極限的運算法則(17)課件

1、 第一章第一章 二、復(fù)合函數(shù)運算法則二、復(fù)合函數(shù)運算法則一、四則運算法則一、四則運算法則第五節(jié)極限運算法則三、求極限方法三、求極限方法 定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf 0 00 0( ),( ).,.f xAg xB 其其中中由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得1.5 極限的四則運算法則極限的四則運算法則一、四則運算法則一、四則運算法則)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf A

2、BBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 ,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2( ), 1 10 01 1設(shè)設(shè)多多項項式式則則有有nnnf xa xa xal

3、im( )0 0 xxf xnnnaxaxa 10100).(0 xf 結(jié)論結(jié)論: :定理定理 （保序性）（保序性） P46 定理定理5 保號性的推廣保號性的推廣二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理定理. . 設(shè)設(shè)0 0lim ( ),xxxa 且且 x 滿足滿足0 01 10 0 xx 時時,( ),xa 又又lim( ),uaf uA 則有則有0 0lim ( )xxfx lim( )uaf uA 證證: : 取取,min21則當則當00 xx時時ax )(au 0故故Axf)(Auf)(,因此因此式成立式成立. .lim( )uaf uA 0 0, ,0當當au0時時

4、, ,有有 Auf)(0 0lim( )xxxa ,0,02當當200 xx時時, ,有有ax)(對上述對上述 說明說明: : 若定理中若定理中0 0lim ( ),xxx 則類似可得則類似可得0 0lim ( )xxfx lim( )uf uA 定理定理. . 設(shè)設(shè)0 0lim ( ),xxxa 且且 x 滿足滿足0 01 10 0 xx 時時, ,( ),xa 又又lim( ),uaf uA 則有則有0 0lim ( )xxfx lim( )uaf uA )(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：變量代換變量代換三、求極限方法舉例三、求極限

5、方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 求極限!注注: :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxx

6、xxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系, ,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx注：注：無窮大與非零有限數(shù)之積仍是無窮大；無窮大與非零有限數(shù)之積仍是無窮大；有限個無窮大之積仍是無窮大。有限個無窮大之積仍是無窮大。解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分

7、子分子時時x1 1x 先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小因因子子后后再再求求極極限限)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型( (消去零因子法消去零因子法) )例例4 4 求極限求極限xxx24lim0 0 00 0()型型解解: :xxx24lim0 )24(lim0 xxxx241lim0 xx41 （分子有理化）（分子有理化）例例5 5 求極限求極限2321lim4 xxx0 00 0()解：原式解：原式)321)(4()2)(82(lim4 xxxxx321)2(2lim4 xxx34 （分子分母同時有理化）（

8、分子分母同時有理化）請思考解請思考解題方法題方法. .有理有理分式函數(shù)求極限小結(jié)：分式函數(shù)求極限小結(jié)：（1 1）分母不等于零，直接用法則；）分母不等于零，直接用法則；（2 2）分母等于零，分子不等于零，無窮大）分母等于零，分子不等于零，無窮大（3 3）分母等于零，分子等于零，消去零因子，）分母等于零，分子等于零，消去零因子， 極限有可能存在極限有可能存在0 0 xx時時無理無理分式函數(shù)求極限：分式函數(shù)求極限：0 0 xx時時一般先有理化一般先有理化, ,然后求極限然后求極限. .例例6 6 求極限求極限)1113(lim31xxx () 型型解解)1113(lim31xxx 321113lim

9、xxxx 32112limxxxx 通分通分0 00 0()型型)1)(1 ()2)(1 (lim21xxxxxx 2112limxxxx 1 注：注：無窮大之代數(shù)和是未定型。無窮大之代數(shù)和是未定型。 0 00 0()型型無窮大的商就是無窮大的商就是 ，也是未定型。，也是未定型。例例7 7 .147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (無窮小因子分出法無窮小因子分出

10、法) )有理分式的極限小結(jié)有理分式的極限小結(jié): :為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當當nmba, 0, 000 0 00 01 10 01 11 10 01 10 0/,lim,mmmnnxnabnma xa xanmb xb xbnm 當當當當當當2 2 無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除以分母中自變量的最高次冪除 分子分子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .,x 時時1 “1 “抓大頭抓大頭”: :分子分母中只考慮最高次冪項分子分母中只考慮最高次冪項練習(xí)：練習(xí)：2 22 25 51 12 29 9( ) limxxx 3 3

11、2 25 52 22 22 26 61 1( )limxxxxx 32324 44214213 33131( )limnnnn 21 0 22222222123123limnnnnnn（4 4）21 313223 3232231(37) (1)(5)lim(1) (1)(25)xxxxxx 例例8 8 求極限求極限) 2)(1(limxxxx () 型型解解) 2)(1(limxxxx ) 2)(1(23(limxxxxx 有理化有理化)(型型 1)23123lim2 xxxx23 “抓大頭抓大頭”lim,xxaxba bxx 2 22 21 192922 2例例已已知知求求0)2(lim21

12、 xxx解解babaxxx 1)(lim210 ) 1)(2(1lim21 xxaaxxx原原式式) 1)(2()1)(1(lim1 xxaxxx21lim1 xaxx32a 2 5,4 ba例例10102 20 01 10 01 10 0,( ),lim( ).,xxxf xf xxx 設(shè)設(shè)求求yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等, ,. 1)(lim0 xfx故故小結(jié)小結(jié)1.1.極限的四則運算法則、復(fù)合

13、函數(shù)極限及其推論極限的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)極限及其推論; ;2.2.極限求法極限求法: :(3)(3)利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限(4)(4)利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限. .(1) (1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時時, , 用代入法用代入法( ( 分母不為分母不為 0 )0 )0)2xx 時時, , 對對00型型 , , 約去公因子約去公因子x)3時時, ,分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪 “抓大頭抓大頭”(2) (2) 復(fù)合函數(shù)極限求法復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量設(shè)中間變量重點：重點：運用極限的四則運算、復(fù)合函數(shù)的

14、極限運用極限的四則運算、復(fù)合函數(shù)的極限法則求極限法則求極限 難點：難點：求極限的一些技巧，極限不存在時的一求極限的一些技巧，極限不存在時的一些運算些運算 思考題思考題1.1. 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，無極限，那么那么 是否有極限？是否有極限？ 是否有是否有極限？為什么？極限？為什么？)(xf)(xg)()(xgxf 3. 3. 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a a使使.0)1(lim33 xaxx)().(xgxf0120 )()(limxfxfxx)(lim)(limxfxfxxxx1200 )(lim)(limxfxfxxxx1200 )(lim),(limxfx

15、fxxxx1200001200 )(lim)(limxfxfxxxx且且2. 2. 已知已知，則（，則（ ）B B 必有必有C C都不一定存在都不一定存在A A 必有必有D D)(xf00 x00 )()(limxfxgx4. 4. 已知已知在在的一個鄰域內(nèi)有界，若的一個鄰域內(nèi)有界，若，則必有（，則必有（ ）00 )(limxgx00 )(limxgx00 )(limxgx)(xgA A B B C C 不能確定不能確定D D極限不存在極限不存在)(xf)()(xgxf)(xg5. 5. 若若與與的極限均存在，則的極限均存在，則的極限如何？（的極限如何？（ ）A A 必存在必存在 B B 必不

16、存在必不存在 C C 不一定存在不一定存在 D D 極限必為零極限必為零思考題解答思考題解答假設(shè)假設(shè))()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤1.1. 沒有極限沒有極限)()(xgxf 有極限，有極限，)().(xgxf 不一定有極限不一定有極限10limsinxxx 2lim sinxx極限不存在極限不存在如如0120 )()(limxfxfxx1x )(lim),(limxfxfxxxx12001211( )2(1),( )11fxxfxxx 2. 2

17、. 已知已知C C都不一定存在都不一定存在正確選項為正確選項為例如例如當當時，極限均不存在。時，極限均不存在。3. 3. 解解 : :令令,1xt 則則 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此)(xf00 x00 )()(limxfxgx4. 4. 已知已知在在的一個鄰域內(nèi)有界，若的一個鄰域內(nèi)有界，若，則必有（，則必有（ ）00 )(limxgx)(xgC C 不能確定不能確定極限不存在極限不存在正確選項為正確選項為0 x ( )2 ,( )sinfxxgxx 例如例如當當時，時，0 x 1( )2 ,( )sinfxxgxx 當當時，時，)(xf)()(xgxf)(xg5. 5. 若若與與的極限均存在，則的極限均存在，則的極限如何？（的極限如何？（ ）A A 必存在必存在 B B 必不存在必不存在 C C 不一定存在不一定存在 D D 極限必為零極限必為零正確選項為正確選項為C C 不一定