平面向量的線性運(yùn)算

1、2. 2 平面向量的線性運(yùn)算第 1 課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能 1掌握向量的加減法運(yùn)算，并理解其幾何意義.2會用三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量和差向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解 決問題的能力 .3通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加減法運(yùn)算的交換律 和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；二、過程與方法 1位移、速度和力這些物理量都是向量，可以合成，而且知道這些矢量的合成都遵循 平行四邊形法則，由此引入本課題2 運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加減法的三角形法則、平行四邊形法則，并對向量加法的交換律、 結(jié)合律進(jìn)行證明， 同時運(yùn)用他們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算， 這

2、可讓同學(xué)們進(jìn)一 步加強(qiáng)對向量幾何意義的理解三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)， 讓學(xué)生認(rèn)識事物之間的相互轉(zhuǎn)化， 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 2體會數(shù)學(xué)在生活中的作用培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等能力教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量和差向 量教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加減法的定義 教學(xué)關(guān)鍵：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的探究引導(dǎo) . 教學(xué)突破方法：由物理中力的合成與分解拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生探討得到結(jié)論 教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法；啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合學(xué)習(xí)方法： 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算， 向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們， 從運(yùn)算的角 度看， 位移的

3、合成、 力的合成可看作向量的加法 借助于物理中位移的合成、力的合成來理 解向量的加法， 讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義 結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則 和平行四邊形法則聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體或?qū)嵨锿队皟x、尺規(guī)學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī) .教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念，明確了向量的表示方法，了解了零向量、單 位向量、平行向量、相等向量等概念，并接觸了這些概念的辨析判斷 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向 量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？這一節(jié)， 我們將借助于物理中位移的合成、 力的合成來學(xué)習(xí)向量的 加法和減法二、主題探究，合作交流

4、提出問題：1. 類比數(shù)的加法，猜想向量的加法，應(yīng)怎樣定義向量的加法？2. 向量加法的法則是什么？3. 與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同？師生互動：向量是既有大小、又有方向的量， 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念，位移可以合成，如圖某對象從 A點(diǎn)經(jīng) B點(diǎn)到 C 點(diǎn)，兩次位移 AB、BC 的結(jié)果，與 A點(diǎn)直 接到 C 點(diǎn)的位移 AC 結(jié)果相同力也可以合成，老師引導(dǎo)，讓學(xué)生共同探究如下的問題 .圖（ 1）表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著GC 的方向伸長了 EO；圖（ 2）表示撤去F1和 F2，用一個力 F 作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度改變力 F1與F2的大小和方向， 重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn)，

5、 你能發(fā)現(xiàn) F 與F1、F2之間的關(guān)系嗎？ 力 F 對橡皮條產(chǎn)生的效果與力 F1與 F2共同作用產(chǎn)生的效果相同， 物理學(xué)中把力 F 叫做 F1與 F2的合力合力 F 與力 F 1、F 2有怎樣的關(guān)系呢？由圖（ 3）發(fā)現(xiàn)，力 F 在以 F1、F2 為鄰邊的平行 四邊形的對角線上，并且大小等于平行四邊形對角線的長數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看， F 可以認(rèn)為是 F1與 F2 的和，即位移、力的合成 看作向量的加法討論結(jié)果： 1. 向量加法的定義：如下圖，已知非零向量a、 b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A，作 AB =a， BC = b，則向量 AC 叫做 a 與 b 的和，記作 a+ b，即 a+ b=

6、 AB + BC = AC 求 兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2. 向量加法的法則：（1）向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則 運(yùn)用這一法則時要特別 注意“首尾相接”， 即第二個向量要以第一個向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)， 則由第一個向量的起點(diǎn)指 向第二個向量的終點(diǎn)的向量即為和向量位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型（2）向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點(diǎn) O為起點(diǎn)的兩個已知向量 a、b為鄰邊作平行四邊形， 則以 O為起點(diǎn)的對角線 OC 就是 a與 b 的和我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行 四邊形法則力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則

7、的物理模型對于零向量與任一向量 a ，我們規(guī)定 a+0= 0+ a=a提出問題1. 兩共線向量求和時，用三角形法則較為合適當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個向量時，它們的 加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？2. 思考 |a+b|， |a|，|b|存在著怎樣的關(guān)系？3. 數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算類似地，向量的加法是 否也有運(yùn)算律呢？師生互動：觀察實(shí)際例子，教師啟發(fā)學(xué)生思考，并適時點(diǎn)撥，誘導(dǎo)，探究向量的加法在 特殊情況下的運(yùn)算，共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律， 即對任意 a，bR，有 a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）任意向量 a， b 的加法是否也滿足

8、交換律和結(jié)合律？引導(dǎo)學(xué)生畫圖進(jìn)行探索討論結(jié)果： 1. 兩個數(shù)相加其結(jié)果是一個數(shù)，對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點(diǎn); 在數(shù)軸上的兩個向量相加，它們的和仍是一個向量，對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段2. 當(dāng) a，b 不共線時， |a+b|<|a|+|b|（即三角形兩邊之和大于第三邊） ;當(dāng) a， b 共線且方向相同時， |a+b|=|a|+|b|;當(dāng) a，b 共線且方向相反時， |a+ b|=|a|- |b|（或 |b|- |a|）其中當(dāng)向量 a 的長度大于向量 b 的長度時， |a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量 a的長度小于向量 b的長度時， |a+b|=|b|- |a|一般地，我們有 |a+ b| a|+

9、|b|3. 如下左圖，作 AB =a， AD =b，以 AB、AD 為鄰邊作 ABCD，則 BC =b， DC =a因?yàn)?AC = AB + AD = a+ b， AC = AD + DC =b+a，所以 a+ b=b+a如上右圖，因?yàn)?AD= AC +CD =（ AB+ BC ）+CD =（a+b）+c，AD = AB + BD = AB +（ BC + CD ） = a+（b+ c），所以（ a+b） +c=a+（ b+c）綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律提出問題 如何理解向量的減法？ 向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則，那么， 向量的減法是否也有類似的法則？師生互動： 數(shù)的

10、減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算， 數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加 上這個數(shù)的相反數(shù)， 因此向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算 可類比數(shù)的減 法運(yùn)算，我們定義向量的減法運(yùn)算，也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念，這個概念又該如何定義？引導(dǎo)學(xué)生思考，相反向量有哪些性質(zhì)？由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a 和-a 互為相反向量于是-（- a）=a我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+（- a）=（- a） +a=0所以，如果 a、b 是互為相反的向量，那么a=-b，b=- a，a+b=0A. 平行四邊形法則如上圖，設(shè)向量 AB =b， AC =a，則 AD =-

11、 b，由向量減法的定義，知 AE =a+（ - b） =a- b又 b+ BC =a，所以 BC =a- b由此，我們得到 a- b的作圖方法B. 三角形法則如上圖，已知 a、 b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O，作 OA=a，OB =b，則 BA =a- b，即 a-b 可以表示為從 b 的終點(diǎn)指向 a 的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義討論結(jié)果：向量減法的定義我們定義a- b=a+（- b），即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量規(guī)定：零向量的相反向量是零向量向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則， 這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義 所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例 1

12、 如下左圖，已知向量 a、 b，求作向量 a +b活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生， 讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩O 的依據(jù)個向量的和向量在向量加法的作圖中，學(xué)生體會作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性 在向量作圖時， 一般都需要進(jìn)行向量的平移， 用平行四邊形法 則作圖時應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連解：作法一：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O （上中圖），作 OA =a， AB =b，則 OB =a+b作法二：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O（上右圖），作OA =a，OB =b以O(shè)A、OB為鄰邊作 OACB，連接 OC，則 OC =a+b例 2 長江兩岸之間沒有

13、大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸如下圖所示，一艘船從長江南岸 A 點(diǎn)出發(fā)，以 5 km/h 的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東 2 km/h（ 1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）;（ 2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）活動： 本例結(jié)合一個實(shí)際問題說明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用 這樣的問題在物理中 已有涉及， 這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算， 體會其中應(yīng)解決的問題是向量模的 大小及向量的方向（與某一方向所成角的大?。?引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意，將實(shí)際問題 反映在向量作圖上，從而與初中學(xué)過的解直角三角

14、形建立聯(lián)系解：如上右圖所示， AD 表示船速， AB 表示水速，以 AD 、AB 為鄰邊作 ABCD，則AC 表示船實(shí)際航行的速度（2）在 RtABC中， | AB |=2， |BC |=5，所以|AC |= |AB |2 |BC |222 5229 5.429因?yàn)?tan CAB=，由計(jì)算器得 CAB=68°答：船實(shí)際航行速度的大小約為 54 km/h，方向與水的流速間的夾角為 68° 點(diǎn)評：用向量法解決物理問題的步驟為： 先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算， 最后 回扣物理問題，解決問題例 3 如圖（ 1）已知向量 a、 b、 c、 d，求作向量 a- b ， c- d

15、 活動：教師讓學(xué)生親自動手操作，引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ) 點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個同起點(diǎn)的向量作法：如圖（ 2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O ，作 OA=a，OB =b，OC = c，OD =d則 BA=a- b，DC =c- d例 4 如圖， ABCD 中，a、b 表示向量 AC 、DB 嗎？活動：本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基 礎(chǔ)要多注意這方面的訓(xùn)練， 特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān) 系解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC =a+b，同樣，由向量的減法，知 DB= AB - AD

16、= a- b四、小結(jié)1先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：向量的加法定義，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，向量加法滿足交換律和結(jié)合律，幾何作圖，向量加法的實(shí)際應(yīng)用2教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合， 分類討論，特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法課堂作業(yè)1下列等式中，正確的個數(shù)是（） a+ b=b+a a- b=b 0- a=- a -（-a）=a A 5B 4C3a+（ - a）=02如圖， D、E、F 分別是ABC的邊 則 AF - DB 等于（）A FDB FCC FE3下列式子中不能化簡為 AD 的是（A（ AB+CD ）+BCC MB

17、AD BMD2B（ AD+ MB ） +（ BC +CM ）DOC -OA+CD4已知 A、B、C三點(diǎn)不共線， O是ABC內(nèi)一點(diǎn)， 若OA+OB+OC =0，則O 是ABC 的（ ）C內(nèi)心D外心A 重心B垂心參考答案：1C 2D 3C 4A.第 2 課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí) 數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律2理解兩個向量共線的等價(jià)條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行二、過程與方法充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、 猜想、 推證等活動， 和解決問題先由學(xué)生探究向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量（特別地 向量 a

18、 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或縮小，當(dāng) 與 a 方向相反； 展三、情感、 通過探究， 積極進(jìn)取精神通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)>0 時， 向量共線定理用來判斷兩個向量是否共線引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖幫助理解題意 0·a=0），它的幾何意義是把 a 與 a 方向相同，當(dāng) <0 時， a 然后對所探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)用拓態(tài)度與價(jià)值觀體會類比遷移的思想方法， 滲透研究新問題的思想和方法， 培養(yǎng)創(chuàng)新能力和教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量積的意義、兩個向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)：對向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用 教學(xué)關(guān)鍵：兩個向量共線的等價(jià)條件的探究過程的引

19、導(dǎo) . 教學(xué)突破方法：從向量共線的定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，得出結(jié)果 教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：問題式教學(xué)，啟發(fā)誘導(dǎo) 學(xué)習(xí)方法：合作探討，在向量加減法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī) .學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī) .教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課前一節(jié)課， 我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算， 這一節(jié)， 我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相 同向量和的簡便計(jì)算及推廣在代數(shù)運(yùn)算中，a+a+a=3a，故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法，那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡便計(jì)算二、主題探究，合作交流提出問題： 探究：已知非零向量 a，試一試作出 a+a+a 和（ -a）+（-a）+（-

20、a） 你能說明它們的幾何意義嗎？ 引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？怎樣理解兩 向量平行？與兩直線平行有什么異同？師生互動： 引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果， 對于運(yùn)算律的驗(yàn)證， 點(diǎn)撥學(xué)生通過作圖來進(jìn)行 通過學(xué)生的動手作圖， 讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義 教師要引 導(dǎo)學(xué)生特別注意 0·a=0 ，而不是 0·a=0這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼， 但又處處存在， 稍不注意就會出錯， 所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間 的關(guān)系實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算，比如+a， - a 都無法進(jìn)行向量數(shù)乘運(yùn)算

21、的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形 式：（ +）a=a+a 和 （ a+b） =a+b，數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向 相同判斷兩個向量是否平行（共線） ，實(shí)際上就是看能否找出一個實(shí)數(shù)，使得這個實(shí)數(shù)乘 以其中一個向量等于另一個向量 一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件， 它是證明幾何中的三 點(diǎn)共線和兩直線平行等問題的有效手段對問題，學(xué)生通過作圖可發(fā)現(xiàn)， OC =OA+ AB+BC =a+a+a類似數(shù)的乘法，可把 a+a+a記作 3a，即 OC =3a顯然 3a的方向與 a 的方向相同， 3a的長度是 a的長度的 3倍， 即|3a|=3|a|同樣，由下圖可

22、知，PN =PQ QM MN =（-a）+（- a）+（- a），即（-a）+（-a）+（-a）=3（-a）顯然 3（ - a）的方向與 a 的方向相反， 3（- a）的長 度是 a 的長度的 3 倍，這樣， 3（- a）=-3a對問題，上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積我們規(guī)定實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：（ 1） |a|=|a|；（ 2） 當(dāng) >0 時，a 的方向與 a 的方向相同； 當(dāng) <0 時，a 的方向與 a 的方向相反 由 （1）可知， =0 時， a=0根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律實(shí)數(shù)與向

23、量的積的運(yùn)算律：設(shè) 、 為實(shí)數(shù)，那么（ 1） （ a） =（） a；（ 2）（+） a=a+a；（ 3） （ a+b） =a+b特別地，我們有（ - ） a=- （ a）=（ - a），（ a- b）=a- b對問題， 向量共線的等價(jià)條件是： 如果 a（a0）與 b 共線，那么有且只有一個實(shí)數(shù) ， 使 b=a推證過程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成，推證過程如下：對于向量a（a0）、 b，如果有一個實(shí)數(shù) ，使 b= a，那么由向量數(shù)乘的定義，知 a 與 b 共線反過來，已知向量 a 與 b 共線， a0，且向量 b的長度是向量 a的長度的 倍，即 |b|=|a|，那么當(dāng) a與b同方向時， 有 b= a；

24、當(dāng) a 與 b 反方向時，有 b=- a關(guān)于向量共線的條件，教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究，讓學(xué)生思考，若去掉a0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過 0 與任意向量的平行來加深對向量共線的等價(jià)條 件的認(rèn)識在判斷兩個非零向量是否共線時， 只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關(guān)在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況： （1）有一個為零向量； （2）兩個都為零向量； （3）同向且模相等； （4）同向且模不等； （5） 反向且模相等； （ 6）反向且模不等討論結(jié)果： 數(shù)與向量的積仍是一個向量， 向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確 定，大小由 |

25、83;|a|確定它的幾何意義是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或縮小 向量的平行與直線的平行是不同的， 直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共 點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例 1 計(jì)算：（1）（- 3）×4a；（2） 3（a+b）- 2（ a- b） - a；（3）（2a+3b- c）- （3a- 2b+c）活動： 本例是數(shù)乘運(yùn)算的簡單應(yīng)用， 可讓學(xué)生自己完成， 要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn) 算的運(yùn)算律 教學(xué)中， 點(diǎn)撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運(yùn)算， 可以讓他們在代數(shù)運(yùn)算的 同時說出其幾何意義，使學(xué)生

26、明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn)同時向?qū)W生點(diǎn)出，向量的加、減、 數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算 對于任意向量 a、b，以及任意實(shí)數(shù) 、1、2，恒有 （1a±2b） =1a±2b解：（1）原式 =（- 3×4） a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b-a=5b；（ 3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b- 2c點(diǎn)評： 運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算律， 解決向量的數(shù)乘 其運(yùn)算過程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的 “合并同類項(xiàng)”例 2 如圖，已知任意兩個非零向量a、b，試作 OA =a+b，OB =a+2b，OC =a+3b你能判斷 A、B、C 三點(diǎn)之間的位置關(guān)

27、系嗎？為什么？活動： 本例給出了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法， 這是判斷三 點(diǎn)共線常用的方法 教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖， 通過觀察圖形得到 A、B、 C三點(diǎn)共線的猜想， 再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共 線證明三點(diǎn)共線 本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路， 具體過程可由學(xué)生自己 完 成另外， 本題是一個很好的與信息技術(shù)整合的題材，教學(xué)中可以通過計(jì)算機(jī)作圖，進(jìn)行動態(tài)演示，揭示向量 a、b 變化過程中，A、B、 C 三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律解：分別作向量 OA、OB、OC過點(diǎn) A、C作直線 AC（如上圖）觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量 a、 b怎樣變化，點(diǎn) B 始終在直線 AC上，猜想 A、B、C三點(diǎn)共線事實(shí)上，因?yàn)锳B =OB - OA =a+2 b- （ a+b）=b，而 AC =OC -OA =a+3b- （a+b） =2b，于是 AC =2 AB 所以 A、B、C 三點(diǎn)共線點(diǎn)評：關(guān)于三點(diǎn)共線問題， 學(xué)生接觸較多，這里是用向量證明三點(diǎn)共線，方法是必須先 證明兩個向量共線， 并且有公共點(diǎn) 教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反思， 體會向量證法的新穎獨(dú) 特例 3 如圖， ABCD 的兩條對角線相交于點(diǎn) M，且 AB=a， AD =b，你能用 a、b表 示MA、MB、MC 和 MD 嗎？活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì) 另外，用向量表示幾何元素 （點(diǎn)、 線段等） 是用向量方法證