常微分方程期末考試試卷(6)

1、精品資料歡迎下載常微分方程期末考試試卷(6)學(xué)院 _班級(jí) _學(xué)號(hào) _姓名 _成績(jī) _一 填空題（共 30 分， 9 小題， 10 個(gè)空格，每格 3 分）。1.當(dāng) _時(shí)，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。2、_稱為齊次方程。3、求 dy=f(x,y) 滿足( x0 )y0 的解等價(jià)于求積分方程_的dx連續(xù)解。4、若函數(shù) f(x,y) 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足利普希茲條件，則方程 dyf (x, y)dx的解 y=(x, x0 , y0 ) 作為 x, x0 , y0 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若 x1 (t ), x2 (t ),.x3

2、 (t) 為 n 階齊線性方程的n 個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是。6、方程組 x /A(t ) x 的_稱之為 x/A(t) x 的一個(gè)基本解組。7、若(t)是常系數(shù)線性方程組/Ax的基解矩陣，則 expAt =_。x8、滿足 _的點(diǎn)（ x* , y* ），稱為方程組的奇點(diǎn)。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 _。二、計(jì)算題（共6 小題，每題 10 分）。1、求解方程： dy= xy1dxxy 232.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0精品資料歡迎下載3、討論方程 dy31y 3在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，

3、并求通dx2過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：x/2x /3xe t cost5、試求方程組 x /Ax 的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算 eAt12,其中 A為346、試討論方程組 dxaxby,dycy（1）的奇點(diǎn)類(lèi)型，其中 a,b,c 為常dtdt數(shù)，且 ac 0。三、證明題（共一題，滿分10 分）。試證：如果 （ t）是 x/Ax 滿足初始條件(t0 )的解，那么(t)e A( t t 0 )精品資料歡迎下載常微分方程期末考試答案卷一、填空題。（30 分）1、M ( x, y)N (x, y)yx2、 dyf (y )dxx3、y= y0+xf ( x, y)dxx04、連續(xù)的5、

4、w x1 (t ), x2 (t ,),., xn (t )06、n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解7、 (t)1 (0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、為零穩(wěn)定中心二、計(jì)算題。（60 分）1、解：(x-y+1)dx-(x+ y 2 +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx- y 2 dy-3dy=0即 1 d x 2 -d(xy)+dx- 1 dy 3 -3dy=023所以 1 x 2xy x1 y 33y C23、解： dy2(xy)1 ，令 z=x+y2( xy)2dx則 dz 1 dydxdxdz2 z1z 1z2dx1z2z,zdzdx21所以z+3ln|z+1|=x+ C1 ， ln

5、 | z1 |3 =x+z+ C1即 ( xy1)3Ce 2xy精品資料歡迎下載31f123、解： 設(shè) f(x,y)=y 3 ,則y 3( y 0)2y2故在 y0 的任何區(qū)域上f 存在且連續(xù)，y因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，顯然， y0 是通過(guò)點(diǎn)（ 0， 0）的一個(gè)解；又由 dy313y 3解得， |y|= ( xc) 2dx2所以，通過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的一切解為 y0 及|y|=30( x c)(x c), c(xc) 20是常數(shù)4、解： (1) 223 0,1,212i齊次方程的通解為 x= et (c1 cos2tc2 sin2t)(2)1i 不是特征根，故取 x(

6、 A costB sin t )e t代入方程比較系數(shù)得 A=5 ，B=- 44141于是 x( 5 cost4 sin t) e t41411通解為 x= et (c1 cos2tc2 sin2t ) +(5cost 4 sin t )e t415、解： det( E1224 5 0A )=34所以，11,25設(shè) 11 對(duì)應(yīng)的特征向量為 v1精品資料歡迎下載221由44 v10可得 v110取 v11同理取 v2121所以，(t ) = e t v1e5 t v2e te5te t2e5tt5t1eAt1(0)ee11(t )12e t2e5t1e te5t213e t2e5t111e5t2e te5te t32e5t2e t2e5te t6、解：因?yàn)榉匠探M（ 1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件ab0，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（ 0，0）0acc又由 det(A-ab2( a c) ac 0得E)=c01a2c所以，方程組的奇點(diǎn)（ 0， 0）可分為以下類(lèi)型：ac奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)a0, c0,穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)a，c 為實(shí)數(shù)ac 0a 0, c 0, 不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定）ac 0b0,奇點(diǎn)為退化結(jié)點(diǎn)a0, c，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)ac0b0,奇點(diǎn)為奇結(jié)點(diǎn)a0, c0,不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)三、證明題。（10 分）證明： 設(shè)(t)的形式為(t )=eAt C（ ）1（C 為待定的常向量）