含參變量的積分(2)課件

1、Review三重積分化累次積分12( , )( , ),:( , ),xyz x yzzx yx yD21( , )( , )( , , )( , , ).zx yz x yxyDf x y z dxdydzdxdyf x y z dz, :( , ),zczdx y( , , )( , , ).zdcf x y z dxdydzdzf x y z dxdy（先一后二）（先二后一）* ( , , ),( , , ),( , , ) ( , , )( , , ).uu x y z vv x y z ww x y zx y zu v w三重積分的變量替換*( , , ) ( , , ), ( ,

2、, ), ( , , )( , , ) det.( , , )f x y z dxdydzf x u v w y u v w z u v wx y zdudvdwu v w 投影法確定積分區(qū)域5.含參變量的積分(1)0( )( ), ( )( )(0), ()tF xf xtf x dxF tFNewtonLeibnitz 設對任意給定的 有xtt等式左邊對 積分,將 看成常數(shù),因此稱 為參變量.x(稱 為積分變量)從等式右邊可以看出積分的結果,.tt與 有關 是 的函數(shù)0( )( ),tG tf x dx記( ),G t則可微0( )( )( )( ).tdG tf x dxF tf tdt

3、且Question:,?一般的含參變量的積分 對參變量的連續(xù)性與可導性如何 怎樣求其導函數(shù)與積分 含參變量的定積分 含參變量的廣義積分 函數(shù)與B函數(shù)(下一節(jié)內(nèi)容)1.1.含參變量的定積分 , ,Th( , )m1.Da bg t xD 設二元函數(shù)在 上連,( )( , ) , .f tg t x dxa b續(xù) 則在上連續(xù).含參積分的連續(xù)性00( )( )( , )( , )f tf tg t x dxg tx dx0( , )( , )g t xg tx dx Pro f:)o( ,.g t xD在有界閉區(qū)域 上連續(xù) 從而一致連續(xù)2200000,0,()(),( , )( ,).ttxxg t

4、 xg tx 存在只要就有 000, , ,( , )( , ), ,t ta bttg t xg txx 特別地,只要就有 于是(). , ,( , ).fa bfC a b故 在上一致連續(xù) 從而( )( , )Remar :k ,f tg t x dxa b定理中在上連續(xù).即而000lim( )( ) , . ttf tf tta b ,000( )( , )lim( , ),ttf tg tx dxg t x dx于是00lim( , )lim( , ).ttttg t x dxg t x dx:對這一等式的解釋是( , ) , ,g t xa b 在上連續(xù)0,lim( )tttf t時

5、 對參變量 的極限運算與對積分變量( , ).xg t x dx的積分運算可以交換順序Remark: 一般來說,求極限的運算與積分運算是不能交換順序的.0,1 0,1, D 例如:0 ,( , )1 (1) ,1 01,g t xtxttxx或( , )g t xD則在 上不是處處連續(xù)的,且1lim ( , )0, 0,1,tg t xx 于是1100( , )( , )( , )1, 0,1).ttg t x dxg t x dxg t x dxt 110011lim( , )10lim ( , ).ttg t x dxg t x dx txo含參積分的可積性 , ,( , ),( )( ,

6、 ) , ( )( , ) (Thm2, ).bbaabaDa bg t xDf tg t x dxa bf t dtg t x dx dtg t x dt dx 設二元函數(shù)在 上連續(xù) 則在上可積,且 210.ln:xxIdxx例22211ln:lntttxxxx dtxx解2112001lntxxIdxx dt dxx 2110tx dx dt 112101txxdtt2113ln.12dtt( , )1,2 0,1txt x 在上連續(xù)含參積分的可導性 , ,( , ),( , )(Thm3.),tDa bg t xg t xC D 設且則( )( , ) , ,f tg t x dxa b

7、在上連續(xù)可導 且( )( , )( , ).tdf tg t x dxg t x dxdt , , , Proof(:(),ta btta bf tt 設有意義)則()( )1(, )( , )f ttf tg tt xg t xdxtt( , )tgx dx(,.)tttx介于 和之間依賴Thm1,( ) , ,tgf ta b由 的可證(同略)在上連續(xù)致連續(xù)性可導一且0()( )( )lim( , ).ttf ttf tf tg t x dxt ( , ),( , ),( , ),( , )( ,Rema).rk:ttg t x g t xtg t x dttxdg t x dxg t x

8、 dxdt當二元函數(shù)連續(xù)時 含參變量 的積分對于參變量 求導的運算與對于自變量 的積分運算可以交換次序: ,( )( , ),( )( , ),.tf tg t x dxf tg t x dxt于是 當積分難以計算時 可嘗試先求再對 積分2cos0( )cos( sin ),( ):2 .xF xexdF x證明例2cos0 ( )cos( sin )Proof:xF xexdx2cos0coscos( sin )xexd2cos0sin( sin )sinxexd IJ2cos01sin( sin )xIedxx而22coscos0011sin( sin )sin( sin )xxexxde

9、xx0().JJ (0)2 , ( )2 .FF x又(0)x ( )( )0.F xF x由的連續(xù)可導性,( , ),( , )( , , ),( ),Thm( )., , .tg t x g t xC a bc dttc d設設可導 且值域都屬于區(qū)間則( )( )( )( , ).ttf tg t x dx , ,a b在區(qū)間上可導 且( )( )( )( , ).ttdf tg t x dxdt( )( )( , )ttg t x dxt( ,( )( )( , ( )( ).g tttg ttt()( ) f: Proof ttf tt()( )()( )1(, )( , )ttttt

10、tg tt x dxg t x dxt ( )( )1(, )( , )ttg tt xg t xdxt()( )1(, )tttg tt x dxt()( )1(, )tttg tt x dxt.IJK( ) t()tt( ) t()tt( )( )( )( ),1 (, )( , ) ( , ),tttttIg tt xg t xdxtgx dx由微分中值定理. tttx其中 介于 和之間,一般與 有關( )( ) ( , ).ttttgIg t x dx利用 的連續(xù)性,有()( ),1 (, )()( ) (, ),tttJg tt x dxttttg ttt由積分中值定理( )().t

11、tt其中 介于和之間0,gt 由 的連續(xù)性和 的可導性,當時( ,( )( ).Jg ttt0( , ( )( ).tKg ttt 同理,當時,210( , )( )|,0,1,(0,1). 2().:xxz x yf txyt dtx yfCzy f xy求證例:.首先要證去絕對值明10( )()( )()xyxyzf t xyt dtf t txy dt10( )( )()xyxxyzf t ydtf ty dt22().xxzy f xy20( ).( )( ).:xxtsf xeds dtfxf x 求和例2( , ),:xtsg x teds解令法二則2( , ),xxgx te0(

12、 )( , ).xf xg x t dt2( , ),( , ), ( )0,( ).xg x tgx txxx均為上連續(xù)函數(shù)均為可導函數(shù)于是0( )( , )( ,( )( )xxfxgx t dtg xxx2200. xxxedtxe2201(1).2xxxxedxe0 ( )( )xf xfx dx (0)0,f注意到有:令交換解法一積分次序.2.2.含參變量的廣義積分Def. ,ItI設 是一個有限或無限區(qū)間,對每個關含參變量無窮積分的一致收斂性( , ),axf t x dx于變量 的無窮積分收斂 記為( )( , ).aF tf t x dx(,)0, NaMNtIN 若只要則都有

13、( , )( ),Maf t x dtF t( , )af t x dx則稱含參變量的無窮積分關于參變.tI量一致收斂含參變量無窮積分的連續(xù)性T,2) ( , ) ,),3)(hm., ), af t xDIaf t x dxtII 設1)在上連續(xù)無窮積分關于參變量一致有限區(qū)間收斂為則( )( , )aF tf t x dxI1)在區(qū)間 上連續(xù),( )( , ),aF tf t x dxI2)在區(qū)間 上可積且( , )( , ).IaaIf t x dx dtf t x dt dx , ,),2) ( , )( , )Th).( ,m,aaDIaf t xDf t x dxtIf t x dx

14、tItI設1)在 上處處連續(xù)可微,3)無窮積分對任意收斂,4)關于參變量一為有限區(qū)致收斂間含參變量無窮積分的可導性( )( , )( , ).aadF tf t x dxf t x dxdtt( )( , ),aF tf t x dxtI則在上連續(xù)可微 且0 (0).:axbxeeIdxbax例0:btxaIdxedt解法一.00 , txtxedxxedxta bt 下證對參變量一0btxaIdtedx1 ln.babdtta若積分可交換次序,則,0 ,M 事實上時1()txtxMx Mexedxxtt一致收斂,從而可以交換積分次序.11()().tMtMeeMMtttt0 , ,( ):.txbxeeta bI tdxx引入解二參數(shù)令法( , )() , 0,),txbxf t xeexa b在上連續(xù)可微 ( )0,I b 則( ),I a欲求( ),I t可以先求再積分.0( , ) , ,f t x dxta b對任意收斂00( , ) , txtf t x dxedxta b 對一致收斂,所以000( )( , )1 , xtxtxteI tf t x dxedxtt( )ln.I ttC ( )0,ln , ( )lnln .I bCb I tbt又 ( )lnln .II aba所求積分為因為22.: ,lnaxe