二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、5.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解讀課標(biāo)噴出的水流、推出的鉛球、標(biāo)槍的投擲、彗星的運(yùn)動軌跡都形成拋物線路徑，形如 y=ax2+bx+c （aw0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，它的圖像是拋物線，它有以下豐富的性質(zhì)：1 . a、b、c的符號決定拋物線的大致位置；.2bb 4ac b2 .拋物線具有對稱性，其對稱軸為 x=-2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 一4a一）；3 .利用兩個或三個獨(dú)立條件確定二次函數(shù)解析式;4 .運(yùn)用二次函數(shù)解決最值問題 .視野窗：對稱是一種數(shù)學(xué)美， 它展示整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對稱圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對稱關(guān)系，以便從整體上把握問題.由拋物線捕捉對稱的方式有：（1）從拋物線上兩點(diǎn)的

2、縱坐標(biāo)相等獲得對稱軸；（2）從拋物線的對稱軸方程與拋物線被x軸所截得的弦長獲得對稱信息 .-問題解決一一例1（2012?咸寧）對于二次函數(shù) y=x2 - 2mx - 3,有下列說法：它的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)；如果當(dāng)xw 1時y隨x的增大而減小，則 m=1 ;如果將它的圖象向左平移 3個單位后過原點(diǎn)，則 m= - 1;如果當(dāng)x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相等，則當(dāng) x=2012時的函數(shù)值為-3. 其中正確的說法是.（把你認(rèn)為正確說法的序號都填上）（2012年咸寧市中考題）試一試 略.視野窗：想一想x1 +x2右拋物線上不同兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x，m）和（x2, m）,則此拋物線的對稱軸為直線

3、x=一廠,0<xK 1, 2vx2<3 時，y1 與 y2 的大為什么?小關(guān)系正確的是（A . y1 >y2)B. y1 >y2C. y1vy2試一試 求出解析式？借助圖像？利用函數(shù)的增減性 特點(diǎn)能獲得簡解.D. y1Wy2（鄂爾多斯市中考題）?作差比較大?。慷l(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)x0123y5212點(diǎn)A （x1, y1）, B （x2, y2）在函數(shù)的圖象上，當(dāng)例2 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示:視野窗：例2看似簡單，卻內(nèi)涵豐富，解法多樣 .把表格信息轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式、函數(shù)圖像或運(yùn)用函數(shù)增減性直接利用表格，充分說明解析式、圖像和

4、表格是表示函數(shù)的基本方法，也是研究函數(shù)問題的著眼點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn) .s （單位：米）與時間t （單位：秒）之例3 （2012?臺州）某汽車在剎車后行駛的距離 間的關(guān)系得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：時間t （秒）00.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2行駛距離s （米）02.85.2 7.2 8.8 10 10.8假設(shè)這種變化規(guī)律一直延續(xù)到汽車停止.（1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的八、,（2）選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示 s與t之間的關(guān)系，求出 相應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）剎車后汽車行駛了多長距離才停止？當(dāng)t分別為t1, t2 （t1Vt2）時，對應(yīng)S的值分別為S1, S2,請比較M與豌的大小，并解釋比較結(jié)果

5、的實(shí)際t1 t2意義.（2012年臺州市中考題）（海南省中考題）試一試對于（3），即求s的最大值.例4 如圖，拋物線 y=x2+bx+c與x軸交于A （ 1, 0）, B （3, 0）兩點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）題中的拋物線上有一個動點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動到什么位置時，滿足S/pab=8,并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)（1）題中的拋物線交 y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對 稱軸上是否存在點(diǎn) Q,使得4QAC的周長最??？若存在， 求出Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.試一試 對于（2）先求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；對于（3）,根據(jù)對稱性，將求 QAC的周長 最小值轉(zhuǎn)化為求 QB+QC的最

6、小值.例5 某學(xué)生為了描點(diǎn)作出函數(shù) y=ax2+bx+c （aw0）的圖象，取自變量的 7個值：xk x2<V x7,且x2-x1=x3 - x2=x7-x6,分別算出對應(yīng)的 y的值，列出下表：xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算錯了其中一個 y值.請指出算錯的是哪一個值？正確的值是多少？并說明 理由.(“宇振杯”上海市競賽題)分析 設(shè)X2 - x1 = x3 - x2=-=x7- x6=d ,且Xi對應(yīng)的函數(shù)值為 yi,計算 k=yk+1 yk,并由 此導(dǎo)出 k+14k為一常數(shù)，這是解本例的關(guān)鍵.解 設(shè)x2 - xi =x3 - x2=

7、=x7 - x6=d ,且xi對應(yīng)的函數(shù)值為 yi,則 k=yk+i yk= (ax2k+i+bxk+i+c) (axk2+bxk+c) =a(xk+d) 2xk2+b (xk+d) xk=2adxk+ (ad2+bd),故 k+i k=2ad (xk+i xk) =2ad2 (常數(shù)).由給出的數(shù)據(jù) yk： 51107185285407549717得k：5678100122142168k+1-A k：2222222026由此可見，549是被算錯的值，其正確值應(yīng)該為551.視野窗：例5揭示了二次函數(shù)的一個有趣現(xiàn)象：當(dāng)自變量x的值以相等的間隔值均勻增加時，對相應(yīng)函數(shù)值連續(xù)兩次求差，得到的值相等 植

8、入“焦點(diǎn)”例6 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c (aw0)頂點(diǎn)為C (1, 1),且過原點(diǎn) O.過拋物5 ,線上一點(diǎn)P (x, v)向直線y=4作垂線，垂足為 M ,連FM .(1)在直線x=1上有一點(diǎn)F (1, 3),求以PM為底邊的等腰 PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，4并證明此時 PFM為正三角形；(2)對拋物線上任意一點(diǎn)P,是否總存在一點(diǎn) N (1, t),使PM = PN恒成立？請說明理由.分析與解 對于(1),通過計算證明PF=PM;對于(2),由(1)知F為可能滿足 條件的點(diǎn)之一，再觀察拋物線上的特殊點(diǎn) (頂點(diǎn))便知是唯一點(diǎn)，以此猜想 F就是所求的N 點(diǎn)，通過數(shù)式計算證明 PM=PN

9、.(1) y=-x2+2x, F在PM的中垂線上，如圖F (1,3), M 在 y=5上, 44MH=5-3=",4 4 2'MP=1= -x2+2x,4x2 8x+1=0,圖在 RtAMNF 中，F(xiàn)M2=FN2+MN2, FM= J -1 立 1 =12 22，F(xiàn)M=MP=FP, PFM 為正三角形.當(dāng)，即N與F重合時PM=PN恒成立,如圖理由：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為 H.在 RtAPNH 中，PN2= (x1)2+ (t-y) 2=x22x+1+t2 -2ty+y2,pm2= (1-y)2=y2-5y+26.P 在拋物線上，y= - x2+2x,PN2=1

10、y+t2 2 25252ty+y =y2-2y+育3939c .一 -2y+2ty+-t2=0, y (2t2) + (-t2) =0 對任 意y恒成立.，2t 3=0 且2t2=0,t=3時，PM=PN 恒成立.2164視野窗：例6巧妙植入“焦點(diǎn)”，給出拋物線另一定義：平面內(nèi)，到一個定點(diǎn) F和一條 定直線l距離相等的點(diǎn)的集合稱為拋物線，F(xiàn)稱為“拋物線的焦點(diǎn)” ，l稱為“拋物線的準(zhǔn)線”命題者通過現(xiàn)有的知識向高一級知識發(fā)展，力求達(dá)到高一級水準(zhǔn)， 實(shí)現(xiàn)高、低知識的無縫對接，唯有高瞻遠(yuǎn)矚，才能覓得源頭活水.數(shù)學(xué)沖浪知識技能廣場一一,一一21 .已知二次函數(shù) y ax bx c(a 0)中自變量x和函

11、數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:則該二次函數(shù)的解析式為 .（天津市中考題）2 .二次函數(shù)y （x 2）2 9的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），橫、縱坐標(biāo) 4都是整數(shù)的點(diǎn)有 個.（2012年玉林市中考題）23 .如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點(diǎn)在x軸的正半軸上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y x 6x 上，設(shè)OA m（0 m 3）,矩形ABCD的周長為l ,則l與m的函數(shù)解析式為.（2012年貴州省中考題）（第3題）（第4題）、，22,4 . 一次函數(shù)y X的圖象如圖所不，點(diǎn) A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Ai, A2, A3,，A2008在y2 2軸的正半軸上，點(diǎn) Bl, B2, B3,，B2008在二次

12、函數(shù)y X2位于第一象限的圖象上，3若A0B1A1 , AA1B2A2 , AA2B3A3 ,，A2007B2008 A 2008 都為等邊三角形，則 A2007B 2008A2008 的邊長 = .州市中考題）.135. 2 一 5.右A（ ,y1）、B（ i,y2）、C（,y3）為二次函數(shù) y x 4x 5的圖象上的二點(diǎn)，則 43y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）.A、yiy2y3B、y3yic、y3yiy2 D、y2yy（臨汾市中考題）2 一 一- ,一 4 一 、,、-I2 一八6.二次函數(shù)y axbx的圖象如圖，右一兀一次方程 ax bx m 0/有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（）.1A.

13、-3B. 3不：/C. -6D. 9. ：/（2012年泰安市中考題）（第6題）2.7.二次函數(shù)y ax bx i（a 0）的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（-1,0）,設(shè)t a b 1,則t值的變化范圍是（）.A. 0 t 1 B. 0 t 2 C. 1 t 2 D. 1 t 1（2012年樂山市中考題）8.若二次函數(shù)ax bx c的x與y的部分對應(yīng)值如下表:則當(dāng)x 1時，y的值為().A. 5B. -3C. -13D. -27(泰安市中考題)9.已知 A (1,0), B (0, -1), C (-1,2), D (2, -1), E (4,2)五個點(diǎn)，拋物線 2. .y a(x 1) k(

14、a 0)經(jīng)過其中三個點(diǎn).(1)求證：C、E兩點(diǎn)不可能同日在拋物線y a(x 1)2 k(a 0)上；2(2)點(diǎn)A在拋物線y a(x 1) k(a 0)上嗎？為什么？(3)求a與k的值.(南通市中考題)10 .在 母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并 將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu).根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y (個)與銷售單價x (元/個)之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：(1)試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；(2)若許愿瓶的進(jìn)價為 6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤 W (元)與 銷售單價x (元/個)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若

15、許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大值.(第10題)(2012年青島市中考題)思維方法天地，山八、12一 工，、一一一 上，、一.，八11 .如圖，拋物線y x bx 2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線 2的頂點(diǎn)，且A （ 1 , 0）,點(diǎn)M （m, 0）是x軸上的一個動點(diǎn)， 當(dāng)MC+MD的值最小時， m的值為.（2012年貴陽市中考題）（第11題）12 .我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如 1,3, 9, 19, 33,是一個二階等差 數(shù)列.如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那

16、么 這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差，如 2, 4, 6, 8, 10就 是一個等差數(shù)列，它的公差為 2.如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù) 列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列，例如數(shù)列1, 3, 9, 19, 33,，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2, 6, 10, 14,，這是一個公差為 4的等差數(shù)列，所以數(shù)列1, 3, 9, 19, 33,是一個二階等差數(shù)列.那么，請問二階等差數(shù) 列1, 3, 7, 13,的第五個數(shù)應(yīng)是 .（2012年永州市中考題）13 .不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線 y x2 2mx m2 m 1的頂點(diǎn)都在一條直線上，則這

17、 條直線的函數(shù)解析式為 .（太原市競賽題）2 * ， 一 ， ,，、一14 .用列表法畫二次函數(shù) y x bx c的圖象時先列一個表，當(dāng)表中對自變量 x的值以 相等間隔的值增加時，函數(shù)y所對應(yīng)的值依次為：20, 56, 110, 182, 274, 380, 506,650,其中有一個值不正確，這個不正確的值是（）.A. 506 B. 380 C. 274 D. 182（杭州市中考題）15 .如圖，已知點(diǎn) A （4, 0）, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意 一點(diǎn)（不含端點(diǎn) O, A）,過P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù) y1和過P、A 兩點(diǎn)的二次函數(shù) y2的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為 B、C, 射

18、線OB與AC相交于點(diǎn)D.當(dāng)OD=AD=3時，這兩個二次函數(shù) 的最大值之和等于（）.A .5B .453C. 3D. 4（2012年湖州市中考題）16 .如圖，已知拋物線 y2x2 2,直線y2 2x 2,當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)彳I分別為 y、平,若y1刊2,取y1、y2 中的較小值記為 M;若y二y2,記M=y1二y2.例如：當(dāng)x=1時， y1=0, y2=4, y1vy2,此時 M=0 .下列判斷： 由當(dāng) x>0 時，y>y2；當(dāng)xv 0時，x值越大，M值越??；使得M大于2的x值不存在；使得M=1的x值是1或*2. 22其中正確的是（）.A.B.C.D.（2012年義烏市中考題）17 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBLOA,且OB=2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1,2)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；(3)連接AB,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn) P,使得Saabp=Saabq.(陜西省中考題)(第17題)(第18題)1218 .如圖，拋物線y-x2 bx c與x軸父于A、B兩點(diǎn)，與y軸父于點(diǎn)C,且QA=2, QC=3.(1)