)系在一起. 1001例4給定的100個實數(shù)100),滿足2>； =11且kLW】IV (1WW99).證50明：可以選出其中50個數(shù)，使得它們的和與，的差不超過一L 2100【證明】任取其中50個數(shù)：X,也，X50,若Lvi+X2+尤5。 1> ，2100則對其進行調(diào)整，使5=內(nèi)+h+必)接近;.下而調(diào)整工=修，刈，X5。中的數(shù)(更 換某些數(shù))，使之符合條

5、件.按下列方程進行調(diào)整：從下標(biāo)最大的數(shù)開始，將下標(biāo)增加1(以便利用條件：比一匹川).每個數(shù)調(diào)整一次以后，又從下標(biāo)最大的數(shù)開始進行類似的調(diào)整，如此下去，最終可將, 50但，M，X$o調(diào)整為6，X52'，A100).在上述過程中，由平均數(shù)原理可知必存在一個時刻，使調(diào)整前數(shù)之和aw!,調(diào)整后 2各數(shù)之和S2>1.若5 - 1|V_L,則結(jié)論成立，否則必有下面我們證明 221002100此時有0<S2事實上, 21001100S2=S】+(mm)WS + "l aJVS+ , 50從而 S> VS+ W(L )4-()= 25022100502【注】局部調(diào)整法是處理

6、許多不等式問題的重要方法.例5 (1)是否存在2011個不同的正整數(shù)，滿足所有數(shù)之和可被K中任何一個數(shù)整？(2)是否存在2011個正整數(shù)，滿足所有數(shù)之和可被其中任何兩個數(shù)之和整除？【分析】(1)直接尋找不同的正整數(shù)很困難，但可以很容易找到3個不同的正整數(shù)滿足 題意，因此我們遞歸構(gòu)造這些數(shù).【解】(1)取 41=1，42 = 2, 43 = 3,令。=41+。2+%-1=2%(=4, 5,2011)則由有如一11出，且2km(=4, 5,，2011),進而推得出-初2011且21-(=4, 5,， 2011).所以ailson，意?！保?010.2011，即31，。2011)也滿足條件;(2)

7、假設(shè)存在這樣的2011個不同的正整數(shù)，記為"岳歷on,它們的和S可被數(shù) 組中任意兩個數(shù)之和整除.注意到從十歷011歷+歷01102010 +歷011,故> 一 >> 一-一，b + %H b? + % %HO + b2fHi而b2ow=fruixbli=, 2,，2011,所以 2011 >- > 一- > >>->1,"l + ”2011 b2 + 2011%。+ All由已知 S (/=1, 2,，2010)為兩兩不同的整數(shù)，但(1, 2011)中只有個整數(shù)，矛盾!“r +”2011有2009個整數(shù)，矛盾！因此不存在

8、2011個不同的正整數(shù)滿足題意.【注】本題利用不等式的放縮，從極端情況對第二問進行處理.例6已知11個正整數(shù)排列在圓周上，其中任意兩個相鄰數(shù)的差不小于20,任意兩個 相鄰數(shù)的和不小于100.試求圓周數(shù)和的最小可能值.【解】首先對圓周上任意相鄰的兩個數(shù)，我們有結(jié)論：其中較大的數(shù)不小于60.事實 上，對任意相鄰的兩個數(shù)、b(a'b),由于 W+20,所以100Wa+W2tL20,從而“2 60.其次，對于原題，設(shè)圓周上最大的數(shù)是可，則圓周上所有數(shù)都不大于修.記從川開始 按順時針順序在XI之后的數(shù)是X2, X3,，XU,那么若XlW79,則由X23X1，知X2Wx】一 20W59.由前面結(jié)論

9、知x2為x2和心中較小的，即應(yīng)忘心，故4260,同時不忘占W79.同理 X459» a-560, X659； x?，60, X9260, xu260,從而 xi + 2080>xi, 矛盾.因此,%iN80.進而由及+x3、100, X4+x52100，xio+xnlOO,相加得xi+k + +孫2580.另一方面，令 xi=80, a-2=40, X3=60, a-4=40, xs=60, , x】o=4O, xji=60,此時 滿足題意且和為580.【注】本題對兩個數(shù)的局部處理，控制最大數(shù)的下界是關(guān)鍵.1練習(xí)4.61 .證明：存在一個三角形，它能分割成2005個全等的小三角

10、形.2 .試問：最少需要剪幾刀，可將一個圓形紙片分成50張小紙片？3 .黑板上寫著一串?dāng)?shù)的乘積：“用2"3，"oo其中囚，例，“wo為正整數(shù).如果將其中 的一個乘號改為加號，其余乘號不變，發(fā)現(xiàn)在所得的99個和數(shù)中有32個數(shù)是偶數(shù).試 問：在"I, “2,，”100中最多有多少個偶數(shù)？4 .已知平面上有/?個點，其中任意三點都可以構(gòu)成一個直角三角形，試求的最大值.5 .設(shè)有23個不同的正整數(shù)之和為4845,試求這23個正整數(shù)的最大公約數(shù)的最大值.參考答案練習(xí)4. 61 .注意到222 + 392 = 2005,于是考慮邊長分別為22, 39, >/5研的直角三

11、角形對任一 整數(shù)，用/個t的復(fù)制品構(gòu)造一個與丁相似的三角形，其邊長分別如22/, 39，72005 設(shè)=22,構(gòu)造一個邊長分別為22-39X22, 22>/的三角形A,它由丁的222個復(fù)制品構(gòu)成.設(shè)=39,構(gòu)造一個這長為22X39, 392, 39衣面的三角形從A與8是相似的直角三角形且有同樣長的一條邊，故可沿長為22X39的邊將三角形A與B粘在一起，得到一個邊長分別為22 旃，3972005 , 2005的三角形，它由22?+392 = 2005個t的復(fù)制品構(gòu)成.2 . 一刀將圓剪成2塊(增加1塊，剪第二刀多增加2塊，得4塊.剪第三刀，則最多增加3 塊，得7塊，一般地，剪刀時，最多增加

12、n塊，于是剪了刀后，紙片塊數(shù)SW1 + (1+2+3 +).當(dāng)=9時，SW46V50,所以210.下面證明10刀是可能的.先 作9條，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，且所有交點都位于圓內(nèi)，則將圓劃分 成46塊，設(shè)9條直線與圓的交點(按逆時值方向)排列依次為Al, A2,。A18,如圖.在 圓滿上取兩點尸、。，使尸介于48與4之間，。介于4與4之間，過戶、。作直線，則直線PQ只與其中3條直線在圓內(nèi)相交，它們把直線尸。分為4段，平而塊增加了 4塊，從而共 分為46+4=50塊.（第2題）3 .設(shè)在,小色，"項最左面的一個偶數(shù)是最右面的一個偶數(shù)是四.記 Xj=aa2'aj, Y

13、j=q+iq+2”ioo,易知，當(dāng)j=l, 2i-l時，為為奇數(shù)，匕為偶數(shù)，此時和數(shù)為+匕為奇數(shù)：當(dāng)/=k, k + 1,，100時，為為偶數(shù)，X為奇數(shù)，和數(shù)為十 %也為奇數(shù).只有當(dāng)j=i, i+1,k 一 1時，X）, X都是偶數(shù)，和數(shù)為+匕方為偶數(shù)，這就表明上一i=32.由于位于的與w 之間的數(shù)既可為奇數(shù)，也可為偶數(shù)，只有當(dāng)它們都是偶數(shù)時，在，大色，”中的 偶數(shù)最多，所以最多有33個偶數(shù).4 .首先考慮=4時的情形，任意矩形的四個頂點滿足題意，故猜測皿=4,下證之. 設(shè)這八個點為4, A2,，A,”考慮其中三點組成的三點組（A” A,，Ak）,如果順序不同 的三點組,如（4, A2, 4）

14、與（42, Ai, A3）認(rèn)為是不同的，則不同的組共有小一 1）（一2） 個.注意到每6個不同的三點組構(gòu)成同一個三角形，因此個點可構(gòu)成（直角）三角形的 個數(shù)為小二1）（二2）.對每個點4,它至多是一個直角三角形的直角頂點（否則將在所 6有的A,中存在三個點構(gòu)成鈍角三角形，與題設(shè)矛盾），因此直角三角形的個數(shù)不多于乩6因/?是正整數(shù)，故W4.綜上 ntax=4.5 .設(shè)這23個不同的正整數(shù)分別為的，“2，”23,且（0, 42,，"23）=，則令"1=的, a?=db?,，u?3=db?3,由題意得加1 + 的2 + + 他23=4845,即</（+岳+岳3）=4845.因為為，"2,，”23互不相同，所以加，b2,勿3是互不相同的正整數(shù)，從而 1+2+岳3> 1 +2 +23=276,4845 =4（仇+岳+ +。23）24276,4845即4W jV18, dW17.下而構(gòu)造/力，歷，岳3使得 2764845 =41 +s+23