結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算(清華)

1、第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)第十五章第十五章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)15-1 15-1 兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述15-2 15-2 兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例15-3 15-3 有限自由度體系的穩(wěn)定有限自由度體系的穩(wěn)定 靜力法和能量法靜力法和能量法第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)高強(qiáng)度高強(qiáng)度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于輕型輕型、薄壁化薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計(jì)算日益重要。更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計(jì)算日益重要

2、。失穩(wěn)失穩(wěn)大到整個(gè)結(jié)構(gòu)，小到局部構(gòu)件！大到整個(gè)結(jié)構(gòu)，小到局部構(gòu)件！u 鋼筋的失穩(wěn)（縱筋與箍筋的綁扎箍筋的間距）；鋼筋的失穩(wěn)（縱筋與箍筋的綁扎箍筋的間距）；u 柱模板（沿高度方向加箍）柱模板（沿高度方向加箍）; ;u 桁架中的受壓桿件（上弦桿）；桁架中的受壓桿件（上弦桿）；u 高層結(jié)構(gòu)中受壓柱的失穩(wěn)（軸壓比）。高層結(jié)構(gòu)中受壓柱的失穩(wěn)（軸壓比）。共性：共性：受壓；受壓； 幾何特征問(wèn)題。（強(qiáng)度與長(zhǎng)細(xì)比的關(guān)系）幾何特征問(wèn)題。（強(qiáng)度與長(zhǎng)細(xì)比的關(guān)系）第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)一、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足三方面的要求一、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足三方面的要求 1、強(qiáng)度、強(qiáng)度 2、剛度、

3、剛度 3、穩(wěn)定性。、穩(wěn)定性。二、基本概念二、基本概念 1、失穩(wěn)：當(dāng)荷載達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，體系由穩(wěn)定、失穩(wěn)：當(dāng)荷載達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，體系由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，而喪失原始平衡狀平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，而喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱態(tài)的穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱“失穩(wěn)失穩(wěn)” 2、臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)度到不穩(wěn)定狀、臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)度到不穩(wěn)定狀態(tài)的中間狀態(tài)（中性平衡狀態(tài)）。態(tài)的中間狀態(tài)（中性平衡狀態(tài)）。 3、臨界荷載：臨界狀態(tài)時(shí)相應(yīng)的荷載。、臨界荷載：臨界狀態(tài)時(shí)相應(yīng)的荷載。 第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 強(qiáng)度問(wèn)題與穩(wěn)定問(wèn)題強(qiáng)度問(wèn)題與穩(wěn)定問(wèn)題 我國(guó)我國(guó)

4、規(guī)范規(guī)范規(guī)定：在進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮規(guī)定：在進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮兩種兩種極限狀態(tài)極限狀態(tài)。 1）承載能力極限狀態(tài)承載能力極限狀態(tài)（Ultimate limit state） 指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到最大承載力最大承載力或達(dá)到不適合繼續(xù)承載的或達(dá)到不適合繼續(xù)承載的變形變形的極限狀態(tài)。主要包括結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的的極限狀態(tài)。主要包括結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的強(qiáng)度強(qiáng)度（Strength）和）和穩(wěn)定穩(wěn)定（Stability）的計(jì)算。）的計(jì)算。 2）正常使用極限狀態(tài)正常使用極限狀態(tài)（Serviceability limit state） 指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到正常使用或耐久性的某項(xiàng)指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到正常使用或耐久

5、性的某項(xiàng)規(guī)定限值規(guī)定限值，如，如 0li2 軸心受壓桿的長(zhǎng)細(xì)比：軸心受壓桿的長(zhǎng)細(xì)比：2 梁的撓度：梁的撓度： ff2 梁的裂縫寬度：梁的裂縫寬度： 第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 1）強(qiáng)度問(wèn)題）強(qiáng)度問(wèn)題 指由指由作用作用（Action）對(duì)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件產(chǎn)生的）對(duì)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件產(chǎn)生的截面截面最大內(nèi)力最大內(nèi)力（或截面上某點(diǎn)的最大應(yīng)力）是否超過(guò)截面的承載能力（或（或截面上某點(diǎn)的最大應(yīng)力）是否超過(guò)截面的承載能力（或材料強(qiáng)度），因此，材料強(qiáng)度），因此，強(qiáng)度問(wèn)題是應(yīng)力問(wèn)題強(qiáng)度問(wèn)題是應(yīng)力問(wèn)題。 2）穩(wěn)定問(wèn)題）穩(wěn)定問(wèn)題 是要找出是要找出作用作用與結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力內(nèi)部抵抗力之

6、間的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)之間的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)即變形開始急劇增大的狀態(tài)，從而設(shè)法避免進(jìn)入該狀態(tài)，因即變形開始急劇增大的狀態(tài)，從而設(shè)法避免進(jìn)入該狀態(tài)，因此，此，穩(wěn)定問(wèn)題是一種變形問(wèn)題穩(wěn)定問(wèn)題是一種變形問(wèn)題。 說(shuō)明：說(shuō)明：作用作用 直接作用：如：永久荷載、可變荷載，等直接作用：如：永久荷載、可變荷載，等 間接作用：如：地震、基礎(chǔ)沉降、砼收縮、間接作用：如：地震、基礎(chǔ)沉降、砼收縮、 溫度變化，等溫度變化，等第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 一階分析一階分析（FOAFirst Order Analysis） 以以未變形未變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，

7、不考慮不考慮變形對(duì)作用效變形對(duì)作用效應(yīng)的影響。應(yīng)力問(wèn)題通常采用一階分析，也稱應(yīng)的影響。應(yīng)力問(wèn)題通常采用一階分析，也稱線性分析線性分析。 二階分析二階分析（SOASecond Order Analysis） 針對(duì)針對(duì)已變形已變形的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，的結(jié)構(gòu)變形分析它的平衡，考慮考慮變形對(duì)作用效變形對(duì)作用效應(yīng)的影響。穩(wěn)定問(wèn)題則采用應(yīng)的影響。穩(wěn)定問(wèn)題則采用二階分析二階分析，也稱，也稱幾何非線性分析幾何非線性分析。 1）穩(wěn)定問(wèn)題采用）穩(wěn)定問(wèn)題采用二階分析二階分析小變形，可用一階分析計(jì)算。小變形，可用一階分析計(jì)算。 疊加原理適用條件：疊加原理適用條件：材料符合虎克定律：材料符合虎克定律：E 強(qiáng)度問(wèn)題強(qiáng)

8、度問(wèn)題（應(yīng)力）（應(yīng)力） 穩(wěn)定問(wèn)題穩(wěn)定問(wèn)題（變形）（變形） 2）不能不能應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理 3）穩(wěn)定問(wèn)題）穩(wěn)定問(wèn)題不必區(qū)分不必區(qū)分靜定和超靜定結(jié)構(gòu)靜定和超靜定結(jié)構(gòu)第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)15-1 15-1 兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述平衡狀態(tài)從穩(wěn)定性角度考察從穩(wěn)定性角度考察穩(wěn)定平衡狀態(tài)：干擾消失后，結(jié)構(gòu)能夠回到原來(lái)的平衡位置。干擾消失后，結(jié)構(gòu)能夠回到原來(lái)的平衡位置。不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來(lái)的位置。結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來(lái)的位置。中性平衡狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過(guò)渡的中間狀態(tài)由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過(guò)渡的中間狀態(tài)假設(shè)結(jié)構(gòu)

9、原來(lái)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，后來(lái)由于受到輕微干擾而稍微偏離其原來(lái)位置分析方法分析方法大撓度理論。大撓度理論。小撓度理論。小撓度理論。靜力法靜力法能量法能量法第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)剛性小球平剛性小球平衡狀態(tài)衡狀態(tài)(1)穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)(2)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)(3)隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)根據(jù)受力狀態(tài)根據(jù)受力狀態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題分類穩(wěn)定問(wèn)題分類1. 完善體系：完善體系：理想中心受壓桿，無(wú)初曲率或彎曲變形理想中心受壓桿，無(wú)初曲率或彎曲變形第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定

10、計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)分分支支點(diǎn)點(diǎn)失失穩(wěn)穩(wěn)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)2. 非完善體系非完善體系 受壓桿受壓桿有初曲率有初曲率或受偏心或受偏心荷載，為荷載，為壓彎聯(lián)合壓彎聯(lián)合受力狀態(tài)受力狀態(tài)第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒(méi)有變化失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒(méi)有變化第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)FPcr cr突突跳跳失失穩(wěn)穩(wěn)FPcr cr由由受受壓壓變變成成受受拉，拉，系系統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)

11、產(chǎn)生生翻翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)C3 3、失穩(wěn)、失穩(wěn): :隨著荷載的逐漸增大隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡 轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡.這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性.分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn)：（第一類失穩(wěn)）（第一類失穩(wěn)）完善體系完善體系（或稱理想體系）（或稱理想體系）直桿（無(wú)初曲率），直桿（無(wú)初曲率），中心受壓（無(wú)初偏心）中心受壓（無(wú)初偏心）。Pl/2l/2POP1Pcr=22lEI1Pcr(穩(wěn)定穩(wěn)定)(不穩(wěn)定不穩(wěn)定)(大撓度理論大撓度理論)(小撓度理論小撓度理論)DDP2原始平衡狀態(tài)是不原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。存在兩種穩(wěn)定的。存在兩種不同

12、形式的平衡狀不同形式的平衡狀態(tài)態(tài)(直線、彎曲）。直線、彎曲）。分支點(diǎn)分支點(diǎn)B將原始平衡路徑將原始平衡路徑 分為兩段。在分支點(diǎn)分為兩段。在分支點(diǎn)B出現(xiàn)出現(xiàn) 平衡的二重性。原始平衡由平衡的二重性。原始平衡由 穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。臨界荷載、臨界狀態(tài)臨界荷載、臨界狀態(tài)2 Pcr由于荷載自由于荷載自P Pcrcr至壓潰歷程極短，至壓潰歷程極短，故故P Pcrcr就成了失穩(wěn)的標(biāo)志。而大就成了失穩(wěn)的標(biāo)志。而大撓度理論和小撓度理論求出的撓度理論和小撓度理論求出的臨界荷載十分貼近，可采用簡(jiǎn)臨界荷載十分貼近，可采用簡(jiǎn)單的小撓度理論求單的小撓度理論求P Pcrcr。第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)

13、構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) Pcr Pcrqcr原始平衡：軸向受壓原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合新平衡形式：壓彎組合 Pcr原始平衡：軸向受壓原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn)新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn) 結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)質(zhì)的改變。即原來(lái)的平衡形式成為不穩(wěn)的改變。即原來(lái)的平衡形式成為不穩(wěn)定而可能出現(xiàn)新的與原來(lái)平衡形式有定而可能出現(xiàn)新的與原來(lái)平衡形式有質(zhì)質(zhì)的區(qū)別的平衡形式，同的區(qū)別的平衡形式，同時(shí)，這種現(xiàn)象帶有突然性時(shí)，這種現(xiàn)象帶有突然性質(zhì)變失穩(wěn)質(zhì)變失穩(wěn)。分支點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：分支點(diǎn)失

14、穩(wěn)的特點(diǎn)：其它結(jié)構(gòu)的分支點(diǎn)失穩(wěn)其它結(jié)構(gòu)的分支點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn)：極值點(diǎn)失穩(wěn)：（第二類失穩(wěn)）（第二類失穩(wěn)）非完善體系：非完善體系：具有初曲率的壓桿具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿承受偏心荷載的壓桿 P PPOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題的區(qū)別：穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題的區(qū)別：強(qiáng)度問(wèn)題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下：強(qiáng)度問(wèn)題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下： max當(dāng)當(dāng) ,小變形小變形，進(jìn)行線性分析（一階分析）。，進(jìn)行線性分析（一階分析）。P當(dāng)當(dāng) ,大變形大變形，進(jìn)行幾何非線性分析（二階分析）。，進(jìn)行幾何非線性分析（二階分析）。P重點(diǎn)是求重點(diǎn)

15、是求 內(nèi)力、內(nèi)力、 應(yīng)力應(yīng)力穩(wěn)定問(wèn)題重點(diǎn)是研究穩(wěn)定問(wèn)題重點(diǎn)是研究荷載荷載與與結(jié)構(gòu)抵抗力結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變之間的平衡；找出變形急劇增長(zhǎng)的臨界點(diǎn)及相應(yīng)的臨界荷載。在形急劇增長(zhǎng)的臨界點(diǎn)及相應(yīng)的臨界荷載。在變形后變形后的幾何位的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。非線性分析，疊加原理不再適用。 極值點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)一開始受極值點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)一開始受壓就處于壓彎狀態(tài)，失穩(wěn)與穩(wěn)定無(wú)明顯壓就處于壓彎狀態(tài)，失穩(wěn)與穩(wěn)定無(wú)明顯的界限，只是當(dāng)接近失穩(wěn)時(shí)，荷載增加的界限，只是當(dāng)接近失穩(wěn)時(shí)，荷載增加很小，

16、而撓度迅速增加。很小，而撓度迅速增加。P-曲線具有曲線具有極值點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)的變形過(guò)大，結(jié)構(gòu)將極值點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)的變形過(guò)大，結(jié)構(gòu)將不能正常使用不能正常使用量變失穩(wěn)量變失穩(wěn)。 第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)一、分支點(diǎn)失穩(wěn)lEIEIP P22lEIPcr-臨界荷載臨界荷載crPP 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡crPP 中性平衡中性平衡crPP 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡qP PP P完善體系完善體系結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生了性質(zhì)上的突變，帶有突結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生了性質(zhì)上的突變，帶有突然性。然性。第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)二、極值點(diǎn)失穩(wěn)偏心受壓偏心受壓P

17、PP P有初曲率有初曲率非完善體系非完善體系雖不出現(xiàn)新的變形形式，但結(jié)構(gòu)原來(lái)雖不出現(xiàn)新的變形形式，但結(jié)構(gòu)原來(lái)的變形將增大或材料的應(yīng)力超過(guò)其許的變形將增大或材料的應(yīng)力超過(guò)其許可值，結(jié)構(gòu)不能正常工作?？芍担Y(jié)構(gòu)不能正常工作。pcrpep o第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)穩(wěn)定自由度穩(wěn)定自由度P PEI1 1個(gè)自由度個(gè)自由度P PP PEI2 2個(gè)自由度個(gè)自由度無(wú)限自由度無(wú)限自由度15-2 15-2 兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例在穩(wěn)定計(jì)算中，一個(gè)體系產(chǎn)生彈性變?cè)诜€(wěn)定計(jì)算中，一個(gè)體系產(chǎn)生彈性變形時(shí)，確定其變形狀態(tài)所需的獨(dú)立幾形時(shí)，確定其變形狀態(tài)所需的獨(dú)

18、立幾何參數(shù)的數(shù)目。何參數(shù)的數(shù)目。第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法穩(wěn)定問(wèn)題的分析方法 Plk1 1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)EI=1 1）按大撓度理論分析）按大撓度理論分析 PRA0)cos()sin(lRlPsinklR0)sin)(cos(lklPPOAPcrB(穩(wěn)定穩(wěn)定)(不穩(wěn)定不穩(wěn)定)(大撓度理論大撓度理論)不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡(小撓度理論小撓度理論)隨遇平衡隨遇平衡0: 可能解cosklPklPcr 分支點(diǎn)分支點(diǎn)A A處的臨界平衡也是處的臨界平衡也是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的。的。2 2）按小撓度理論分析）

19、按小撓度理論分析 ( 1)0)(lklP0RlPl0klPcr 小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載, ,但不能反映當(dāng)?shù)荒芊从钞?dāng)較大較大時(shí)平衡路徑時(shí)平衡路徑的下降的下降( (上升上升) )趨勢(shì)。隨遇平衡狀態(tài)是簡(jiǎn)化假設(shè)帶來(lái)趨勢(shì)。隨遇平衡狀態(tài)是簡(jiǎn)化假設(shè)帶來(lái)的假象。的假象。注注: 1）平衡方程是對(duì)）平衡方程是對(duì)變形以后變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。的結(jié)構(gòu)新位置建立的。 2）建立平衡方程時(shí)方程中各項(xiàng)應(yīng)是）建立平衡方程時(shí)方程中各項(xiàng)應(yīng)是同量級(jí)同量級(jí)的，的，主要力項(xiàng)主要力項(xiàng)（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化，（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化，次要力項(xiàng)次要力項(xiàng)

20、（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。3524:sin;1!3!5cos12!4! 泰勒公式 Plk2 2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)EI=1 1）按大撓度理論分析）按大撓度理論分析 P RA0)cos()sin(RlPlsin)sin(klR)sin(sin1)cos(klP0:dPd由知P/klO=0=0.1=0.210.7850.380.6600.421.37 1.47 /231sin)sin(2332)sin1 (klPcrP/klO10.20.6600.10.7850.30.556這個(gè)非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)這個(gè)非完善體

21、系是極值點(diǎn)失穩(wěn). .P Pcrcr 隨隨增大而減小增大而減小. .)sin(sin1)cos(klP2332)sin1 (klpcr PlkEI=2 2）按小撓度理論分析）按小撓度理論分析 PRAsin)sin(klRP/klO設(shè)：設(shè)：1，0（0），體系能），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的；恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的； 如總勢(shì)能如總勢(shì)能Ep=U+ UP =0（=0），體系能），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的；在任意位置平衡，平衡為中性的； 如總勢(shì)能如總勢(shì)能Ep=U+ UP 0（0），體系不），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。 用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀

22、態(tài)的用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價(jià)于勢(shì)能駐值原理：平衡條件，它等價(jià)于勢(shì)能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢(shì)能為駐值，即Ep=0PlABklMA=kPABBEI=0第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)彈性體系的平衡方程彈性體系的平衡方程勢(shì)能駐值原理勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性體系，對(duì)于彈性體系， 在一切微小的可能位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（真在一切微小的可能位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（真實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值，即：為駐值，即：Ep=0 , Ep=應(yīng)變能應(yīng)變能U+外力勢(shì)能外力勢(shì)能UPMA=k22l2sin22l

23、)cos1 (l MA=k彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能22121kMUA荷載勢(shì)能荷載勢(shì)能:221PlPUP221)(PlkUUEPP應(yīng)用勢(shì)能駐值條件應(yīng)用勢(shì)能駐值條件:0)( :, 0PlkddEP得位移有非零解得：位移有非零解得：lkPPlABkBEI=第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 總勢(shì)能是位移總勢(shì)能是位移的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，1 1）Pk/l PUUUP P表表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，使壓桿恢復(fù)到原有示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置平衡位置) )當(dāng)當(dāng)=0=0，EpEp為極小值為極小值0 0。221)(PlkUUEPP

24、對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使Ep為極小值為極小值2）Pk/l ，當(dāng)，當(dāng)0，Ep恒小于零（恒小于零（Ep為負(fù)定）為負(fù)定） (即即UUP表示體系表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置) 。當(dāng)當(dāng)=0，Ep為極大值為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l ，當(dāng)，當(dāng)為任意值時(shí)，為任意值時(shí)，Ep恒等于零恒等于零(即即U=UP) 。 體系處體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l 。PPcrP=Pc

25、r 結(jié)論：結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為最小。）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值Ep=0 ，且位移有非零，且位移有非零 解。即在荷載達(dá)到臨界值前后，總勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。解。即在荷載達(dá)到臨界值前后，總勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr 時(shí)，必有總勢(shì)能時(shí)，必有總勢(shì)能=0。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力

26、學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2 2）能量法）能量法在新的平衡位在新的平衡位 置各桿端的相置各桿端的相 對(duì)水平位移對(duì)水平位移lylyllllll22122122122)(sin2cos)(1222121yyyyl)(212221221yyyylD D點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移彈性支座應(yīng)變能彈性支座應(yīng)變能: :)(22221yykU荷載勢(shì)能荷載勢(shì)能: :)(222121yyyylPPUP體系總勢(shì)能體系總勢(shì)能: :)2(2)2(21222121yPklyPyyPkllUUPEp勢(shì)能駐勢(shì)能駐 值條件值條件: :0)2(21yPklPy0)2(2

27、1PyyPkl0, 021yyEpEp以后的計(jì)算步驟同靜力法以后的計(jì)算步驟同靜力法能量法步驟能量法步驟:給出新的平衡形式給出新的平衡形式;寫出寫出總勢(shì)能表達(dá)式總勢(shì)能表達(dá)式;建立勢(shì)能駐建立勢(shì)能駐值條件值條件;應(yīng)用位移有非零解應(yīng)用位移有非零解的條件的條件,得出特征方程得出特征方程; 解解出特征值出特征值,其中最小的即臨界其中最小的即臨界荷載荷載Pcr。勢(shì)能駐值條件等價(jià)于以位移表示的平衡方程。勢(shì)能駐值條件等價(jià)于以位移表示的平衡方程。體系總勢(shì)能體系總勢(shì)能: :)2(2)2(21222121yPklyPyyPkllUUPEp222221)2()3)()2(22PklPklPklyyPklPylPkl總勢(shì)

28、能總勢(shì)能EpEp是位移是位移y y1 1 、y y2 2的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。1）如果）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。是正定的。5）如果）如果kl/3 Pkl，是負(fù)定的。是負(fù)定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。由正定過(guò)渡到非正定。（或說(shuō)：勢(shì)能達(dá)駐值，位移有非零值）（或說(shuō)：勢(shì)能達(dá)駐值，位移有非零值）非正定P12PllABCk例例2 2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1

29、 1、靜力法、靜力法：兩個(gè)自由度，取兩個(gè)自由度，取1 1 2 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。線如圖。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：2k()21kBC:()0211klPMBAC:0)(221klPMB)2(0)() 1 (0)(2121kPlPlkkPl由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：)3(03022lklkPPkPlPlkkPl展開得：lkPPlkPlkPcr38. 0,62. 238. 0121解得：求失穩(wěn)曲線：求失穩(wěn)曲線：。實(shí)際的失穩(wěn)曲線。）得代入（將162. 1138. 0211lkP論上存在。這種失穩(wěn)曲線只在理

30、）得代入（將162. 0162. 2212lkP262. 12實(shí)際失穩(wěn)曲線262. 02只是理論上存在的失穩(wěn)曲線2 2、能量法：、能量法：外力勢(shì)能：外力勢(shì)能：P12PllABCk2k()21kBCABPllPU22122sin2coslllll)(222121l()22212PlUP應(yīng)變能：應(yīng)變能：)22()(22212121221212221kkkU總勢(shì)能：總勢(shì)能：)()22(22212122212121PlkUUEPP根據(jù)勢(shì)能駐值條件：根據(jù)勢(shì)能駐值條件：0)2(00)(0212211kPlkEkkPlEPP由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：式展開得：) 3(02k

31、PlkkkPl以下計(jì)算同靜力法。以下計(jì)算同靜力法。例例3：用靜力法求圖：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取兩個(gè)自由度，取1 1 2 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。線如圖。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：BC:) 1 (0)3(0032122lEIPllEIPlMBAC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：03630lEIPllEIPllEIPl2122213,63lEIPPlEIPlEIPcr解得：lllEI2EIEI=EI=ABCP12BABCP223lEI16lEI1036)(2121lEIlEIPlMA)

32、2(0)3()6(21lEIPllEIPlP例例3：用能量法求圖示體：用能量法求圖示體 系的臨界荷載。系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取兩個(gè)自由度，取1 1 2 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。線如圖。求變形能和外力勢(shì)能：求變形能和外力勢(shì)能：)2(2362132122211122lEIlEIlEIUlllEI2EIEI=EI=ABCP12BABCP223lEI16lEI1)(2)22(22212221PlllPPUPP222122212221)223()23()(2)2(23PllEIPllEIPllEIUUPcrPlEIPPllEIlEIPPllEI 220222101130

33、)3(060)6(021當(dāng)桿件上無(wú)外荷載作用時(shí)，桿端力的功=變形能。P例例4：用靜力法求圖示體：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。系的臨界荷載。EI=兩個(gè)自由度，取兩個(gè)自由度，取1 1 2 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。線如圖。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：) 1 (0)2(0)2()(:21122232lkPlklkPkPMDCC由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：022lklkPlkPlklkPPlkPlkPcr121,3解得：AlllBCD123()21k()23klll2321211,00DARM整體：12BC)2(0)2(0)2(

34、)(:21211211lklkPlkPkPMBAB1-1P例例4 4：用能量法求圖示體用能量法求圖示體系的臨界荷載。系的臨界荷載。 EIEI=兩個(gè)自由度，取兩個(gè)自由度，取1 1 2 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。線如圖。由位移參數(shù)不全為由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：零得穩(wěn)定方程：AlllBCD123()21k()23klll2321211,12BC求變形能和外力勢(shì)能：求變形能和外力勢(shì)能：()()2122212223221222)(21)(21lkkkU)(22212221lPPUP()()2122212222lkUUP)(22212221lP0)2/5()/4(00)/

35、4()2/5(0212211PlklkPlkPPlk02/5/4/42/5PlklkPlkPPlklkPPlkPlkPcr121,3解得：, 1, 12121第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)Dl/2EPlCEl/2DlP利用對(duì)稱性求利用對(duì)稱性求 EI=1 1、正對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：、正對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取取1 1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn) 曲線如圖。曲線如圖。0)(:111kPlklPMDCClkPPcr1 所以：00DRY整體：PAlllBCDC11k0lkP 1102 2、反對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：、反對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取取1 1

36、為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn) 曲線如圖。曲線如圖。C)(21k0C1212122,2ll0)3(:1211kPlklPMDCC）lkP3021第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 0AM0sinPlk小撓度、小位移情況下：小撓度、小位移情況下：kP PEIlk1 1抗轉(zhuǎn)彈簧抗轉(zhuǎn)彈簧A sink0)(Plk00 Plk-穩(wěn)定方程（特征方程）穩(wěn)定方程（特征方程）lkPcr/-臨界荷載臨界荷載總結(jié)總結(jié)一、靜力法第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 0BM0)(121yyPlky2 2個(gè)自由度體系個(gè)自由度體系-穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程

37、02klPklPPklklAP PEIlk1y2y1ky2kyB 0AM02112Pylkylky0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlkP P1 11.6181.618第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)0)2()(plkPPklkl-臨界荷載臨界荷載03222lkklPPklklklP382. 0618. 2253klPcr382. 0618. 112yy-失穩(wěn)形式失穩(wěn)形式靜力法靜力法 1、定義：假定體系處于微彎失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，列出相應(yīng)、定義：假定體系處于微彎失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，列出相應(yīng)的平衡微分方程，進(jìn)而求解臨界荷載的方法。的平衡微分方程，進(jìn)而求解臨

38、界荷載的方法。 2、步驟：、步驟： （1）建立坐標(biāo)系、取隔離體、繪受力圖。）建立坐標(biāo)系、取隔離體、繪受力圖。 （2）列靜力平衡方程。）列靜力平衡方程。 （3）將撓曲線方程代入平衡方程后，利用邊界條件求穩(wěn)）將撓曲線方程代入平衡方程后，利用邊界條件求穩(wěn)定方程。定方程。 （4）解穩(wěn)定方程，求臨界荷載。）解穩(wěn)定方程，求臨界荷載。第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)lEIk3P PEIlEIkP Pk1 1練習(xí)練習(xí): :簡(jiǎn)化成具有彈簧支座的壓桿簡(jiǎn)化成具有彈簧支座的壓桿P PEIlEIlEIP PEIlEIEAkP PlEIk6P PEIk33lEIk 第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。2I1 pl32233 ;3lEIkEIl解：解：pEIEIlABCD EA23330 0lEIllEIkllklQplQpMApABk kQB xyEI第第十五十五章章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)2.2.外力勢(shì)能外力勢(shì)能1.1.應(yīng)變能應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能P P2/ PVeldxM0