2021版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(二)學(xué)案蘇教版選修2-1

1、2. 2.2 橢圓的幾何性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.穩(wěn)固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的三種位置關(guān)系，特別是直線 與橢圓相交的有關(guān)問題.自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(xo, yo)與橢圓2x2 4a2y孑=1(a>b>0)的位置關(guān)系:2 2點(diǎn)p在橢圓上? #+ b2= i；2 2xo yo點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部？孑+孑<1;點(diǎn)P在橢圓外部？2 2xo yoa+x>jy = kx+ m,知識點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系2 2直線y= kx+ m與橢圓篤+ y2= 1(a>b>o)的位置關(guān)系判斷方法：聯(lián)立a b消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程宀護(hù)¥方

2、 位置大糸解的個(gè)數(shù)A的取值相交兩解A >o相切二解A 二 o相離無解A «知識點(diǎn)三弦長公式2 2 2 2xyyx設(shè)直線方程為 y= kx+豐o)，橢圓方程為-+ 2= 1(a>b>o)或2+ 2= 1(a>b>o)，直線與abab橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(xi, yi), B(X2, y2),那么 AB .； X1 X2 2+ y1 y2 2,- 2 2AB= ； X1 X2 +kx1 kx2=寸 1 + k2 f X1 + X2 2 4X1X2,初-b 2+ y1 y2 22y或x后其中，Xi + X2, X1X2或yi + y2, yiy2的值，可通過由直

3、線方程與橢圓方程聯(lián)立消去得到關(guān)于x或y的一元二次方程求得.戸題型探究蛍點(diǎn)突磁題型一直線與橢圓的位置關(guān)系2 2例1在橢圓X + y = 1上求一點(diǎn)P,使它到直線l : 3x 2y 16= 0的距離最短，并求出最47短距離.3解設(shè)與橢圓相切并與I平行的直線方程為y = qx+ m2 2 代入務(wù)齊1,2 2并整理得 4x + 3mx+ m 7= 0,2 2A = 9m 16( m 7) = 02? m= 16? n=± 4,33故兩切線方程為 y= §x+ 4和y = 4,顯然y= 3x 4距I最近，=|16 8|8_ = 8作d=齊一2 2 =13= 13 ，37切點(diǎn)為p 2，

4、 4 .反思與感悟 此題將求最小距離問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題.解此類問題的常規(guī)解法是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y的一元二次方程，那么1直線與橢圓相交？ A >0; 直線與橢圓相切？ A = 0; 直線與橢圓相離？ A <0.所以判定直線 與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最根本的工具.跟蹤訓(xùn)練1橢圓x2 + 8y2= 8，在橢圓上求一點(diǎn) P,使P到直線l : x y+ 4= 0的距離 最短，并求出最短距離.解 設(shè)與直線x y+ 4= 0平行且與橢圓相切的直線為xy + a= 0,2介2介x + 8y = 8,22聯(lián)立方程得9y 2ay+ a 8= 0,

5、x y + a= 0,2 2A = 4a 36( a 8) = 0,解得 a= 3 或 a= 3,與直線l距離較近的切線方程為x- y+ 3 = 0,最小距離為d=|4 3| =2一=2由 x2+ 8y2= 8,x y+ 3= 0,8x= 31y= 3，8 i 即 P(- 3，3)-題型二直線與橢圓的相交弦問題2 2l的方程.例2點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓36 + 9 = 1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程為y 2 = k(x 4),解由題意知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線而橢圓的方程可以化為x2+ 4y2 36= 0.將直線方程代入橢圓方程有2 2 2(4 k + 1) x 8k(4k

6、2) x+ 4(4 k 2) 36= 0.所以 x1 + x2 =4：2+2= 8，所以 k= 1所以直線l的方程為y 2= §(x 4)，即x + 2y 8 = 0.反思與感悟研究直線與橢圓相交的關(guān)系問題的通法是通過解直線與橢圓構(gòu)成的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系或中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.涉及弦的中點(diǎn)，還可使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練2在橢圓x2+ 4y2= 16中，求通過點(diǎn)M2,1)且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.解 方法一 如果弦所在的直線的斜率不存在，即直線垂直于 x軸，那么點(diǎn)M2,1)顯然不可能為這條弦的中點(diǎn).故可設(shè)弦所在的

7、直線方程為y = k(x 2) + 1,代入橢圓方程得 x2 + 4 k(x 2) + 12= 16,2 2 2 2即得(1 + 4k )x (16 k 8k)x + 16k 16k 12= 0,直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故A = 16(12 k2+ 4k + 3)>0 ,216k 8k e1卄口又 X1 + X2 = 1 + 4k2 = 4,解得 k= ，滿足 A >0.直線方程為x + 2y 4 = 0.方法二設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Rx1, y1), Qx2, y2),那么 X1 + X2 = 4, y1+ y2= 2, P(X1, y , Qx2, y2)在橢圓上，故有 x2 +

8、4y1= 16, x2 + 4y2= 16 ,兩式相減得(Xi + X2)( Xi X2)+ 4(yi + y2)( yi-y2)= 0,/點(diǎn)M(2,1)是PQ的中點(diǎn)，故 xizX2,yi y21兩邊同除(xi X2)得，(xi+ X2) + 4(yi+ y2)= 0, 即 卩 4 + 8k= 0，二 k = 3.i弦所在的直線方程為y i = 2( x 2),即 x+ 2y 4= 0.題型三橢圓中的最值(或范圍)問題例3橢圓4x2+ y2 = i及直線y= x + m(1) 當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.,2 2 “4x + y =

9、i,22解(i)由得 5x + 2m灶 m-i = 0,y = x+ m因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),2 2所以 a = 4m 20( m- i) >0,解得一(2)設(shè)直線與橢圓交于 A(xi, yi), B(X2, y2)兩點(diǎn),2 2由(i)知：5x + 2m灶 m i = 0,2mi 2所以 xi + X2 =- 5, xiX2= 5(m i),所以 AB ； Xi - X2 2+ yi y2 2=_:2 Xi X2= .；2Xi + X2 4Xi X2=5ji0 8mi.5 Ji所以當(dāng)m= 0時(shí)，AB最大，即被橢圓截得的弦最長，此時(shí)直線方程為y= x.反思與感悟 解析幾何中的綜合性問題很

10、多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等 式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等解決這類問題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、 函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比擬多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或 函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件.跟蹤訓(xùn)練3如圖，點(diǎn)A是橢圓軸下方的端點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為上，且 BP/ x 軸，AB- AP= 9.(i)假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,i)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 , t)，求t的取值范圍.解直線AB的斜率為1,./ BAP= 45即厶BAP是等腰直角三角形，| AB| =護(hù)| AP|./ aB- ap= 9, |AB|

11、 Apcos 45 ° = /2| Ap2cos 45 ° = 9,'I AP = 3.(1) P(0,1) , AlOfp = 1 , |OA = 2,即 b= 2，且 B(3,1).912 B在橢圓上，孑+ 4= 1，得a = 12,2 2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x + y = 1.124 由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 , t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0 , t 3), t 3 = b, 即卩 b= 3 t.顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3 , t)，將它代入橢圓方程得:t22= 1，解得 a2=-3 t3 2t2.2/ a >b >0,33 t3 2t22->

12、;(3 t) >0.332t3 2t >，即 3 2t 1= 3 2t >0,3所求t的取值范圍是o<t<2戸當(dāng)堂檢測自查自糾2 2x V1.直線V= x + 2與橢圓一 +2= 1有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么 m的取值范圍是 m 3答案m n>1 且m3V = x + 2,解析 由 x2 V? (3 + n) x2 + 4mx+ m= 0,_+£=1i /m 3 A >0,二 m>1 或 rK0.又m>0 且 m3,. m>1 且 m3.2.橢圓的方程為2x2+ 3y2 = mm>0)，那么此橢圓的離心率為 答案32 2解析將

13、方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 x+-= 1,m m23因?yàn)閙>0,所以a2=羅b2=爭3m6,3橢圓+魯=1的左，右焦點(diǎn)分別為2516Fi, F2,弦AB過 冃，假設(shè)厶ABF的內(nèi)切圓周長為n,A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xi, yi、X2,y2，那么|屮一y2|的值為5答案3解析易知 ABF的內(nèi)切圓的半徑1r = 2,根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合ABF的特點(diǎn)，可得ABF的面積S= 2lr = 2x2cx|yi y?|，其中 IABF的周長，且l = 4a,代入數(shù)據(jù)解得I yi 2 24.p為橢圓上一點(diǎn)，且PF PF2x yF1( c, 0) , F2( c, 0)為橢圓-72+ 2= 1( a>b>0)

14、的兩個(gè)焦點(diǎn),a b=C2,那么此橢圓離心率的取值范圍是解析設(shè)Rx, y,那么PF Pfc= ( c x, y) ( c x, y) = x2 c2 + y2 = c2,b2將y2 = b2 -2X2代入式解得a小2|22只22222c b a3c a ax =2=2,cc2 2 2 2 2 又 x 0 , a ,.2cw a <3 c ,5.R、冃是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 MF MF= 0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，那么橢圓離心率的 取值范圍是.答案解析設(shè) Mx, y) , MF mF = 0,點(diǎn)M的軌跡方程是x2 + y2= C2,點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的圓，其中F1F2為圓的直徑.由題意知，橢圓上的點(diǎn) P總在圓外，所以 OP>c恒成立