中考數(shù)學專題復習_第八講_一元二次方程及應用(含詳細參考答案)

1、把握命題趨勢，提高復習效率，提升解題能力，打造中考高分！2016年中考數(shù)學專題復習第八講 一元二次方程及應用【基礎知識回顧】一、一元二次方程的定義： 1、一元二次方程：含有 個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的 方程 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次項是 一次項是 ， 是常數(shù)項。名師提醒：在一元二次方程的一般形式要特別注意強調(diào)a0這一條件將一元二次方程化為一般形式時要按二次項、一次項、常數(shù)項排列，并一般首項為正二、一元二次方程的常用解法： 1、直接開平方法：如果，則= ， = ， = 。 2、配方法：解法步驟：化二次項系數(shù)為 即方程兩邊都 二次項系數(shù)；移項：把 項移到方程的 邊； 配方：方

2、程兩邊都加上 把左邊配成完全平方的形式； 解方程：若方程右邊是非負數(shù)，則可用直接開平方法解方程。 3、公式法：如果方程滿足，則方程的求根公式為 4、因式分解法：一元二次方程化為一般形式后，如果左邊能分解因式，即產(chǎn)生的形式，則可將原方程化為兩個 方程，即 、 從而得方程的兩根名師提醒：一元二次方程的四種解法應根據(jù)方程的特點靈活選用，較常用到的是 法和 法三、一元二次方程根的判別式 關于的一元二次方程根的情況由 決定，我們把它叫做一元二次方程根的判別式，一般用符號 表示方程有兩個實數(shù)跟，則 當 時，方程有兩個不等的實數(shù)根當 時，方程看兩個相等的實數(shù)根當 時，方程沒有實數(shù)根名師提醒：在使用根的判別式

3、解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母一定要保證二次項系數(shù) 四、一元二次方程根與系數(shù)的關系：關于x的一元二次方程有兩個根分別為則= ， = 。五、一元二次方程的應用：解法步驟同一元一次方程一樣，仍按照審、設、列、解、驗、答六步進行常見題型： 增長率問題：連續(xù)兩率增長或降低的百分數(shù) 利潤問題：總利潤= × 或總利潤= 幾何圖形的面積、體積問題：按面積、體積的計算公式列方程名師提醒：因為通常情況下一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應用題一定要驗根，檢驗結果是否符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件【重點考點例析】考點一：一元二次方程的解例1 （2015蘭州）若一元二次方程有一根為，

4、則 思路分析：由方程有一根為-1，將x=-1代入方程，整理后即可得到a+b的值解：把代入一元二次方程得：，即a+b=2015故答案是：2015點評：此題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，關鍵是把方程的解代入方程跟蹤訓練1（2015柳州）若x=1是一元二次方程的一個根，則m的值為 考點二：一元二次方程的解法例2 （2015大連）解方程：思路分析：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)解：移項得，配方得，即，開方得，點評：本題考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步驟

5、：（1）形如型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可（2）形如型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成，然后配方例3 （2015宿遷）解方程：思路分析：先移項，然后利用“十字相乘法”對等式的左邊進行因式分解，然后解方程；解：由原方程，得，整理，得，則x+3=0或x-1=0，解得。點評：本題考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步驟：移項，使方程的右邊化為零；將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；解這兩個一元一次方程，它們的解就都是

6、原方程的解跟蹤訓練2（2015蘭州）一元二次方程x2-8x-1=0配方后可變形為（）A B C（x-4）2=17 D（x-4）2=153（2015東莞）解方程：考點三：根的判別式的運用例4 （2015十堰）已知關于x的一元二次方程（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實數(shù)根分別為，且滿足，求實數(shù)m的值思路分析：（1）根據(jù)根的判別式的意義得到0，即，解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，再變形已知條件得到，代入即可得到結果解：（1）關于x的一元二次方程有實數(shù)根，0，即，；（2）根據(jù)題意得，即，解得（舍去），m=2點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式：（1）0方程有兩個

7、不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：是一元二次方程的兩根時，跟蹤訓練4（2015梅州）已知關于x的方程（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根考點四：一元二次方程根與系數(shù)的關系例5 （2015黃岡）若方程的兩根分別為，則的值為 思路分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=2，x1x2=-1，然后利用整體代入的方法計算解：根據(jù)題意得，所以故答案為3點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，跟蹤訓練5（2

8、015荊門）已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的兩個實數(shù)根為x1，x2，若x12+x22=4，則m的值為 考點五：一元二次方程的應用例6 （2015益陽）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從20萬元增加到80萬元設這兩年的銷售額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A20（1+2x）=80B2×20（1+x）=80C20（1+x2）=80D20（1+x）2=80思路分析：根據(jù)第一年的銷售額×（1+平均年增長率）2=第三年的銷售額，列出方程即可解：設增長率為x，根據(jù)題意得20（1+x）2=80，故選D點評：本題考查一元二次方程

9、的應用-求平均變化率的方法若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=b（當增長時中間的“±”號選“+”，當下降時中間的“±”號選“-”）對應訓練6（2015酒泉）今年來某縣加大了對教育經(jīng)費的投入，2013年投入2500萬元，2015年投入3500萬元假設該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）A2500x2=3500B2500（1+x）2=3500C2500（1+x%）2=3500D2500（1+x）+2500（1+x）2=3500考點六：一元二次方程的應用例7 （2015烏魯

10、木齊）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？思路分析：設降價x元，表示出售價和銷售量，列出方程求解即可解：解：降價x元，則售價為（60-x）元，銷售量為（300+20x）件，根據(jù)題意得，（60-x-40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顧客得實惠，故取x=4，即定價為56元，答：應將銷售單價定位56元點評：本題考查了一元二次方程應用，題找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵此題要注意判斷所求

11、的解是否符合題意，舍去不合題意的解跟蹤訓練7（2015廣州）某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費3025萬元（1）求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費多少萬元【備考真題過關】一、選擇題1（2015濱州）用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0時，下列變形正確的為（）A（x+3）2=1 B（x-3）2=1 C（x+3）2=19 D（x-3）2=192（2015重慶）一元二次方程的根是（）Ax1=0，x2=-2 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=-2 Dx1=0，x2=2

12、3（2015煙臺）如果，那么x的值為（）A2或-1B0或1C2D-14（2015濟寧）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程的兩根，則該三角形的周長為（）A13 B15 C18 D13或185（2015衡陽）若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-1，則另一個根為（）A-2B2C4D-36（2015廣西）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）Ax2-7x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x-12=0 Dx2-7x-12=07（2015錦州）一元二次方程的根的情況為（）A有兩個相等的實數(shù)根B有兩個不相等的實數(shù)根C只有一個實

13、數(shù)根D沒有實數(shù)根8（2015溫州）若關于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（）A-1B1C-4D49（2015德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）Aa1Ba4Ca1Da110（2015東莞）若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）Aa2Ba2Ca2Da211（2015黔東南州）設x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩根，則x12+x22=（）A6B8C10D1212（2015衡陽）綠苑小區(qū)在規(guī)劃設計時，準備在兩幢樓房之間，設置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米設綠地的寬為x米，根據(jù)題意

14、，可列方程為（）Ax（x-10）=900 Bx（x+10）=900C10（x+10）=900 D2x+（x+10）=90013（2015安徽）我省2013年的快遞業(yè)務量為1.4億件，受益于電子商務發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，快遞業(yè)務迅猛發(fā)展，2014年增速位居全國第一若2015年的快遞業(yè)務量達到4.5億件，設2014年與2013年這兩年的平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A1.4（1+x）=4.5B1.4（1+2x）=4.5C1.4（1+x）2=4.5D1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.514（2015瀘州）若關于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一

15、次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是（）15（2015濟南）將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300cm3，則原鐵皮的邊長為（）A10cm B13cm C14cm D16cm16（2015日照）某縣大力推進義務教育均衡發(fā)展，加強學校標準化建設，計劃用三年時間對全縣學校的設施和設備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為（）A20%B40%C-220%D30%二、填空題17（2015丹東）若x=1是一元二次方程的一個根，那么a= 18（2015麗水）

16、解一元二次方程時，可轉化為解兩個一元一次方程，請寫出其中的一個一元一次方程 19（2015天水）一元二次方程的解是 20（2015聊城）一元二次方程的解是 21（2015齊齊哈爾）ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2-8x+15=0的根，則ABC的周長是 22（2015南昌）已知一元二次方程x2-4x-3=0的兩根為m，n，則m2-mn+n2= 23（2015徐州）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k值為 24（2015婁底）已知關于x的一元二次方程x2+2x+m=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 25（2015上海）如果關于x的一元二次方程x2+4x-m=0沒有實數(shù)根，那

17、么m的取值范圍是 26（2015本溪）關于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 27（2015宜賓）某樓盤2013年房價為每平方米8100元，經(jīng)過兩年連續(xù)降價后，2015年房價為7600元設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為 28（2015達州）新世紀百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施經(jīng)調(diào)査，如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應降價多少元？設每件童裝應降價x元，可列方程為 三、解答題29（20

18、15永州）已知關于x的一元二次方程有一個實數(shù)根為-1，求m的值及方程的另一實根30（2015福州）已知關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值31（2015泰州）已知：關于x的方程，（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求m的值32（2015鄂州）關于x的一元二次方程有兩個不等實根x1，x2（1）求實數(shù)k的取值范圍（2）若方程兩實根x1，x2滿足，求k的值33（2015巴中）如圖，某農(nóng)場有一塊長40m，寬32m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬 34（2015淮安）水果店張阿姨以每斤2元的價格

19、購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售（1）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是 斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？2016年中考數(shù)學專題復習第八講 一元二次方程及應用參考答案【重點考點例析】考點一：一元二次方程的解跟蹤訓練1-3考點二：一元二次方程的解法跟蹤訓練2C3解：，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，x1=1，x2=2考點三：根的判別式的運用跟蹤訓練4解：

20、（1），解得：a3a的取值范圍是a3；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系得：，解得：，則a的值是-1，該方程的另一根為-3考點四：一元二次方程根與系數(shù)的關系跟蹤訓練5-1或-3解：這個方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，x1+x2=-（m+3），x1x2=m+1，而x12+x22=4，（x1+x2）2-2x1x2=4，（m+3）2-2m-2=4，m2+6m+9-2m-6=0，m2+4m+3=0，m=-1或-3，故答案為：-1或-3?？键c五：一元二次方程的應用對應訓練6B考點六：一元二次方程的應用跟蹤訓練7解：設增長率為x，根據(jù)題意2014年為2500（1+x）萬元，2015年為萬元則250

21、0（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合題意舍去）答：這兩年投入教育經(jīng)費的平均增長率為10%（2）3025×（1+10%）=3327.5（萬元）故根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費3327.5萬元【備考真題過關】一、選擇題1D2D3C4A5A6A7A8B9C10C11C12B13C14B15D解：正方形鐵皮的邊長應是x厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x-3×2）厘米，高為3厘米，根據(jù)題意列方程得，（x-3×2）（x-3×2）×3=300，解得x1=16，x2=-4（不合題意，舍去）；答：正方形鐵皮的邊長應是16厘米故選：D16A解：設每年投資的增長率為x，根據(jù)題意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），故每年投資的