第2章連續(xù)信號與系統(tǒng)的時分析

1、第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.0 引引 言言2.1 連續(xù)時間基本信號連續(xù)時間基本信號 2.2 卷積積分卷積積分 2.3 系統(tǒng)的微分算子方程系統(tǒng)的微分算子方程 2.4 連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應 2.5 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 2.6 系統(tǒng)微分方程的經典解法系統(tǒng)微分方程的經典解法 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.0 引引 言言 信號與系統(tǒng)分析的基本任務是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應。連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析是指信號與系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域進行，即所涉及的函數自變量均為連續(xù)時間t的

2、一種分析方法。自20世紀60年代以來，隨著狀態(tài)變量概念的引入， 現代系統(tǒng)理論的確立以及計算技術的不斷進步，時域分析法正在許多領域獲得越來越廣泛的應用。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 連續(xù)時間基本信號連續(xù)時間基本信號 2.1.1 奇異信號奇異信號 證明(t)的n次積分為 )()!1()()(1)(tntdxdxxtnnnttn ,)(,)(,)(),(),(),(),(2,),()!1(,2221nnndttddttddttdtttttttnt第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 ),(),(),(),(),(),(,),(,)()2()1()1()2()(tttttttnn 它

3、是由(t)及其各次積分和各階導數組成的。自左至右，每一項都是前一項的導數，或者每一項都是后一項的積分。 這樣得到的函數族統(tǒng)稱為奇異函數。 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析中，(t)和(-1)(t)=(t)是經常使用的兩種基本信號。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1.2 正弦信號正弦信號 隨連續(xù)時間t按正弦規(guī)律變化的信號稱為連續(xù)時間正弦信號， 簡稱正弦信號。數學上，正弦信號可用時間的sin函數或cos函數表示，本書統(tǒng)一采用cos函數。 正弦信號的一般形式表示為 )cos()(tatf式中，a、和分別為正弦信號的振幅、角頻率和初相。 (2.1-1)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2

4、.1 1 正弦信號 a atf (t)ot第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 正弦信號是周期信號，其周期t、頻率f和角頻率之間的關系為 ft12根據歐拉公式，式(2.1 - 1)可寫成 2)cos()()()(tjtjeeatatf第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1.3 指數信號指數信號 連續(xù)時間指數信號，簡稱指數信號， 其一般形式為 staetf)(根據式中a和s的不同取值，具體有下面三種情況。 (1) 若a=a1和s=均為實常數，則f(t)為實指數信號， 即 tsteaaetf1)(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.1 2 實指數信號 of (t)a1 000t第

5、2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 若a=1，s=j，則f(t)為虛指數信號，即 tjsteaetf)(根據歐拉公式， 虛指數信號可以表示為 tjtetjsincos表明ejt的實部和虛部都是角頻率為的正弦振蕩。顯然，ejt也是周期信號，其周期t=2/|。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (3) 當a和s均為復數時， f(t)為復指數信號。 若設a=|a|ej，s=+j則f(t)可表示為 )sin()cos()()()(tjteaeeaeeaaetfttjttjjst第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.1 3 復指數信號實部和虛部的波形 0)( ; 0)( ; 0)(cb

6、aottoot(a)(b)(c)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.2 卷積積分卷積積分 2.2.1 卷積的定義卷積的定義 設f1(t)和f2(t)是定義在(-，)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分 dtff)()(21定義為f1(t)和f2(t)的卷積 (convolution)， 簡記為 )()(21tftf第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 即 dtfftftf)()()()(2121 式中，為虛設積分變量， 積分的結果為另一個新的時間信號。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.2.2 卷積的圖解機理卷積的圖解機理 信號f1(t)與f2(t)的卷積運算可通過以下幾個步驟來

7、完成： 第一步，畫出f1(t)與f2(t)波形，將波形圖中的t軸改換成軸，分別得到f1()和f2()的波形。 第二步，將f2()波形以縱軸為中心軸翻轉180，得到f2(-)波形。 第三步，給定一個t值，將f2(-)波形沿軸平移|t|。在t0時，波形往右移。這樣就得到了f2(t-)的波形。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第四步，將f1()和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積函數f1()f2(t-)。 第五步，計算乘積信號f1()f2(t-)波形與軸之間包含的凈面積，便是式(2.2 - 1)卷積在t時刻的值。 第六步，令變量t在(-，)范圍內變化，重復第三、四、五步操作，最終得到卷積

8、信號f1(t)*f2(t)。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.2 1 給定信號 )()() 3()()(21tetftttft求y(t)=f1(t)*f2(t)。 圖圖 2.2 1 f1(t)和和f2(t)波形波形 01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2 2 卷積的圖解表示 01234f1()1o1f1()1f2( )t0t310t3f2( )t(c) t0(d) 0 t 310t3t03y(t)y(3)(e) t3(f )f2( )(a)(b)f1()f1()f2( )t第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 當t0

9、時，f2(t-)波形如圖2.2-2(c)所示，對任一，乘積f1()f2(t-)恒為零，故y(t)=0。 當0t3時，f2(t-)波形如圖2.2-2(e)所示，此時，僅在03范圍內，乘積f1()f2(t-) 不為零，故有 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.2.3 卷積性質卷積性質 性質性質1 卷積代數 卷積運算滿足三個基本代數運算律，即交換律 )()()()(1221tftftftf結合律 )()()()()()(321321tftftftftftf分配律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質性質2 f(t)與奇

10、異信號的卷積(1) 信號f(t)與沖激信號(t)的卷積等于f(t)本身，即 )()()(tfttf(2.2-5)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 信號f(t)與沖激偶(t)的卷積等于f(t)的導函數， 即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (3) 信號f(t)與階躍信號(t)的卷積等于信號f(t)的積分， 即 )()()( )()()()()()()1()1(tfdfdtfttftfttft證 因為所以，式（ 2.2-8）成立（ 2.2-8）第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質性質3 卷積的微分和積分 證證 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 應用式(2.2 -

11、 8)及卷積運算的結合律， 可得 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (3) 因為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 同理，可將f2(t)表示為 )()()(222fdddftft并進一步得到 dttfftftftftf)()()()()()(12)1(2)1(121當f1(t)和f2(t)滿足 0)()()()(1221dttffdttff第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 對另一個函數進行k次積分的情況，即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質性質4 卷積時移 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 由卷積時移性質還可進一步得到如下推論： 若f1(t)*f2(t)=y(t)，

12、則 )()()(212211tttyttfttf式中，t1和t2為實常數。 (2.2-21)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.2 2 計算常數k與信號f(t)的卷積積分。 解解 直接按卷積定義， 可得 )()()()(波形的凈面積tfkdkfktftfk常數k與任意信號f(t)的卷積值等于該信號波形凈面積值的k倍。 如果應用卷積運算的微積分性質來求解，將導致 dfkdtdtfkt)()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.2 3 計算下列卷積積分： )()()(3)2() 1()2()2() 1() 1 (0tttftyttttt）（第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分

13、析 解解 (1) 先計算(t)*(t)。因為(-)=0，故可應用卷積運算的微積分性質求得 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 利用卷積運算的分配律和時移性質， 可將給定的卷積計算式表示為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (3) 由于 )()()(tfttf因此，可直接利用卷積時移性質得到 )()()()()()(000ttfttftttftyttt第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2 3 例2.2 - 3圖 a11f (t)t01(1)tot0a(1)tot0t01t01(t t0)(t t0)f (t)*第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2 4 應用t

14、(t)產生周期信號 f 1(t)toto t2 tt2tcombt(t)to t2 tt2tft(t)(a)(b)(c)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 )()(mtttmtmmmttmttfmtttfmtttfttftf)()()( )()()()()(1111第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.2 4 圖2.2 - 5(a)所示為門函數，在電子技術中常稱矩形脈沖，用符號g(t)表示，其幅度為1，寬度為，求卷積積分g(t)*g(t)。 解解 方法一方法一 圖解法。由于門函數是偶函數，故其波形繞縱軸翻轉180后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時，門函數左邊沿位于x=-

15、/2位置，右邊沿位于x=/2位置，如圖2.2 - 5(b)所示。在任一t時刻，移動門函數左邊沿位于x=t-/2位置， 右邊沿則位于x=t+/2位置，如圖2.2 - 5(c)所示。按照圖2.2- 5中卷積過程的圖解表示，可計算求得： 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2 5 例2.2 - 4方法一圖 22ot1g (t)22ox1g ( x) g (x)22ox1 12t2tg (t x)(t0)g (t x)(t0)(b) t 0(c) t0 , t 022to12t2ox1tg (t)g (t)*(d) t 0(e) 0 t(f )ox(a)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析

16、第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 方法二方法二 應用卷積運算的微積分和時移性質， 可得 tttgtgtgtttgttdtdtgtgtgtg022)(22)(22)()()()()1()1()1()1()1()1(tttt00,第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2 6 例2.2 - 4方法二圖 ot1g (t)ot1g (t)22og (t)(1)t22otg (t)( 1)otottg (t)g (t)*(1)(1)o2)1(tg2)1(tg第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.2.4 常用信號的卷積公式常用信號的卷積公式 表 2.1 常用信號的卷積公式 第 2 章 連續(xù)信

17、號與系統(tǒng)的時域分析 2.3 系統(tǒng)的微分算子方程系統(tǒng)的微分算子方程 2.3.1 微分算子和積分算子微分算子和積分算子 tdpdtdp()1式中，p稱為微分算子，1/p稱為微分逆算子或積分算子。這樣，可以應用微分或積分算子簡化表示微分和積分運算。例如： 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質性質1 以p的正冪多項式出現的運算式，在形式上可以像代數多項式那樣進行展開和因式分解。例如： )()2)(2()()4()()65()() 3)(2(22tfpptfptypptypp性質性質2 設a(p)和b(p)是p的正冪多項式， 則 )()()()()()(tfp

18、apbtfpbpa第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質性質3 微分算子方程等號兩邊p的公因式不能隨便消去。例如，由下面方程 )()(tpftpy不能隨意消去公因子p而得到y(tǒng)(t)=f(t)的結果。因為y(t)與f(t)之間可以相差一個常數c。 正確的結果應寫為 ctfty)()(也不能由方程 )()()()(tfaptyap通過直接消去方程兩邊的公因式(p+a)得到y(tǒng)(t)=f(t)， 因為y(t)與f(t)之間可以相差ce-at，其正確的關系是 atcetfty)()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 性質4 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.3.2 lti系統(tǒng)的微分算子方

19、程系統(tǒng)的微分算子方程 對于lti n階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性、常系數n階微分方程。若系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)， 則可表示為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 它代表了系統(tǒng)將輸入轉變?yōu)檩敵龅淖饔?，或系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故稱h(p)為響應響應y(t) 對激勵對激勵f(t)的傳輸算子的傳輸算子或系統(tǒng)的系統(tǒng)的傳輸算子傳輸算子。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3 1 用h(p)表示的系統(tǒng)輸入輸出模型 h(p)f (t)y(t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.3 1 設某連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為 圖 2.3 2 例2.3 - 2圖 y(t)f (t) 5

20、 324x(t)x (t)x (t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 選圖中右端積分器的輸出為中間變量x(t)，則其輸入為x(t)，左端積分器的輸入為x(t)， 如圖所示。寫出左端加法器的輸出 )()(3)( 5)()()(3)( )(tftxtxtxtftxtxtx右端加法器的輸出 )(4)( 2)(txtxty第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 求得圖2.3 - 2系統(tǒng)的微分方程為 )(4)( 2)(3)( 5)(tftftytyty寫出系統(tǒng)的算子方程 )()24()() 35(2tfptypp于是，得到系統(tǒng)的傳輸算子為 3524)(2pppph第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域

21、分析 2.3.3 電路系統(tǒng)算子方程的建立電路系統(tǒng)算子方程的建立 表 2.2 電路元件的算子模型 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.3 3 電路如圖2.3 - 3(a)所示，試寫出u1(t)對f(t)的傳輸算子。 圖 2.3 3 例2.3 - 3圖 u1(t)212pu1(t)p2f (t)f (t)(a)(b)2 h2 2 2 2 f第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 畫出算子模型電路如圖2.3-3(b)所示。由節(jié)點電壓法列出u1(t)的方程為 )()(2212121tftupp)() 1(2)()22(12tfptupp所以u1(t)對f(t)的傳輸算子為 22) 1(

22、2)(2pppph它代表的實際含義是 )(2)( 2)(2)(2)(111tftftututu第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.3 4 如圖2.3 - 4(a)所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程。 圖 2.3 4 例2.3 - 4圖 i1(t)i2(t)1 fi1(t)i2(t)i1(t)i2(t)2ppp1f (t)f (t)(a)(b)1 1 1 h2 h1 1 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 畫出算子模型電路如圖2.3 - 4(b)所示。列出網孔電流方程如下： 0)(112)(1)()(1)(112121tipptip

23、tftiptipp0)(1) 12()(1)()(1)(1) 1(221212tippptiptftiptippp第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 該方程組對新設變量而言是一個微分方程組， 可以用代數方法求解，得 )()()2432(223tftippp第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.4 連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應 2.4.1 系統(tǒng)初始條件系統(tǒng)初始條件 根據線性系統(tǒng)的分解性，lti系統(tǒng)的完全響應y(t)可分解為零輸入響應yx(t)和零狀態(tài)響應yf(t)，即 )()()(tytytyfx分別令t=0-和t=0+，可得 )0()0()0()0()0()0(fxfxyyy

24、yyy第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 對于因果系統(tǒng)，由于激勵在t=0時接入，故有yf(0-)=0；對于時不變系統(tǒng)，內部參數不隨時間變化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4 - 2)和式(2.4 - 3)可改寫為 )0()0()0()0()0()0()0()0(ffxxxyyyyyyyy同理，可推得y(t)的各階導數滿足 )0()0()0()0()0()0()()()()()()(jxjjjxjxjyyyyyy第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.4.2 零輸入響應算子方程零輸入響應算子方程 設系統(tǒng)響應y(t)對輸入f(t)的傳輸算子為h(p)， 且 01110111)(

25、)()(apapapbpbpbpbpapbphnnnmmmmy(t)和f(t)滿足的算子方程為 )()()()(tfpbtypa yx(t)滿足的算子方程為 0)()(typax0t第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.4.3 簡單系統(tǒng)的零輸入響應簡單系統(tǒng)的零輸入響應 簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)1 若a(p)=p-，則yx(t)=c0et。 此時系統(tǒng)特征方程a(p)=0僅有一個特征根p=。將a(p)=p-代入式(2.4 - 10)可得 0)(0)()(0)()( txxxxetydtdtytytyp第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 式中，c0=yx(0-)，其值由初始條件yx(0-)確定。因此，

26、可得結論為 ttxxeceyty0)0()(含義是：a(p)=p-對應的零輸入響應yx(t)為c0et。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)2 若a(p)=(p-)2，則yx(t)=(c0+c1t)et。 0)()(2typx0)()(typpxtxectyp0)()(txxectyty0)()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 兩邊乘以e-t，再取積分 dxt0)(txetccty)()(100ttrrxretctctcctyppa)()()()(112210第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.4.4 一般系統(tǒng)的零輸入響應一般系統(tǒng)的零輸入響應 對于一般情況，設n

27、階lti連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程a(p)=0具有l(wèi)個不同的特征根i(i=1, 2, , l)，且i是ri階重根，那么，a(p)可以因式分解為 liriippa1)()(式中，r1+r2+rl=n0)()(0)()(typatypxixiriili, 2 , 1li, 2 , 1第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 根據線性微分方程解的結構定理，令i=1,2,.,l,將相應方程求和，便得0 )()(1lixitypa所以方程a(p)yx(t)=0lixixtyty1)()(liriippa1)()(第一步，將a（p）進行因式分解，即綜上所述，對于一般n階lti連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應的求解步驟是： 第 2

28、 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第二步，求出第i個根 對應的零輸入響應yxi(t)itririiiixiiietctctccty)(1)1(2210li,.,2 , 1 第三步，將所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應，即lixixtyty1)()(0t 第四步，根據給定的零輸入響應初始條 或者0-系統(tǒng)的初始條件，確定常數) 1, 1 , 0)(0()(njyjx)., 2 , 1(, 1,)1(10liccciriii第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 某例 2.4 1 某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系統(tǒng)的初始條件y(

29、0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)。 解解 由題意知a(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()() 1(所以ttxxxetccectytyty221201021)()()()(（2.4-16）第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 其一階和二階導函數為 ttttttxttttttxecectececctecectyecectecetccececty2202211022021221102202211022120221104) 1(42)21(22)(2)21 ()(2)(2.4-18)第 2 章

30、 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 ),2 , 1 , 0)(0()0()()(jyyjjx代入初始條件值并整理得在式（2.4-16）(2.4-18)中，令t=0-,并考慮到1344)0(62)0(3)0(2021102021102010cccycccyccyxxx聯立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。將各系數值代入式(2.4 - 16)，最后求得系統(tǒng)的零輸入響應為 ttxetety2)2()(0t第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.4-2 電路如圖2.4-1(a)所示，激勵為is(t)，響應為il(t)。已知r1=1， r2=5，c=0.25 f，l=2h，電容上初始電壓uc(

31、0-)=6 v，電感中初始電流il(0-)=2a。試求t0時的零輸入響應ilx(t)。 圖 2.4-1 例2.4-2圖 is(t)il(t)2pp4is(t)il(t)lis(t)il(t)uc(t)r2r1cuc(0)r2r1ul(0)il(0)圖2.4-1(a)(b)(c)5 1 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 畫出給定電路的算子電路模型如圖2.4-1(b)所示，列出電路的回路電流方程 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 為確定式(2.4-19)中的待定常數，除應用電感初始電流ilx(0-)=il(0-)=2a外，還需計算ilx(0-)值。為此，畫出t=0-時的等效電路如圖2

32、.4-1(c)所示，由kvl可得 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.5 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 2.5.1 連續(xù)信號的連續(xù)信號的(t)分解分解 任一連續(xù)信號f(t)與單位沖激信號(t)卷積運算的結果等于信號f(t)本身，即 dtfttftf)()()()()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-1 連續(xù)信號的(t)分解 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 可以從圖形上定性地說明式(2.5-1)的正確性。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 由圖2.5-1可見，當0，即趨于無窮小量d時，離散變量k將趨于連續(xù)變量，式(2.5-3)中的各量將發(fā)生如下變化：

33、 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.5.2 基本信號基本信號(t)激勵下的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應 1. 沖激響應沖激響應 一個初始狀態(tài)為零的lti連續(xù)系統(tǒng)，當輸入為單位沖激信號時所產生的響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)， 如圖2.5-2 所示。 0)0()()()()(, 0)0()(xtphttfxtth第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 lti系統(tǒng)h(p)h(t) (t)x(0)0圖2.5-2 沖激響應的定義第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2. 沖激響應的計算沖激響應的計算 設lti連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為h(p)，現在討論從h(p)出發(fā)計算沖激響應h(t

34、)的方法。具體做法是先研究若干簡單系統(tǒng)的沖激響應，再在此基礎上推導出一般系統(tǒng)沖激響應的計算步驟。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)1 pkph)(此時，響應y(t)和輸入f(t)滿足的微分方程為 )()()( tkftyty當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，y(t)為零狀態(tài)響應，上式可表示為 )()()(tkftytyff根據h(t)的定義，若在上式中令f(t)=(t)，則yf(t)=h(t)，所以有 )()()( tkthth第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 這是關于h(t)的一階微分方程， 容易求得 )()(tketht于是 )()()(tkethpkpht式中，符號“”表

35、示“系統(tǒng)h(p)對應的沖激響應h(t)為”。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 將這一結果推廣到特征方程a(p)=0在p=處有r重根的情況，有 )()!1()()()(1tetrkthpkphtrr第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)3 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 對于一般的傳輸算子h(p)，根據本書附錄a的討論結果，當h(p)為p的真分式時，可將它展開成如下形式的部分分式之和， 即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 綜上所述，可以得到計算系統(tǒng)沖激響應h(t)的一般步驟是： 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2

36、.5-1 描述系統(tǒng)的微分方程為 )(6)(10)(6)()(4)(8)(5)()1()2()3()1()2()3(tftftftftytytyty求其沖激響應h(t)。 解解 由系統(tǒng)微分方程得到相應的輸入輸出算子方程為 )()6106()()485(2323tfppptyppp第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 其h(p)可表示為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.5-2 二階電路如圖2.5-3所示，已知l=0.4 h，c=0.1f， g=0.6s，若以us(t)為輸入，以uc(t)為輸出，求該電路的沖激響應h(t)。 圖 2.5-3 例2.5-2圖 lus(t)ic(t)uc

37、(t)il(t)cgig(t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 (1) 列寫電路輸入輸出方程。 按圖2.5-3，由kcl和kvl有 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 求沖激響應。 電路的輸入輸出算子方程為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 根據式(2.5-5)， 求得 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.5.3 一般信號一般信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應 圖圖 2.5-4 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 lti系統(tǒng)h(t)yf(t)f (t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 為了敘述方便，我們采用如下簡化符號： )()(tytf第 2 章

38、 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.5.4 零狀態(tài)響應的另一個計算公式零狀態(tài)響應的另一個計算公式 1. 連續(xù)信號的連續(xù)信號的(t)分解分解根據卷積運算的微積分性質，有 )()( )()( )()()(ttfdxxtfttftft按照卷積運算的定義，信號f(t)可表示為 dtftf)()( )(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-5 連續(xù)信號的(t)分解 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 上面在f(t)=f(t)*(t)的基礎上，應用卷積的微積分性質得到了(t)分解公式(2.5-17)。如果在該式的基礎上，再應用一次卷積的微積分性質，可得到單位

39、斜升信號t(t) 形式的分解公式，即 dttftttftf)()( )()()()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2. 系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的階躍響應 一個lti連續(xù)系統(tǒng)，在基本信號(t)激勵下產生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的階躍響應，通常記為g(t)。 按照g(t)的定義，由式(2.5-16)知 )()()(thttg再根據卷積運算的微積分性質和(t)的有關性質， 有 dhdhtdhtdtdtgttt)()()()()()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 所以階躍響應g(t)與沖激響應h(t)之間的關系為 dhtgt)()(或者 dttdgth)()(第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分

40、析 3. 利用利用g(t)計算零狀態(tài)響應計算零狀態(tài)響應 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.5-3 某lti連續(xù)系統(tǒng)n有a、b、c三部分組成，如圖2.5-6所示。已知子系統(tǒng)a的沖激響應，子系統(tǒng)b和c的階躍響應分別為gb(t)=(1-e-t)(t)，gc(t)=2e-3t(t)， 系統(tǒng)輸入f(t)=(t)-(t-2)，試求系統(tǒng)n的沖激響應、階躍響應和零狀態(tài)響應。 )(21)(4tethta圖圖 2.5-6 例例2.5-3圖圖 abcny(t)f(t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 (1) 系統(tǒng)n的沖激響應。設子系統(tǒng)b、c的沖激響應為hb(t)和hc(t)，由式(2.5-2

41、1)可得 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 按照沖激響應的定義，它是f(t)=(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應， 故由圖2.5-6可知， 系統(tǒng)n的沖激響應為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 系統(tǒng)n的階躍響應。設系統(tǒng)n的階躍響應為gn(t)，根據式(2.5-20)， 有 )()()4()()4()()(444teedeedeedhtgtttttnn第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (3) 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 方法二方法二 因為已經求得系統(tǒng)的階躍響應 )()()(4teetgttn它是輸入為(t)時對應的零狀態(tài)響應?，F在題中給定f

42、(x)=(t)-(t-2)， 是一個階躍信號與另一個位移階躍信號的組合。 所以， 可利用階躍響應和系統(tǒng)的線性、時不變特性直接求得 )2()()()2()()()2(4)2(4teeteetgtgtyttttnnf第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.5-4 已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 )(3)( 2)(2)( 3)(tftftytyty若系統(tǒng)的初始條件y(0-)=y(0-)=1，輸入f(t)=e-t(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)，零狀態(tài)響應yf(t)和完全響應y(t)。 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 解解 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 (2) 零狀態(tài)響應。按附錄

43、a方法將h(p)展開為 (3) 完全響應。第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.5-5 描述某lti系統(tǒng)的微分方程為 1)0()0()0( 3)0()0()0(fxfxyyyyyy)(6)( 2)(2)( 3)(tftftytyty解解 令其t=0+時有 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 寫出系統(tǒng)傳輸算子，并進行部分分式展開，有 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 本例中，a(p)=p2+3p+2。根據式(2.4-15)可得系統(tǒng)的零輸入響應為 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 例例 2.5-6 已知某lti連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應h(t)=(t)-(t-1)，輸入f(t)=(t+

44、2)-(t-2)。 若以t=0為初始觀察時刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)和零狀態(tài)響應yf(t)，并畫出波形。 解解 以初始觀察時刻t=0為時間分界點，將輸入區(qū)分為歷史輸入f1(t)和當前輸入f2(t)，即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 所謂零輸入響應，是指歷史輸入f(t)作用于系統(tǒng)，在t0區(qū)間上產生的響應， 即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 畫出g(t)波形如圖2.5-7(a)所示。再畫出g(t+2)-g(t)波形如圖2.5-7(b)所示，其中t0部分代表yx(t)。于是 01)(ttyxtt110第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-7 例2.5-6圖 12tg(t)112t11 0012tyx(t)101t1023yf(t)3(a)(b)(c)(d)f1(t) h(t)第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 當輸入f2(t)作用于系統(tǒng)，在t0區(qū)間上產生的響應為零狀態(tài)響應，即 第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.6 系統(tǒng)微分方程的經典解法系統(tǒng)微分方程的經典解法 2.6.1 齊次解和特解齊次解和特解 按照微分方程的經典解法，其完全解y(t)由齊次解yh(t)和特解yp(t)兩部分組成， 即 )()()(tytytyph第 2 章 連