醫(yī)藥高數學第二章

1、2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院1/109第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節(jié)第一節(jié) 導數概念導數概念第二節(jié)第二節(jié) 函數的求導法則函數的求導法則第三節(jié)第三節(jié) 高階導數高階導數第四節(jié)第四節(jié) 隱函數及由參數方程所確定的函隱函數及由參數方程所確定的函數數相關變化率相關變化率的導數的導數第五節(jié)第五節(jié) 函數的微分函數的微分2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院2/109第一節(jié)第一節(jié) 導數概念導數概念一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數可導性與連續(xù)性的關系四、函數可導性與連續(xù)性的關系2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院3/1

2、09一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院4/109 xyo)(xfy c2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfycnt0 xm在 m 點處的切線x割線 m n 的極限位置 m t(當 時)割線 m n 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 mt 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 2

3、021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院5/109兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy cnt0 xmx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院6/109二、導數的定義二、導數的定義定義定義1 . 設函數)(xfy 在點0 x0limxx00)()

4、(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數若的某鄰域內有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數導數. 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院7/109運動質點的位置函數)(tfs 在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyc在 m 點處的切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(

5、0tf )(0 xf 00)()(xxxfxfxyx0lim若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x,lim0 xyx)(xf就說函數的導數為無窮大 .0limxx也稱在注:0 x2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院8/109導函數的定義 如果函數y=f(x)在區(qū)間i內每一點x都對應一個導數值則這一對應關系所確定的函數稱為函數y=f(x)的導函數 簡稱導數 記作y)(xf dxdy 或dxxdf)( 易見易見.)()(. 100 xxxfxf 求導數的步驟求導數的步驟);()(xfxxfy (1)求增量;)()(xxfxxfxy (2)算比值.lim0 xyyx (3)(3)求極限求

6、極限2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院9/109例例1. 求函數)n()(nxxfn.處的導數在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nan說明：說明：對一般冪函數xy ( 為常數) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院10/109hxhxhsin)sin(lim0例例2. 求函數xxfsin)(的導數. 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(l

7、im0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院11/109解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax 例例3)1, 0()( aaaxfx求函數求函數的導數的導數.ln)(aaaxx .)(xxee 即即例例4 求函數求函數 的導數的導數 )1, 0(log)( aaxxfa解解0()( )( )limhf xhf xfxh1(log)lnaxxa 01limlogahxhhx0log ()log ( )limaahxhxh01limlog (1)xhahhxx1.lnxa即即1

8、(ln )xx 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院12/109xy xyo解解( )(0),xf xfxx因為00( )(0)limlimxhf xfxxx, 1 00( )(0)limlim1xhf xfxxx .0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy處的可導性.處的可導性.在在討論函數討論函數0)( xxxf例例5),0()0( ff即即2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院13/109單側導數單側導數1.左導數左導數:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 2.右導數右導數:0000000( )()()()()l

9、imlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函數f(x)在某點處可導左導數和右導數都存在且相等.函數f(x)在開區(qū)間(a b)內可導是指函數在區(qū)間內每一點可導 函數f(x)在閉區(qū)間a b上可導是指函數f(x)在開區(qū)間(a b)內可導 且在a點有右導數、在b點有左導數 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院14/109三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義oxy)(xfy 0 xm1 1. .幾何意義幾何意義)( 為傾角為傾角即即切線的斜率,切線的斜率,處的處的在點在點表示曲線表示曲線tanxfxfxf(x)y)(xf00)()(,m(00切線方程為切線方程為).)(000 xx

10、xfyy 法線方程為法線方程為).()(1000 xxxfyy t2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院15/109解 21xy 解 所求法線方程為 并寫出在該點處的切線方程和法線方程 所求切線及法線的斜率分別為 4)1(2121xxk 所求切線方程為 )21(42xy 即4x+y-4=0 )21(412xy 即2x-8y+15=0 4)1(2121xxk 41112kk 例6.求等邊雙曲線 在點 處的切線的斜率1yx1( ,2)22021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院16/109例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.

11、解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院17/109處可導在點xxf)(四、四、 函數的可導性與連續(xù)性的關系函數的可導性與連續(xù)性的關系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點 x 處可導,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數)(xfy 在點 x 連續(xù) .注

12、意注意: 函數在點 x 連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.即2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院18/109解解1sinx因為是是有有界界函函數數 , ,01lim sin0 xxx所以處處有有但但在在0 x1sin0( )(0)xf xfxxx1sinx( )(0)0f xfxx當當時時, ,在在1 1和和1 1之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在. .( )0.f xx 所以在在處處連連續(xù)續(xù)0(0)lim( )0 xff x1sin,0( ),0,0 xxf xxx例例8 討論函數討論函數( )f x所以在在x=0處不可

13、導處不可導在x=0處的連續(xù)性和可導性2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院19/109內容小結內容小結1. 導數的實質:3. 導數的幾何意義:4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等. )(c )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的極限;切線的斜率;()xa lnxaa2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院20/109思考與練習思考與練習1. 函數 在某點 處的導數)(xf0 x)(0 xf

14、 )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數 ,)(0 xf 是數值;聯系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯系 ? )()(00 xfxf？與導函數2. 設)(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院21/1094. 設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都

15、存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數在 x = 0 連續(xù) .2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院22/109解解: 因為5. 設)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院23/109解解: 因為6. 設)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以.

16、2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院24/109二、反函數的求導法則 三、復合函數的求導法則 一、函數的和、差、積、商的求導法則 2.2 函數的求導法則四、基本求導法則與導數公式 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院25/109一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.具有導數都在及函數xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()

17、()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv則2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院26/109此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設, 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結論成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院27/109(2)vuvuvu )(證證: : 設, )()()(x

18、vxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxu推論推論: )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu( c為常數 )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院28/109xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例

19、2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 yex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x) (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求導法則xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan

20、 x 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院29/109 )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數的單調性知且由反函數的連續(xù)性知 因此,)()(1的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11則2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院30/109 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因為yarctan x是xtan y的反

21、函數 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 類似地有 211)cotarc(xx 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因為yarcsin x是xsin y的反函數 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsi

22、nxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 類似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函數的求導法則:2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院31/109在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導.復合函數 fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u 可導, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy則

23、2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院32/109例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導.推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院33/109 解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 復合函數的求導法則:例 10 212sinxxy 求dxdy 例7 解 函數212sinxxy是由 ysin u 212xxu復合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxud

24、xdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列導數:(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院34/109例 13ylncos(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeee

25、dxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 復合函數的求導法則:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 2021-11-

26、8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院35/109四、基本求導法則與導數公式四、基本求導法則與導數公式 1. 常數和基本初等函數的導數 (p94) )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院36/1092. 導數的四則運算法則 )(v

27、uvu )( ucuc )( vuvuvuvu2vvuvu( c為常數 )0( v4. 復合函數求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函數求導法則 1( )fx1( )fy2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院37/109例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx1y 所以1212x)2( x112xx例例12.設),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院38/109例例13. 求解解:,1arctan2sin2xey

28、x.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院39/109例例14. 設求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院40/109例例15. 若)(uf 存在 , 求(lncos )fx的導數.xfdd( lncos

29、)fx(lncos ) x lncos( )uxf u這兩個記號含義不同練習練習: 設,)(xfffy .,)(yxf求可導其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院41/109思考與練習思考與練習1. 設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),2021-11-8南京中醫(yī)藥

30、大學信息技術學院42/1092. 求下列函數的導數解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院43/1093. 設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院44/109二

31、、高階導數的運算法則一、高階導數的概念 2.3 高階導數2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院45/109一、高階導數的概念一、高階導數的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運動2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院46/109定義定義.若函數)(xfy 的導數)(xfy可導,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導數的導數稱為三階導數 ,1n階導數的導數稱為 n 階導數 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導數 , 記作y )(

32、xf 的導數為依次類推 ,分別記作則稱2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院47/109證明 因為22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )(22dxdydxddxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明 例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明 函數22xxy滿足關系式013 yy

33、 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院48/109設( )fx存在，求下列函數的二階導數22.d ydx解解:（1）dydx例例2.（1）();xyf e（2）( ).f xye()xxfe e()()xxfee22d ydx()()()xxxxfeefee()()()xxxxxfeeefe e2()()xxxxfe efe e（2）dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院49/109設,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)

34、1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例3.思考思考: 設, )(為任意常數xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院50/109nx)1 ( ,3xaeay 例例4. 設求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 設, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院51/109例例6. 設,sin

35、 xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院52/109例例7. 設,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f

36、)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院53/109二、高階導數的運算法則二、高階導數的運算法則都有 n 階導數 , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuc)(nuc(c為常數)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設函數vunn) 1(2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院54/109vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( v

37、uvu vu 3vu 用數學歸納法可證萊布尼茲萊布尼茲公式公式成立 .2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院55/109例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 設,22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院56/109(1) 逐階求導法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導數公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導數的求法)(1nxa1)(!) 1(nn

38、xan)(1nxa1)(!nxan如,2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院57/109xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求下列函數的 n 階導數?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111( 1) !(2)(1)nnnnynxx 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院58/109二、由參數方程所確定的函數的導數一、隱函數的導數一、隱函數的導數2.4隱函數和參數方程求導隱函數和參數方程求導三、相關變

39、化率2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院59/109一、隱函數的導數一、隱函數的導數顯函數與隱函數 形如yf(x)的函數稱為顯函數 例如 ysin x yln xex 都是顯函數 由方程f(x y)0所確的函數稱為隱函數 把一個隱函數化成顯函數 叫做隱函數的顯化 例如 方程xy310確定的隱函數為 31 xy 隱函數的求導法 把方程兩邊分別對x求導數 然后從所得的新的方程中把隱函數的導數解出. 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院60/109 例1 求由方程eyxye0所確定的隱函數y的導數 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyy+xy0 方程中每一項對x求導得 解 從而

40、yexyy(xe y0) 例2 求由方程y52yx3x70所確定的隱函數yf(x)在 x0處的導數y|x0 因為當x0時 從原方程得y0 所以 5y4y2y121x60方程兩邊分別對x求導數得 解 由此得 2521146yxy 21|25211|0460 xxyxy 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院61/109例例3. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院62/109 解 上式兩邊再對

41、x求導 得 的二階導數 例4 例例 4求由方程0sin21yyx所確定的隱函數 y 方程兩邊對x求導 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdycos22 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院63/109y f(x)ln f(x) 對數求導法適用于求冪指函數yu(x)v(x)的導數及多因子之積和商的導數 此方法是先在yf(x)的兩邊取對數 然后用隱函數求導法求

42、出y的導數 設yf(x) 兩邊取對數 得ln yln f(x) 兩邊對x 求導 得對數求導法 )(ln1xfyy 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院64/109 例5 求yx sin x (x0)的導數 xxxxyy1sinlncos1 于是 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 解法二 這種冪指函數的導數也可按下面的方法求. 解法一 上式兩邊對x 求導 得 兩邊取對數 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx)sinln(cos)ln(si

43、nsinlnsinxxxxxxxeyxxx 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院65/109上式兩邊對x求導 得 說明 嚴格來說 本題應分x4 x1 2x3三種情況討論 但結果都是一樣的 例6 例例 6 求函數) 4)(3() 2)(1(xxxxy的導數 先在兩邊取對數 得 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4) )41312111(211xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 解 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院66/109 設x(t)具有反函數t-1(x) 且t-1(x)與yy(t)構成復合函數yy-1(x) 若x(t)和y(t)都

44、可導 則)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy即 )()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 二、由參數方程所確定的函數的導數 設 y 與 x 的函數關系是由參數方程)()(tytx確定的 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院67/109若 x(t)和 y(t)都可導 則)()(ttdxdy 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtat

45、bdxdycotsincos)cos()sin( 切點的坐標為224 cos0aax 切線方程為)22(22axabby 即 bxay2ab 0 224 cos0aax 224sin0bby 所求切線的斜率為abdxdyt4 例例7 7 求橢圓tbytaxsincos在相應于4 t點處的切線方程 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院68/109 再求速度的方向 設a是切線的傾角 則軌道的切線方向為于是拋射體在時刻 t 的運動速度的大小為 x (t)=v1 y(t)=v2-gt 求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向 例8 拋射體運動軌跡的參數方程為 22121gttvytvx 速度的水

46、平分量與鉛直分量分別為 先求速度的大小 解 22)()(tytxv2221)(gtvv 12)()(tanvgtvtxtydxdy 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院69/109討論 已知x(t), y(t) 如何求y對x的二階導數y? 例例9. 設,1221tytx求.dd22xyxydd;1t22ddxy21tt31t例例10. 設)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty解解:2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院70/109的函數yf(x)的二階導數 解解 )()(txtydx

47、dy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 解 2cotcos1sintttdxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22(t2np n為整數) 22)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 2cotcos1sinttt(t2n n 為整數) dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat 例例

48、11計算由擺線的參數方程)cos1 ()sin(tayttax所確定 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院71/109 三、相關變化率三、相關變化率)(, )(tyytxx為兩可導函數yx ,之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對 t 求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院72/109例例12. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升 t 分后

49、其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院73/109二、微分的幾何意義一、微分的概念一、微分的概念 2.5函數的微分函數的微分三、微分的運算法則四、微分在近似計算中的應用2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院74/109一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 a ,

50、 則,2xa 0 xx面積的增量為220)(xxxa20)(2xxxxx 020 xa xx 02)( x關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxa02稱為函數在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院75/109的微分微分,定義定義: 若函數)(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( a 為不依賴于x 的常數)則稱函數)(xfy 而 稱為xa在)(xf0 x點記作yd,df或即xayd定理定理: 函數)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 x

51、fa且)( xoxa即xxfy)(d0在點0 x可微可微,2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院76/109定理定理 : 函數證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoaxyxxa故axf)(0)( xoxa)(xfy 在點 的可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfa即xxfy)(d02021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院77/109定理定理 : 函數)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且,

52、 )(0 xfa即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點 的可導,0 x)0)(0時 xf則2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院78/109注注: :0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院79/109 例1 求函數yx2在x1和x3處的微分

53、dy(x2)|x1x2x 函數yx2在x3處的微分為 dy(x2)|x3x6x 例2 求函數 yx3當x2 x 002時的微分 yf(x)在點x0可微yaxo(x) dy= f (x0)x 解 函數yx2在x1處的微分為 解 先求函數在任意點x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函數當x2 dx002時的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, x=0.022021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院80/109 當|x|很小時 |ydy|比|x|小得多 因此 在點m的鄰近 我們可以用切線段來近似代替曲線段 y是曲線上點的縱坐標的增量; dy是過點(x

54、0 f(x0)的切線上點的縱坐標的增量. 當x從x0變到x0+x時二、微分的幾何意義則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數也叫作微商自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院81/109d(x) x1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (x) x1 (sin x)cos x (cos x)sin x

55、(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 導數公式: 1.基本初等函數的微分公式三、微分的基本公式和運算法則2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院82/109axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxx

56、d211)cotarc(微分公式: 導數公式: 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院83/1092、 微分的四則運算法則微分的四則運算法則設 u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uc(c 為常數)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變3. 復合函數的微分則復合函數vudd ucdvuuvdd 2ddvvuuv2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院84/109 在求復合函數的導數時 可以不寫出中間變量 例3 ysin(2x1

57、) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) ux) 則dyf (u)du 解 把2x1看成中間變量u 則 例4 例例 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信

58、息技術學院85/109例例5. 設,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例6. 在下列括號中填入適當的函數使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.cc注意: 數學中的反問題往往出現多值性.2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院86/109四、微分在近似計算中的應用1.函數的近似計算 )()(0 xoxxfy

59、當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院87/109特別當xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院88/109180d

60、x29sin的近似值 .解解: 設,sin)(xxf取300 x,62929180 x則2123)0175. 0(485. 06sin6cos)180(例例7. 求18029sin29sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8. 計算xx1)1 (2021-11-8南京中醫(yī)藥大學信息技術學院89/109例例9. 有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334rv鍍銅體積為 v 在01. 0, 1rr時體積的增量,vvvd01. 01rrrr 2401. 01rr)(cm13.