向量難題附加解析

1、2016年02月12日高中數(shù)學組卷一選擇題（共4小題）1（2015天津校級一模）在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數(shù)x，y滿足，設ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，則23取到最大值時，2x+y的值為（）A1B1CD2（2015哈爾濱校級三模）已知O為正三角形ABC內(nèi)一點，且滿足，若OAB的面積與OAC的面積比值為3，則的值為（）AB1C2D33（2014安慶三模）如圖所示，設P為ABC所在平面內(nèi)的一點，并且=+，則ABP與ABC的面積之比等于（）ABCD4（2013重慶）在平面上，|=|=1，=+若|，則|的取值范圍是（）A（0，

2、B（，C（，D（，二填空題（共6小題）5（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則的最小值為6（2012湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=7（2014余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點P在以AB為直徑的圓弧APB上，則的取值范圍是8（2014韶關模擬）已知AD是ABC的中線，若A=120°，則的最小值是9（2010武昌區(qū)模擬）ABC的面積為1，P為ABC內(nèi)一點，且，則BCP的面積為10（2014江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5

3、，=3，=2，則的值是2016年02月12日MISAYA的高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一選擇題（共4小題）1（2015天津校級一模）在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數(shù)x，y滿足，設ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，則23取到最大值時，2x+y的值為（）A1B1CD【考點】平面向量的基本定理及其意義；三角形的面積公式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題；不等式的解法及應用；平面向量及應用【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得P到BC的距離等于ABC的BC邊上高的一半，從而得到S1=S=S2+S3由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當23

4、取最大值時點P在EF的中點再由向量的加法的四邊形法則，算出，結(jié)合已知條件的等式，可求出x、y的值，從而算出2x+y的值【解答】解：由題意，可得EF是ABC的中位線，P到BC的距離等于ABC的BC邊上高的一半，可得S1=S=S2+S3由此可得23=當且僅當S2=S3時，即P為EF的中點時，等號成立+=由向量的加法的四邊形法則可得，兩式相加，得由已知得根據(jù)平面向量基本定理，得x=y=，從而得到2x+y=綜上所述，可得當23取到最大值時，2x+y的值為故選：D【點評】本題給出三角形中的向量等式，在已知面積比2、3的積達到最大值的情況下求參數(shù)x、y的值，著重考查了運用基本不等式求最值、平面向量的加法法

5、則和平面向量基本定理等知識，屬于中檔題2（2015哈爾濱校級三模）已知O為正三角形ABC內(nèi)一點，且滿足，若OAB的面積與OAC的面積比值為3，則的值為（）AB1C2D3【考點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】如圖D，E分別是對應邊的中點，對所給的向量等式進行變形，根據(jù)變化后的條件得到；由于正三角形ABC，結(jié)合題目中的面積關系得到=，由可得O分DE所成的比，從而得出的值【解答】解：，變?yōu)槿鐖D，D，E分別是對應邊的中點，由平行四邊形法則知故在正三角形ABC中，=，且三角形AOC與三角形ADC同底邊AC，故O點到底邊AC的距離等于D到底邊AC

6、的距離的三分之一，故=，=由得=故選A【點評】本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎題3（2014安慶三模）如圖所示，設P為ABC所在平面內(nèi)的一點，并且=+，則ABP與ABC的面積之比等于（）ABCD【考點】向量在幾何中的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，及三角形面積的性質(zhì)，由ABP與ABC為同底不等高的三角形，故高之比即為兩個三角面積之間，連接CP并延長后，我們易得到CP與CD長度的關系，進行得到ABP的面積與ABC面積之比【解答】解：連接CP并延長交AB于

7、D，P、C、D三點共線，=+，且+=1設 =k，結(jié)合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得=，k=3且=，=+，可得=，ABP的面積與ABC有相同的底邊AB高的比等于|與|之比ABP的面積與ABC面積之比為，故選：C【點評】三角形面積性質(zhì)：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比4（2013重慶）在平面上，|=|=1，=+若|，則|的取值范圍是（）A（0，B（，C（，D（，【考點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題；平面向量及應用【分析】建立坐標系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量

8、模的計算公式，即可得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標為（x，y），則點P的坐標為（a，b），由=1，得，則|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故選D【點評】本題考查向量知識的運用，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查學生的計算能力，屬于難題二填空題（共6小題）5（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則的最小值為5【考點】向量的模菁優(yōu)網(wǎng)版權所有

9、【專題】平面向量及應用【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設P（0，b）（0ba），求出，根據(jù)向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負，即可求得其最小值【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）設P（0，b）（0ba）則=（2，b），=（1，ab），=（5，3a4b）=5故答案為5【點評】此題是個基礎題考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力6（2012湖南）

10、如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=18【考點】平面向量數(shù)量積的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】設AC與BD交于O，則AC=2AO，在RtAPO中，由三角函數(shù)可得AO與AP的關系，代入向量的數(shù)量積=|cosPAO可求【解答】解：設AC與BD交于點O，則AC=2AOAPBD，AP=3，在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|×cosOAP=2|=6，由向量的數(shù)量積的定義可知，=|cosPAO=3×6=18故答案為：18【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積 的定義的應用，解題的關鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AC×c

11、osOAP=2×AOcosOAP=2AP7（2014余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點P在以AB為直徑的圓弧APB上，則的取值范圍是0，16【考點】平面向量數(shù)量積的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；綜合題；壓軸題【分析】以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖坐標系，可得C（2，4），D（2，4），P（2cos，2sin），得到、坐標，用向量數(shù)量積的坐標公式化簡，得=1616sin，再結(jié)合0，不難得到的取值范圍【解答】解：以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖坐標系則圓弧APB方程為x2+y2=4，（y0），C（2，4），D（2，4）因此設P（2

12、cos，2sin），0，=（22cos，42sin），=（22cos，42sin），由此可得=（22cos）（22cos）+（42sin）（42sin）=4cos24+1616sin+4sin2=1616sin化簡得=1616sin0，sin0，1當=0或時，取最大值為16；當=時，取最小值為0由此可得的取值范圍是0，16故答案為：0，16【點評】本題給出正方形內(nèi)半圓上一個動點，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和圓的參數(shù)方程等知識，屬于中檔題8（2014韶關模擬）已知AD是ABC的中線，若A=120°，則的最小值是1【考點】向量在幾何中的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【

13、專題】壓軸題；平面向量及應用【分析】利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值【解答】解：=|cosA，A=120°，（7分）|=4（8分）=（ +），|2=（|2+|2+2 ）=（|2+|24）（2|4）=1（10分）min=1（12分）故答案為：1【點評】本題考查向量的數(shù)量積，基本不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題9（2010武昌區(qū)模擬）ABC的面積為1，P為ABC內(nèi)一點，且，則BCP的面積為【考點】向量在幾何中的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】在ABC中，作出向量，由向量的幾何意義，三角形的面積公式，且ABC的面積為1，可以求出BCP的面積【解答】解：如圖，在ABC中，作出，平移，其中，ABC的面積為：S=sinA=1，而ADE，CEP，平行四邊形BDEP的面積和為：=|sinA+=，所以BCP的面積為：1=本題也可以通過左移點P：個單位，下移個單位，到點A知BCP邊BC上的高h2是ABC邊BC上的高h1的，即BCP的面積是ABC的故答案為：【點評】本題通過作圖得出向量的關系，從而求出三角形的面積10（2014江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=