數(shù)值分析實驗報告

1、實 驗 報 告學 院： 電子與信息工程學院 專 業(yè)： 電子與通信工程專業(yè) 班 級： 數(shù)值分析七班 學 生：目錄：實驗一：高斯消元法解方程組實驗二：高斯賽德爾迭代法實驗三：牛頓插值法實驗四：最小二乘法來求擬合函數(shù)實驗五：Romberg法解數(shù)值積分實驗六：Newton法解非線性方程的解實驗一：高斯消元法解方程1、實驗目的：1掌握高斯消去法的基本思路和迭代步驟；2培養(yǎng)編程與上機調(diào)試能力；2、實驗原理：高斯消元法 第一步：設a11(1)0，記 ,將式（11）中第i個方程減去第1個方程以 ，完成第一次消元，得（11）的通解方程組 其中。方程組（12）簡記為 。第二步：設 ，記 。將式（12）中第i個方程

2、減去第2個方程乘以 ，完成第二次消元。第k步：設第k-1次消元完成后得到方程組（11）的同解方程組為 按上述作法，完成n-1次消元后，方程組（11）化成同解的上三角形方程組簡記為3、實驗內(nèi)容：編寫用高斯消元法解線性方程組的MATLAB程序，并求解下面的線性方程組。 4、實驗程序及結(jié)果分析：用高斯消元法解線性方程組AX=b的MATLAB程序輸入的量：系數(shù)矩陣A和常系數(shù)向量b；輸出的量：系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B的秩RA,RB, 方程組中未知量的個數(shù)n和有關(guān)方程組解X及其解的信息.function RA,RB,n,X=gaus(A,b)B=A b; n=length(b); RA=rank(A); R

3、B=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('請注意：因為RA=RB，所以此方程組無解.')returnendif RA=RB if RA=ndisp('請注意：因為RA=RB=n，所以此方程組有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endend b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n)

4、; for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q); endelse disp('請注意：因為RA=RB<n，所以此方程組有無窮多解.')endend編寫高斯消元法MATLAB文件如下：clear>> A=2 6 -4;1 4 -5;6 -1 18;>> b=4;3;2;>> RA,RB,N,X=gaus(A,b)請注意：因為RA=RB=n，所以此方程組有唯一解.RA = 3RB = 3N = 3X = 1.3333 0 -0.3333 通過實驗我掌握了消元法解方程的一些

5、基本算法以及用matlab實現(xiàn)矩陣的幾種基本計算。是我們初步了解了計算機中線性方程的解法。對MATLAB軟件有了更深的了解。實驗二：高斯賽德爾迭代法1、實驗目的掌握高斯賽德爾的原理和應用，學會用MATLAB實現(xiàn)高斯賽德爾迭代法解方程組，并且與雅克比迭代法進行比較。2、實驗原理對于方程組不妨設，將方程組變形為其中。記方程組簡記為，上述過程稱為雅克比迭代法。如方程組化為此時，上述迭代為高斯賽德爾迭代法。3、實驗內(nèi)容求解方程組4、實驗程序及結(jié)果分析function EX1() a=input('請輸入系數(shù)矩陣a：'); b=input('請輸入矩陣b:'); N=in

6、put('請輸入最大迭代次數(shù)N：'); esp=input('請輸入近似解的誤差限：'); if any(diag(a)=0 error('系數(shù)矩陣錯誤，迭代終止！') end D=diag(diag(a); X0=zeros(size(b); x1=0; x2=0; x3=0; X1=x1;x2;x3; h=inv(D)*b;B=inv(D)*(D-a);B1=triu(B); B2=tril(B); k=1; fprintf('高斯-賽德爾迭代法 n'); fprintf('第0次迭代得：') disp(X1&

7、#39;);while k<=N x1=h(1,1)+B1(1,:)*X0; X1=x1;x2;x3; x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1; X1=x1;x2;x3; x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1; X1=x1;x2;x3; if norm(X1-X0,inf)<esp fprintf('已滿足誤差限。 ') break end X0=X1;fprintf('第%2d次迭代得：',k)disp(X1'); k=k+1; end fprintf('滿足誤差限的高斯-賽德爾迭代近似解為：')

8、 disp(X1'); fprintf('雅可比迭代法 '); t=0; Y0=zeros(size(b); while t<=N Y1=h+B*Y0; if norm(Y1-Y0,inf)<esp fprintf('滿足誤差限 n') breakend Y0=Y1; fprintf('第%2d次迭代得：',t) disp(Y1'); t=t+1; end fprintf('滿足誤差限的雅可比迭代近似解為：') disp(Y1'); fprintf('用高斯-賽德爾迭代法迭代次數(shù)為 %d

9、次n用雅克比迭代法迭代次數(shù)為%d次n',k-1,t-1)實驗結(jié)果實驗結(jié)果表明，用高斯賽德爾迭代法解方程組比雅克比迭代法效果好，迭代4次所得到的的結(jié)果與雅克比迭代法迭代6次所得結(jié)果相仿。實驗三：牛頓插值法1、實驗目的：1.掌握牛頓插值法的基本思想和計算步驟；2.理解牛頓插值法的基本原理和特點；3.掌握牛頓插值法的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)方法；2、實驗原理：牛頓插值法差商表3、實驗內(nèi)容：已知函數(shù)f(x)=cos x的函數(shù)表如下：xi0.00.10.20.30.4f(xi)1.000000.995000.980070.955340.92106求f(x)的四次Newton插值多項式，并計算f(0.

10、048)的近似值。4、實驗程序及結(jié)果分析function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else disp('x和y的維數(shù)不相等！'); return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1;

11、 if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,'t',x0); else f = collect(f); %將插值多項式展開 f = vpa(f, 6); end endend實驗結(jié)果>> x=0,0.1,0.2,0.3,0.4x = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000>> format long;y=1,0.99500,0.98007,0.95534,0.92106y = 1.000000000000000 0.995000000000000 0.980070000000000 0.955340000

12、000000 0.921060000000000>> f=Newton(x,y)f =0.05*t4 - 0.00833333*t3 - 0.4975*t2 - 0.000216667*t + 1.0>> f=Newton(x,y,0.048)f =35143653349446043306931303/35184372088832000000000000=0.998842703經(jīng)過計算，運行結(jié)果基本達到了預期的結(jié)果。經(jīng)過此次實驗基本上理解了牛頓插值法的過程。實驗四：用最小二乘法來求擬合函數(shù)1、實驗目的：熟悉最小二乘法來求擬合函數(shù)原理和基本思想，并能用MATLAB實現(xiàn)2、

13、實驗原理：數(shù)據(jù)擬合的最小二乘問題是：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi，yi）（i=1，2，n），選取近似函數(shù)形式，及給定函數(shù)類H，求函數(shù)（x）H，使得i=1ni2=i=1nyi-(xi)2為最小，即：i=1nyi-(xi)2=minHi=1nyi-(xi)2這種求近似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法，函數(shù)x稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘函數(shù)。通常取H為一些比較簡單函數(shù)的集合，如低次多項式，指數(shù)函數(shù)等等。3、實驗內(nèi)容：已知一組實驗數(shù)據(jù)如下：123424682112840試用最小二乘法求一次擬合多項式，并將擬合曲線畫出來4、實驗程序及結(jié)果分析程序：functiona,b=yichi(x,y)plot(x,y,&#

14、39;r+') n=length(x);x0=0;y0=0;c0=0;d0=0;for i=1:n; x0=x(i)+x0; y0=y(i)+y0; c0=x(i)*x(i)+c0; d0=x(i)*y(i)+d0;enda,b=solve('a*n+b*x0=y0','a*x0+b*c0=d0','a,b');a=subs(a);b=subs(b);hold onX=2:0.01:8;Y=b*X+a;plot(X,Y)調(diào)用函數(shù)：>> x=2 4 6 8;y=2 11 28 40;>> a,b=yichi(x,y)

15、運行結(jié)果：a = -12.5000 b = 6.5500擬合圖像：通過本實驗對用MATLAB進行擬合，有了全面的認識和深化，使認識更加深刻。實驗五：Romberg法解數(shù)值積分1、實驗目的熟悉數(shù)值積分原理和基本思想，并能用MATLAB實現(xiàn)。2、實驗原理數(shù)值求積的基本思想是通過積分中值定理將積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)的四則運算。利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Romberg公式間的關(guān)系，可構(gòu)造出由梯形公式計算Romberg公式的方法。對于積分，將積分區(qū)間劃分為n等分，分點，則相應的復化梯形公式為：Simpson公式與復化梯形公式關(guān)系：Cotes公式與Simpson公式關(guān)系：Romberg公式

16、與Cotes公式關(guān)系：3、實驗內(nèi)容求函數(shù)積分，精度為四、實驗程序及結(jié)果分析4、實驗程序及結(jié)果分析function quad,R=bbc(f,a,b,eps)h=b-a;R(1,1)=h/2*(feval(f,a)+feval(f,b);wc=2;n=1;i=0;while wc<eps i=i+1; s=0; h=h/2; while x<b x=a+h/2; s=s+feval(f,x); x=x+h end R(i+1,1)=R(i,1)/2+h*s; for j=1:i R(i+1,j+1)=R(i+1,j)+(R(i+1,j)-R(i,j)/(4j-1); end wc=a

17、bs(T2-T1);endj=i;quad=R(i+1,j+1);在命令窗口輸入：function f=f1(x)f=sin(x)/x>> f=f1;a=10-100;b=1;>> quad,R=bbc(f,a,b,0.5e-6);運行結(jié)果：通過本次實驗，理解并掌握了Romberg法對方程的積分過程，并對多學的理論知識進行驗證。實驗六：Newton法解非線性方程的解1、實驗目的熟悉Newton法解非線性方程的解的原理和基本思想，并能用MATLAB實現(xiàn)。2、實驗原理將非線性方程線性化，以線性方程的解逐步逼近非線性方程的解，這就是Newton法的基本思想。設在零點鄰近一階連

18、續(xù)可微，且，當充分接近時，由Taylor公式有以方程近似方程其解重復以上過程，得迭代公式Newton法也是一種不動點迭代，其迭代函數(shù)為3、實驗內(nèi)容求下列方程的非零根4、實驗程序及結(jié)果分析采用牛頓法對該非線性方程進行求解，而本函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，為了使得牛頓迭代公式初始值比較靠近該方程的非零根，應該確定該方程非零根的大概范圍。故首先用Matlab畫圖指令畫出該函數(shù)的曲線圖。 因注意到513-0.6651x>0，則可知|x|<771.3126.故有以下繪圖代碼：>> x=-770:770>> y=log(513+0.6651*x)./(513-0.6651*x)-x/(1400*0.0918);>> plot(x,y)>> grid得出函數(shù)圖如下：由上圖可以很明顯看出，原方程有一個零根，兩個關(guān)于原點對稱的非零實根。由圖估測原方程的正實根的x坐標值在770附近。并且經(jīng)驗證f(770)=1.0771>0，而f(760)= -1.0055<0。所