重要函數(shù)難點(diǎn)突破(非常經(jīng)典)

1、34hans【易錯(cuò)題】1.（教L1例2）用列舉法表示 提醒學(xué)生審題的規(guī)范，審題要慢，答題要快，草稿紙的合理利用以及答題的規(guī)范：取值集合一定要加大括號(hào)，定義域和值域，角度和弧度不能混用2.（教L2基7）集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 分類討論的意識(shí)要加強(qiáng)3.（教L2例3）已知集合，滿足且，則實(shí)數(shù) 檢驗(yàn)意識(shí)4.（2011屆高三蘇州期末考試19題改編）不等式的解集為_(kāi) 5.（教L3基6改編）命題“”的否定為_(kāi)6.（教L3基8改編）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi) 7.（同心圓夢(mèng)3）滿足的集合共_組 變式：滿足的集合共有_組 8.（教L3白皮書7）在中，是的_條件；（充要）在中，是的_條件；（充要）

2、在中，是為銳角三角形的_條件（必要不充分）【專題研究、方法梳理】專題1：整數(shù)型（整除性）問(wèn)題研究類型1：方程型的整數(shù)型（整除性）問(wèn)題引例1：已知二項(xiàng)式，其中，且，在其二項(xiàng)展開(kāi)式中，若存在連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這樣的n共有多少個(gè)？解：連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、（），由題意，依組合數(shù)的定義展開(kāi)并整理得，故，則，代入整理得，故的取值為，共42個(gè)（將所求參數(shù)求出，根據(jù)整數(shù)性質(zhì)加以研究，盡量出現(xiàn)分式、根式等形式）引例2：已知，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說(shuō)明理由？解： ， 成等比數(shù)列 ，所以又為正整數(shù)且，n16，且1&

3、lt;m<n，使得成等比數(shù)列類型2：不等型的整數(shù)型（整除性）問(wèn)題引例3：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是其前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解： ，由，得 當(dāng)時(shí)，分母小于0恒成立，化簡(jiǎn)可知不等式不可能成立，又因?yàn)槭钦麛?shù)，故 當(dāng)時(shí)，由得，所以；當(dāng)時(shí)，由得，所以或；當(dāng)時(shí)，由得，所以或或，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)為：練習(xí)：1: 設(shè)均為大于的自然數(shù)，函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則 （根據(jù)函數(shù)值域進(jìn)行夾逼）2: 各項(xiàng)均為正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項(xiàng)依次成公差為d（d > 0）的等差數(shù)列，后三

4、項(xiàng)依次成公比為q的等比數(shù)列. 若，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為 3：已知等差數(shù)列的公差d不為0，等比數(shù)列的公比q為小于1的正有理數(shù)。若，且是正整數(shù)，則q等于 答案： 只能為84: 函數(shù)中，為負(fù)整數(shù)，則使函數(shù)至少有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)的所有的值的和為_(kāi) 整數(shù)型問(wèn)題：-145. mN，若函數(shù)存在整數(shù)零點(diǎn)，則m的取值集合為 _解 當(dāng)xZ，且x10時(shí)，Z若m=0，則x= -5為函數(shù)f(x)的整數(shù)零點(diǎn)若m0，則令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此時(shí)m3，14，30故m的取值集合為0，3，14，305: 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義. 若兩個(gè)非零的平面向量，滿足與的夾角，

5、且和都在集合中，則_0.5 專題2：集合與不等式恒成立問(wèn)題研究引例：已知集合，集合（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（1）轉(zhuǎn)化為根的分布問(wèn)題，答案為（2）轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題 總結(jié)：不等式恒成立問(wèn)題的相關(guān)轉(zhuǎn)換策略，請(qǐng)分析下列恒成立的等價(jià)條件：1. =，其中ab0，有對(duì)一切xR恒成立2. 函數(shù)，對(duì)任意都有成立3. 函數(shù)，若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對(duì)任意的，總有4. 已知函數(shù)，若存在，使得5. 已知，若對(duì)，6. 函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使成立7. 上題中的條件改為“若存在，總存在，使成立”練習(xí)：1：已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，均存在以為三邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍2. 函數(shù)定

6、義在區(qū)間a, b上，設(shè)“”表示函數(shù)在集合D上的最小值，“”表示函數(shù)在集合D上的最大值現(xiàn)設(shè) ，()；，()若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“第k類壓縮函數(shù)”（）若函數(shù)，試寫出、的解析式；（）若m>0，函數(shù)是上的“第3類壓縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的最大值為3，（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 正整數(shù)k對(duì)x恒成立，當(dāng)x0時(shí)，均成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，從而有；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，從而有；，函數(shù)是上的“第3類壓縮函數(shù)”，m>0 專題3：一類集合交集非空問(wèn)題研究例：（教L2例4）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 鏈接：（

7、2011年江蘇高考14）設(shè)集合，若，實(shí)數(shù)范圍是_變式：設(shè)集, 若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.（考慮圓夾在兩條平行線間的情況）圓心滿足不等式或圓與兩條中的一條有公共點(diǎn)優(yōu)化方法：求出斜率為-1且和圓相切的兩直線的縱截距分別為和，而后分析：其充要條件是位于下方的直線的縱截距不大于，位于上方的直線的縱截距不小于，即得答案專題4：數(shù)列中取公共元素成新數(shù)列問(wèn)題研究引例1：兩個(gè)集合和都各有100個(gè)元素，且每個(gè)集合中元素從小到大都組成等差數(shù)列，則集合中元素的最大值為規(guī)律結(jié)論：若兩等差數(shù)列公差分別為，則數(shù)列的公差為兩者的最小公倍數(shù)引例2：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，已知S39，S636（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公

8、式；（2）是否存在正整數(shù)m、k，使am，am5，ak成等比數(shù)列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*將集合AB中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，求cn的通項(xiàng)公式解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是，由和，得得 ，（2）成等比數(shù)列等價(jià)于 等價(jià)于即：，是正整數(shù)所以存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列和的值是 或 或 9分（3）因?yàn)?，；所以 ，即：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以的通項(xiàng)公式是即：專題5：數(shù)列中隔項(xiàng)成等差（等比）數(shù)列問(wèn)題研究引例：（教L4例2）已知數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是拓展：若數(shù)列

9、為公差為的等差數(shù)列，試探究數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件，并加以證明.引例：已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.拓展：若正項(xiàng)數(shù)列滿足：數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，試探究數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件，并加以證明.練習(xí)：數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為_(kāi)專題6：復(fù)合函數(shù)方程的根的問(wèn)題研究引例1：（教L4例4）已知函數(shù)，集合，. 若為單元素集，試求的值.引例2：（2012年江蘇高考）已知a，b是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：不妨令，則，由易得的示意圖，且極大值極小值分別為，時(shí)，同理可作出的函數(shù)圖象（和函數(shù)圖象相同)，當(dāng)時(shí)

10、對(duì)應(yīng)零點(diǎn)3個(gè)，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)2個(gè)，時(shí)，零點(diǎn)有5個(gè)；同理時(shí)，也有零點(diǎn)5個(gè)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)零點(diǎn)有3個(gè)，對(duì)應(yīng)零點(diǎn)有9個(gè)。綜上當(dāng)時(shí)各有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有個(gè)零點(diǎn)練習(xí)： 1. 且 2. 0個(gè) 1. 函數(shù)方程有7個(gè)根的充要條件是_2. 關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：（1） 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；（2）存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；（3）存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；（4）存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.其中假命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)3已知函數(shù)，關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題： 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根

11、； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)專題 函數(shù)中相關(guān)問(wèn)題的再研究 學(xué)習(xí)是一趟旅程，教師充當(dāng)?shù)氖菍?dǎo)游的角色。在旅程開(kāi)始前，何導(dǎo)游先介紹一下本次旅程我們要參觀的景點(diǎn)（相當(dāng)于認(rèn)知地圖Cognition-map），游覽前需要對(duì)我們本次要參觀的景點(diǎn)心中有數(shù)，游覽完本專題后再回頭審查這份認(rèn)知地圖，看看能否對(duì)此次旅程的所有景點(diǎn)有較深刻的印象，如果能做到這一點(diǎn)，恭喜你，我們不虛此行！本專題的認(rèn)知地圖，游覽完本景點(diǎn)，你應(yīng)該了解：1. 含參三次函數(shù)的最值問(wèn)題如何進(jìn)行分類討論？討論三層次是指哪三個(gè)層次？2. 簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)、含分式的復(fù)合函數(shù)、含根式的復(fù)合函數(shù)的值域分別怎么求解？3. 恒成立

12、問(wèn)題中參數(shù)范圍如何進(jìn)行局部縮小，以達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的效果？4. 函數(shù)型方程（不等式）有哪些常見(jiàn)求解策略？5. 常見(jiàn)的類非基本初等函數(shù)分別如何研究？八類函數(shù)分別是：尖底平底型函數(shù)、型函數(shù)、牛頓三叉函數(shù)、含絕對(duì)值的復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合、指數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合、對(duì)數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復(fù)合、對(duì)數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合？6. 含參二次函數(shù)綜合問(wèn)題如何突破？7. 高中數(shù)學(xué)中具有將指數(shù)下移功能的運(yùn)算方式有哪些？8. 函數(shù)與方程有三種等價(jià)語(yǔ)言可以相互轉(zhuǎn)化，是哪三種？遇到問(wèn)題時(shí)該如何選取？【易錯(cuò)題】1.（教L6練7）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的定義域?yàn)開(kāi)；值域?yàn)開(kāi) （答案：；）2.（教L6練8）已知函數(shù)的圖

13、像與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的解析式為_(kāi) （相關(guān)點(diǎn)法求函數(shù)（曲線）的解析式（軌跡方程）問(wèn)題）3.（教L7基8）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)；函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)；函數(shù)（）的值域?yàn)開(kāi)；的值域是_答案：；4.（教L8基6改編）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)；已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 答案：和 （注意使用導(dǎo)數(shù)方法的檢驗(yàn)）5.（教L9例3）設(shè)為函數(shù)的對(duì)稱中心，則必有恒等式_根據(jù)上述結(jié)論，寫出函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為_(kāi)6.（雙對(duì)稱問(wèn)題）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù).若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則7.（教L9練5）已知函數(shù)若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 變式1：已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且通項(xiàng)公

14、式為則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 變式2：已知函數(shù)f(x)=在R不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 變式3：已知函數(shù),其中. 若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù),存在唯一的非零實(shí)數(shù),使得成立,求的取值范圍.變式4：已知函數(shù)f(x)=，無(wú)論t取何值，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，+)總是不單調(diào)則a的取值范圍是 a兩情形：或當(dāng)時(shí)在上恒成立8.（教L12例3）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 9. （教L14基3）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi) 0個(gè)或1個(gè) 10. 抽象函數(shù)雖然抽象，但總能從我們所學(xué)的基本初等函數(shù)中找到一個(gè)具體函數(shù)支撐抽象性質(zhì)，請(qǐng)各找出一個(gè)滿足下列條件的基本初等函數(shù)：（1）_；

15、（2）_（1）為二次函數(shù)；（2）為余弦函數(shù)11. （教L16練4）已知偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則 12.求的最小值為_(kāi)（多注重對(duì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)）變式：已知滿足則的最大值_.0； 法一：，法二：；構(gòu)造函數(shù)：此函數(shù)為增函數(shù)，由得，即【專題研究、方法梳理】專題1：含參三次函數(shù)的最值問(wèn)題及討論三層次研究引例1：（教L6練9）函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，且軸，點(diǎn)，其中，（1）試寫出用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示面積的函數(shù)解析式；（2）記的最大值為求解：（1）；（2）練習(xí)：已知函數(shù)，且（1）試用含有的式子表示；（2）求的單調(diào)區(qū)間.專題2：幾類函數(shù)的值域問(wèn)題求解策略歸納第I類：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（換元法）引例1：；第II類：帶分式的復(fù)合函數(shù)（

16、換元、部分分式法、反解（判別式法）、公式法）引例2：直接寫出函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)，曲線的對(duì)稱中心為_(kāi)；若添加條件，則值域?yàn)開(kāi)；直接寫出下列函數(shù)的值域：；引例3：求函數(shù)的值域 部分分式、換元 答案：變式：求函數(shù)的值域變式：求函數(shù)（）的值域（換元）引例4：求函數(shù)的值域 （部分分式、判別式）第III類：帶根式的復(fù)合函數(shù)（觀察、換元、平方法、三角換元）引例5：求函數(shù)的值域；思考：求一般根式函數(shù)的通法是什么？引例5：求函數(shù)的值域；變式1：求函數(shù)的值域（還可以用導(dǎo)數(shù)法研究）變式2：求函數(shù)的值域（平方法、三角換元法）變式3：求函數(shù)的值域（換元）變式4：求函數(shù)的值域（三角換元）一般的，求函數(shù)（其中）的值域如何研究？

17、第IV類：構(gòu)造法求函數(shù)的值域問(wèn)題_（拓展：多元變量的最值問(wèn)題）引例6：求函數(shù)的值域是_變式1：函數(shù)f(x)=的最大值與最小值的乘積是 解法1 當(dāng)x0，±1時(shí)，f(x)=當(dāng)>x時(shí)，f(x)，且當(dāng)=2時(shí)，取“=”，故f(x)的最大值為又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故f(x)的最小值為所以所求的乘積為解法2 令=0，得x2=函數(shù)f(x)的最大值應(yīng)在x-x3>0，即0<x<1或x<-1時(shí)取得所以f(x)max=maxf()，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，則g()=f(x)=，所求乘積為變式2：若關(guān)于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)

18、a的取值范圍為 解法1 因x0，故將方程兩邊同除以x3，并變形得=0令g(t)=，t=原方程有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)g(t)有零點(diǎn)因g(-1)= -1，故函數(shù)g(t)有零點(diǎn)，只須g(-2)0或g(2)0解g(-2)0，得a2；解g(2)0，得a所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法2 易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=0所以，a=，其中t=解法3 接解法2，a=，于是因=x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0，故由可解得x=1或-1當(dāng)x>0時(shí)，a<0，且當(dāng)x=1時(shí)，a取極大值，故此時(shí)a；當(dāng)x<0時(shí)，a>0，且當(dāng)x= -1時(shí)，a取極小值2，故此時(shí)a2綜上，實(shí)數(shù)a的取值

19、范圍為注 異曲同工之妙，它們都出現(xiàn)了x，x2，x3，x4，經(jīng)換元后，分別得到了只關(guān)于整體變量及的表達(dá)式，進(jìn)而一舉解決了問(wèn)題練習(xí)1：設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意都成立，則的最小值為 2：已知點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則的最大值為_(kāi)首先點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，可視為點(diǎn)與點(diǎn)的連線斜率；而的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，易得最大值為3：，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最大值為_(kāi)4：已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次不等式的解集為，則的最小值是 8解析：分子分母同時(shí)除以，變形為（消元思想）（其中條件為），而后轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，易求得最小值為8專題3：恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的局部縮小策略引例1：（教L7例4）若函數(shù)的定義域與值域均為區(qū)間（），求實(shí)數(shù)的取值范圍.（局部

20、縮小策略，將問(wèn)題的研究縮小到正實(shí)數(shù)區(qū)間和負(fù)實(shí)數(shù)區(qū)間兩種情況里，對(duì)于每種情況采用不同的處理方法；答案：）引例2：已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，.若在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)練習(xí)1：設(shè)aR，若x > 0時(shí)均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，則a=_2：對(duì)于總有成立，則= 3：設(shè)f(x)奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)， f(x)2xx 2，若函數(shù)f(x)(xa，b)的值域?yàn)?，則b的最小值為_(kāi) ，實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi) ；局部縮小：首先a,b異號(hào)，一定不成立；則a,b同號(hào)，要求最小值，則只考慮小于0情形專題4：函數(shù)型方程（不等式）的常見(jiàn)求解策略 引例1：（天津高考）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 引

21、例2：實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則= 練習(xí)1：函數(shù)f(x)=,則滿足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范圍是_ (1,-1)2：已知，試求滿足的所有實(shí)數(shù)a解：情形1：當(dāng)由解得矛盾情形2：當(dāng)，此時(shí)，矛盾。情形3：當(dāng)，此時(shí)所以情形4：當(dāng)，此時(shí)矛盾。情形5：當(dāng)，此時(shí)由矛盾。情形6：當(dāng)a>0時(shí)，此時(shí)由綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：解法二：數(shù)形結(jié)合也可易得答案： 3：函數(shù)則滿足不等式的的取值范圍是_答案：專題5：八類常見(jiàn)非基本初等函數(shù)的研究函數(shù)模型一：尖底平底型函數(shù)（且是等差數(shù)列）它的圖像是什么？一定是軸對(duì)稱圖像嗎？若是，對(duì)稱軸是什么？最小值何時(shí)取得？引例1：函數(shù)的最小值為_(kāi)引例2：設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直

22、線對(duì)稱，則的值為_(kāi)練習(xí)：，且，則滿足條件的所有整數(shù)的和是_下列命題中真命題的序號(hào)是 _（1）是偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）不等式的解集為；（4）方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解拓展：已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，則當(dāng)x= 時(shí)，f(x)取得最小值解 f(x)=，f(x)共表示為5050項(xiàng)的和，其最中間兩項(xiàng)均為x=，同時(shí)使第1項(xiàng)|x-1|與第5050項(xiàng)的和，第2項(xiàng)與第5049項(xiàng)的和，第3項(xiàng)與第5048項(xiàng)的和，第2525項(xiàng)與第2526項(xiàng)的和，取得最小值故所求的x為注 1一般地，設(shè)a1a2a3an(nN*)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x

23、-an|若n為奇數(shù)，當(dāng)x=時(shí)，f(x)取最小值；若n為偶數(shù)，則x時(shí)，f(x)取最小值函數(shù)模型二： 型函數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如何研究？引例：函數(shù)的定義域是，若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 練習(xí)：已知函數(shù)f(x)|ex|(aR)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)模型三：牛頓三叉曲線在數(shù)學(xué)史上，成為牛頓三叉曲線.運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，總結(jié)“牛頓三叉”函數(shù)的圖像和性質(zhì)練習(xí)：1：已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為 變式：若條件改為上為減；上為增；上為減，結(jié)論分別如何？2：已知二次函數(shù)的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（1，1），反比例函數(shù)的圖像與的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，。試判斷當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的

24、實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 函數(shù)模型四：僅含絕對(duì)值的復(fù)合函數(shù)引例1：已知，函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出的取值范圍（只要寫出結(jié)果，不需要寫出解題過(guò)程）解：（1）當(dāng)時(shí)，則為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，且，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) （2）當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，在增，； 當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，若， 若， 綜上所述：； （3）時(shí)，；時(shí)， 引例2：已知，函數(shù).求函數(shù)在區(qū)間1,2上的最小值.練習(xí)：1. 已知函數(shù)有最小值，則實(shí)常數(shù)的取值范圍是 變式：函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_2. 已知函數(shù)，其中，且.（1）如果函數(shù)的值域是

25、，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)；（2）如果函數(shù)的值域是，實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)3. 已知函數(shù)（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求所有的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由在R上是增函數(shù)，則即，則范圍為；4分（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，即，當(dāng)恒成立，即，故只要且在上恒成立即可，在時(shí)，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以； （3）當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 則當(dāng)時(shí)，由得時(shí)，對(duì)稱軸，則在為增函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?，時(shí)，對(duì)稱軸，

26、則在為增函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?，在為減函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?；由存在，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根，則，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為； 同理可求當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為 函數(shù)模型五：對(duì)數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)引例：已知函數(shù),.（）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（）若恒成立,求的取值范圍；（）對(duì)任意,總存在惟一的,使得成立,求的取值范圍.解：（）當(dāng),時(shí),所以在 遞增,所以（）當(dāng)時(shí)，恒成立, 當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)，且此時(shí)(ii)當(dāng),即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 時(shí)為正數(shù),所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)，

27、且此時(shí) (iii)當(dāng),即 時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間1,e上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，綜上所述，函數(shù)的最小值為所以當(dāng)時(shí),得; 當(dāng)()時(shí),無(wú)解；當(dāng) （）時(shí),得不成立. 綜上,所求的取值范圍是（）當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,由,得 當(dāng)時(shí)，在先減后增,由,得, 設(shè),yax所以單調(diào)遞增且，所以恒成立得當(dāng)時(shí),在遞增，在遞減，在遞增,所以由,得,設(shè),則,所以遞增，且,所以恒成立，無(wú)解. 當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增,所以由得無(wú)解 綜上,所求的取值范圍是函數(shù)模型六：指數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)引例：（2008江蘇卷20）若，為常數(shù)，且（）求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件（用表示）；（）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，且,若.求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間

28、的長(zhǎng)度和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用（）恒成立（*）因?yàn)樗?，故只需?）恒成立綜上所述，對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是：（）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱因?yàn)?，所以區(qū)間關(guān)于直線 對(duì)稱因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為2°如果.（1）當(dāng)時(shí).，當(dāng)，因?yàn)椋?，?當(dāng)，因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?，所以即?dāng)時(shí)，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，所以=時(shí)，所以=在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和=（2）當(dāng)時(shí).，當(dāng)，因?yàn)?，所以，?當(dāng)，因?yàn)椋怨?因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，令，則，所以，當(dāng)時(shí)， ，所以=時(shí)，所以=在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的

29、長(zhǎng)度和=綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為函數(shù)模型七：對(duì)數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)引例：設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)； （ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍.解：（1）(i)時(shí)，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號(hào)相同。當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，而，對(duì)于，總有，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；（方法二）當(dāng)時(shí)，對(duì)于， 所以，故此時(shí)在區(qū)間

30、上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對(duì)任意的都有>0，所以對(duì)任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè)。當(dāng)時(shí)，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。（講評(píng)時(shí)對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化）思考：（1）設(shè)函數(shù)