平面及其方程32420PPT課件

1、zyxo0Mn一、平面的點法式方一、平面的點法式方程程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共17頁kji例例1.1.求過三點求過三點,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程

2、. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共17頁此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說明說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共17頁特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標軸的交點分別當(dāng)平面與三坐標軸的交點分別為為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabc

3、ax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共17頁二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共17頁特殊情形特殊

4、情形 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共17頁例例2. 求通過求通過 x

5、 軸和點軸和點( 4, 3, 1) 的平的平面方程面方程.例例3. .用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己練習(xí)) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共17頁三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 212

6、1cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共17頁2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共17頁因此有例例4. 一平面通過兩點一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0)

7、1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共17頁外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè)設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)

8、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共17頁xyzo0M例例6.解解: 設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共17頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyx

9、xzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共17頁0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(1111CBAn 第14頁/共17頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)P330 題4 , 5, 8第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)P330 2 , 6 , 7 , 9第15頁/共17頁)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx備用題備用題求過點 且垂直于