高中數(shù)學(xué)《指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固

1、高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解有理指數(shù)冪的意義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；了解冪函數(shù)的概念和性質(zhì)。知道指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。2了解函數(shù)與方程之間的關(guān)系，會(huì)利用二分法求一些簡(jiǎn)單方程的近似解；了解函數(shù)模型及其意義，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地表述問題，會(huì)利用函數(shù)的知識(shí)分析問題、解決問題，使學(xué)生明白函數(shù)與方程是研究事物變化的重要工具。3培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力、辯證思維能力、分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新意識(shí)與探索能力、數(shù)學(xué)建模能力

2、以及數(shù)學(xué)交流的能力。4知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a0，a1)。【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、指數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)：(1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，(2)3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：；要點(diǎn)詮釋：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1) (2) (3)知識(shí)點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)及其

3、性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針方向看圖象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針方向看圖象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的定義(1)若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2.幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，.3.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中).4.對(duì)數(shù)

4、的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么加法：減法：數(shù)乘：換底公式：知識(shí)點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對(duì)數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.2.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)五：反函數(shù)1.反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑥氖阶又薪獬?，得式?如果對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函

5、數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成.2.反函數(shù)的性質(zhì)(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.(3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.(4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)六：冪函數(shù)1.冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限. (2)過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn). (3)單

6、調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸.(4)奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)(其中互質(zhì)，和)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù).(5)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方.【典型例題】類型一：指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算例1.計(jì)算(1) ； (2)；(3)；(4)【思路點(diǎn)撥】運(yùn)算時(shí)盡量把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，而小數(shù)也要化為分?jǐn)?shù)為好.【答案】(1)；(2)

7、1；(3)3；(4)14?！窘馕觥?1)原式=；(2)原式= = =1-+=1 (3)原式=2+=3；(4)令，兩邊取常用對(duì)數(shù)得= = =即=14?！究偨Y(jié)升華】這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.舉一反三：【變式1】=（ ）a.0 b.1 c.2 d.4【答案】c【解析】=?！咀兪?】(1)；(2)?！敬鸢浮?1)2；(2)?！窘馕觥?1) 原式 ；(2) 原式 。例2.（1）化簡(jiǎn)：；（2）計(jì)算：（3）已知：，求：的值.【思路點(diǎn)撥】題目中的式子有根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，

8、要先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以便用法則運(yùn)算?！窘馕觥浚?）原式=；（2）原式=（3） 當(dāng)時(shí)，.【總結(jié)升華】如果題目中給出的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先看其是否符合運(yùn)算法則的條件，如符合用法則進(jìn)行下去，如不符合應(yīng)再創(chuàng)設(shè)條件去求；解題時(shí)觀察已知與所求之間的關(guān)系，同時(shí)乘法公式要熟練，直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算. 解題時(shí)，要注意運(yùn)用下列各式，;舉一反三：【變式】已知，求的值?！窘馕觥?，又，類型二：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3.設(shè)偶函數(shù)滿足，則= ( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】且是偶函數(shù).或或解得或，故選b?！究偨Y(jié)升華】考查解不等式組及函數(shù)解析式，考查函數(shù)性質(zhì)的綜

9、合運(yùn)用.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)若，則的取值范圍是（ ）a. b. 或 c. d. 或【答案】a【解析】依題意或即或，所以，故選a。例4.設(shè)函數(shù) 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) a. b. c. d. 【答案】c【解析】解法一：若，則，得，得，解得。若則，解得由可知解法二：特殊值驗(yàn)證令，滿足，故排除a、d。令，不滿足，故排除b。【總結(jié)升華】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、分類思想的應(yīng)用.【高清課堂：冪指對(duì)函數(shù)綜合377495 例1】例5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）a（3，+） b（，3） c（4，+） d（，2）【思路點(diǎn)撥】這是一個(gè)內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個(gè)函數(shù)

10、的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮縟【解析】函數(shù)是由復(fù)合而成的，是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，即，解得或，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選d。例6已知函數(shù)y=()|x+1|。（1） 作出圖象；（2） 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；（3） 由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)函數(shù)有最值?！舅悸伏c(diǎn)撥】思路一：化去絕對(duì)值符號(hào)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式作圖象寫出單調(diào)區(qū)間寫出x的取值；思路二：利用函數(shù)圖象的變換作函數(shù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間寫出x的取值?！窘馕觥浚?）圖象作法一：由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是： 另一部分是：圖象如圖：圖象作法二：先作函數(shù)的圖象，再作函數(shù)圖象。作法：

11、將函數(shù)圖象在y軸左側(cè)去掉，保留右側(cè)，再把右側(cè)沿y軸翻折到左側(cè)得到函數(shù)圖象（上圖中虛線），再將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)圖象。（2）由圖象知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。（3）由圖象知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，無最小值。舉一反三：【變式1】 函數(shù)的圖象是（ ） a b c d【答案】b【解析】先作出的圖象，然后作出這個(gè)圖象關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，得到的圖象，再把的圖象右移一個(gè)單位，得到的圖象，故選b【變式2】已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是（ ）。a.（1，10） b.（5，6） c.（10，12） d.（20，24）【答案】c【解析】由互不相等，結(jié)合圖象可知：這三個(gè)數(shù)分別在區(qū)間（0,1），

12、（1,10），（10,12）上，不妨設(shè)，由得即，所以，所以，故選c.【總結(jié)升華】考查利用圖象求解的能力和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法。例7.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【思路點(diǎn)撥】(1)本題求f(x)的定義域，但由于在條件中已知函數(shù)的解析式，所以，在求解方法上，可以考慮函數(shù)的真數(shù)大于零，解不等式.(2)本題求f(x)的單調(diào)性，但由于在條件中已知函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，所以在解題方法上，可用復(fù)合函數(shù)求其單調(diào)性.【解析】(1)使f(x)=loga(ax-1)有意義，則ax-1>0，即ax>1，當(dāng)a>

13、;1時(shí)，x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?x|x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?x|x<0.(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)0<x1<x2，則，f(x1)<f(x2)，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)x1<x2<0，則，f(x1)<f(x2)，當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)在(-,0)上為增函數(shù)；綜上可知：函數(shù)f(x)=loga(ax-1)在其定義域上為增函數(shù).方法提示：利用復(fù)合函數(shù)（只限由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1

14、） 找出已知函數(shù)是由哪兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的；（2） 當(dāng)外函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，找出內(nèi)函數(shù)的定義域；（3） 分別求出兩函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4） 按照“同增異減”確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（5） 研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在函數(shù)的定義域上進(jìn)行。類型三：綜合問題例8.已知函數(shù)為常數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）利用真數(shù)大于零求解（2）利用定義去證明函數(shù)的單調(diào)性【答案】（1）；（2）f(x)為增函數(shù)；（3）a1【解析】(1)由a0，x0 f(x)的定義域是.(2)若a=2，則設(shè) ， 則故f(

15、x)為增函數(shù).(3)設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+).【總結(jié)升華】該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可.舉一反三：【變式1】已知（1）求定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）解方程【答案】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單增（3） 【解析】（1）由，得， 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 ， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上增函數(shù)；同理可證，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上也是增函數(shù) （3）由，得，推出，所以， ， ，（舍），例9.已知定義域?yàn)?/p>

16、r的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）利用奇函數(shù)的定義去解。（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性脫掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題去解決?！敬鸢浮浚?）；（2）。【解析】(1) 因?yàn)槭莚上的奇函數(shù)，所以從而有 又由，解得(2)解法一：由(1)知由上式易知在r上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于 因是r上的減函數(shù)，由上式推得即對(duì)一切從而解法二：由(1)知又由題設(shè)條件得即 整理得，因底數(shù)2>1，故 上式對(duì)一切均成立，從而判別式【總結(jié)升華】對(duì)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)，（a0，且a1）（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（3）設(shè)，解不等式f（x）0【解析】（1）依題意知，解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椤＃?）函數(shù)是奇函數(shù)任取，所以 =0所以函數(shù)是奇函數(shù)。（3）因?yàn)?，所以由，得解得。【高清課堂：冪指對(duì)綜合377495 例5】例10設(shè)（其中a為實(shí)數(shù)），如果當(dāng)時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】由題意知，原不等式轉(zhuǎn)化成在上恒成立，只要求出不等式右邊部分的最大值就可以了。【答案】【解析】依題意，在上恒成立。則設(shè)只需求的最大值任取且 =由于是單