高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3練習(xí) 新人教A版選修11

1、3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（3）a級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1函數(shù)y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分別是(a)a12；8b1；8c12；15d5；16解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2時y1，x1時y12，x1時y8.ymax12，ymin8.故選a2函數(shù)f(x)x33x(|x|<1)(d)a有最大值，但無最小值b有最大值，也有最小值c無最大值，但有最小值d既無最大值，也無最小值解析f (x)3x233(x1)(x1)，x(1,1)，f (x)<0，即函數(shù)在(1,1)上是單調(diào)遞減的，既無最大值，也無最小值3函數(shù)f(x)3xx3(x3)的最大值為(b)a

2、18b2 c0 d18解析f (x)33x2，令f (x)0，得x±1，x<1時，f (x)<0，1<x<1時，f (x)>0,1<x3時，f (x)<0，故函數(shù)在x1處取極小值，在x1處取極大值f(1)2，f(1)2，又f()0，f(3)18，f(x)max2，f(x)min18.4若函數(shù)f(x)x33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為m、n，則mn的值為(d)a2b4c18d20解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x11，x21.f(0)a, f(1)2a, f(3)18a，f(x)max18a，f(x)min2

3、a，18a(2a)20.5下列說法正確的是(d)a函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值b函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值c函數(shù)的最值一定是極值d在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值解析根據(jù)最大值、最小值的概念可知選項d正確6函數(shù)f(x)ln xx在區(qū)間0，e上的最大值為(a)a1b1eced0解析f(x)1，令f(x)>0，得0<x<1，令f(x)<0，得1<x<e，f(x)在(0,1)上遞增，在(1，e)上遞減，當(dāng)x1時，f(x)取極大值，這個極大值也是最大值f(x)maxf(1)1.二、填空題7當(dāng)x1,1時，函數(shù)f(x)的值域是_0，e_.解析f(x)，令f(x)0得x

4、10，x22.f(1)e, f(0)0, f(1)，f(x)maxe, f(x)min0，故函數(shù)f(x)的值域為0，e8若函數(shù)f(x)3xx3a，x3的最小值為8，則a的值是_26_.解析f (x)33x2，令f (x)0，得x±1.f(1)2a，f(1)2a.又f()a，f(3)18a.f(x)min18a.由18a8.得a26.三、解答題9(2016·福建寧德市高二檢測)已知函數(shù)f(x)x32ax23ax在x1時取得極值.(1)求a的值；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)k0在區(qū)間0,4上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解析(1)f(x)3x24ax3a，由題意得f(1)34a3

5、a0，a3.經(jīng)檢驗可知，當(dāng)a3時f(x)在x1時取得極值(2)由(1)知， f(x)x36x29x，f(x)k0在區(qū)間0,4上恒成立，kf(x)max即可f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)，令f(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f(x)<0，得1<x<3.f(x)在(0,1)上遞增，(1,3)上遞減，(3,4)上遞增，當(dāng)x1時， f(x)取極大值f(1)4，當(dāng)x3時， f(x)取極小值f(3)0.又f(0)0，f(4)4，f(x)max4，k4.b級素養(yǎng)提升一、選擇題1函數(shù)f(x)x(1x2)在0,1上的最大值為(a)

6、abcd解析f (x)13x20，得x0,1，f，f(0)f(1)0.f(x)max.2已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上圖象連續(xù)不斷且f (x)<g(x)，則f(x)g(x)的最大值為(a)af(a)g(a)bf(b)g(b)cf(a)g(b)df(b)g(a)解析令u(x)f(x)g(x)，則u(x)f (x)g(x)<0，u(x)在a，b上為單調(diào)減少的，u(x)的最大值為u(a)f(a)g(a)3設(shè)在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間a，b上存在導(dǎo)數(shù)，有下列三個命題：若f(x)在a，b上有最大值，則這個最大值必是a，b上的

7、極大值；若f(x)在a，b上有最小值，則這個最小值必是a，b上的極小值；若f(x)在a，b上有最值，則最值必在xa或xb處取得其中正確的命題個數(shù)是(a)a0b1c2d3解析由于函數(shù)的最值可能在區(qū)間a，b的端點處取得，也可能在區(qū)間a，b內(nèi)取得，而當(dāng)最值在區(qū)間端點處取得時，其最值必不是極值，因此3個命題都是假命題4當(dāng)x0,5時，函數(shù)f(x)3x24xc的值域為(c)af(0)，f(5)bf(0)，f()cf()，f(5)dc，f(5)解析f (x)6x4，令f (x)0，則x，0<x<時，f (x)<0，x>時，f (x)>0，得f()為極小值，再比較f(0)和f(5

8、)與f()的大小即可5(2016·黑龍江哈三中期末)已知x2是函數(shù)f(x)x33ax2的極小值點，那么函數(shù)f(x)的極大值為(d)a15b16c17d18解析x2是函數(shù)f(x)x33ax2的極小值點，即x2是f(x)3x23a0的根，將x2代入得a4，所以函數(shù)解析式為f(x)x312x2，則由3x2120，得x±2，故函數(shù)在(2,2)上是減函數(shù)，在(，2)，(2，)上是增函數(shù)，由此可知當(dāng)x2時函數(shù)f(x)取得極大值f(2)18.故選d二、填空題6函數(shù)f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值的和是_10_.解析f (x)6x26x12，令f (x)0，解得x1或

9、x2.但x0,3，x1舍去，x2.當(dāng)x變化時，f (x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,3)3f (x)12024f(x)5154由上表，知f(x)max5，f(x)min15，所以f(x)maxf(x)min10.7函數(shù)f(x)ax44ax3b(a>0)，x1,4，f(x)的最大值為3，最小值為6，則ab.解析f (x)4ax312ax2.令f (x)0，得x0(舍去)，或x3.1<x<3時，f (x)<0,3<x<4時，f (x)>0，故x3為極小值點f(3)b27a，f(1)b3a，f(4)b，f(x)的最小值為f(3)b27a

10、，最大值為f(4)b.解得ab.三、解答題8(2017·全國文，21)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時，f(x)ax1，求a的取值范圍解析(1)解：f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.當(dāng)x(，1)時，f(x)<0；當(dāng)x(1，1)時，f(x)>0；當(dāng)x(1，)時，f(x)<0.所以f(x) 在(，1)，(1，)單調(diào)遞減，在(1，1)單調(diào)遞增(2)解：f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex<0(x>0)，因此h(x)在0，)單調(diào)遞減而h(0)1，故h(x)

11、1所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng)0<a<1時，設(shè)函數(shù)g(x)exx1，則g(x)ex1>0(x>0)，所以g(x)在0，)單調(diào)遞增而g(0)0，故exx1.當(dāng)0<x<1時，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)>ax01.當(dāng)a0時，取x0，則x0(0,1)，f(x0)>(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，)c級能力提高1已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)

12、0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號是_.解析f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)<0，得1<x<3，由f(x)>0，得x<1或x>3，f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(，1)，(3，)上是增函數(shù)又a<b<c，f(a)f(b)f(c)0，y最大值f(1)4abc>0，y最小值f(3)abc<0.0<abc<4，a，b，c都大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x1，x

13、3為函數(shù)f(x)的極值點，后一種情況不可能成立，如圖f(0)<0.f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.正確結(jié)論的序號是.2(2017·山東文，20)已知函數(shù)f(x)x3ax2，ar.(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值解析(1)由題意f(x)x2ax，所以當(dāng)a2時，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因為g(x)f(x)(xa)c

14、os xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，則h(x)1cos x0，所以h(x)在r上單調(diào)遞增因為h(0)0，所以當(dāng)x>0時，h(x)>0；當(dāng)x<0時，h(x)<0.當(dāng)a<0時，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，a)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(a,0)時，xa>0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(0，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xa時，g(x)取到極大值，極

15、大值是g(a)a3sin a；當(dāng)x0時，g(x)取到極小值，極小值是g(0)a.當(dāng)a0時，g(x)x(xsin x)，當(dāng)x(，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增，g(x)無極大值也無極小值當(dāng)a>0時，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，0)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，a)時，xa<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時，g(x)取到極大值，極大值是g(0)a；當(dāng)xa時，g(x)取到極小值，極小值是g(a)a3sin a.綜上所述：當(dāng)a<0時，函數(shù)g(x)在(，a)和(0，)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(a)a3sin a，極小值是g(0)a；當(dāng)a0時，函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)在(，0)和(a，)上單調(diào)遞增，