第四章,線性代數(shù)模型

1、-作者xxxx-日期xxxx第四章,線性代數(shù)模型【精品文檔】第四章 線性代數(shù)模型§ 幾個(gè)數(shù)學(xué)游戲向量、向量空間、矩陣等都是線性代數(shù)中的重要概念，本節(jié)將通過(guò)一些簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明它們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用。例4.1 （人、狗、雞、米過(guò)河問(wèn)題）這是一個(gè)人所共知而又十分簡(jiǎn)單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過(guò)河，但小船除了需要有人去劃以外，最多只能載一物過(guò)河，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狗要咬雞、雞要吃米，問(wèn)此人應(yīng)如何過(guò)河。要知道例4.1的答案并不困難。第一次，人只能帶雞過(guò)河。到了對(duì)岸，人只有自己回來(lái)，將雞留在對(duì)岸，否則，又返回了初始狀態(tài)。接下來(lái)，人可以帶狗過(guò)河，也可以帶米過(guò)河，但回來(lái)時(shí)有一定要將雞帶回，按此推導(dǎo)下

2、去，讀者不難找到過(guò)河方法。我們研究本例的目的不在于找出答案，而是想設(shè)計(jì)出一種讓計(jì)算機(jī)自行搜索尋找答案的方法。為此目的，我們先把例1轉(zhuǎn)化為狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題。首先，應(yīng)當(dāng)如何表達(dá)狀態(tài)呢？不同的情況應(yīng)采取不同的方法，在本例中，人雞狗米都只有兩種可能狀態(tài)，即在此岸或在彼岸（不在此岸）。我們將用向量來(lái)表示狀態(tài)，可采取如下方法：一物在此岸時(shí)相應(yīng)分量取1，而在彼岸時(shí)則相應(yīng)分量取為0，例如（1,0,1,0）表示人和雞在此岸，而狗和米則在彼岸。（i）可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如（0,1,1,0）就是一個(gè)不可取的狀態(tài)，因?yàn)楣窌?huì)咬雞。本題中可取狀態(tài)（即系統(tǒng)允許的狀態(tài)）可以用窮舉法列出來(lái)，它們是：人在此

3、岸 人在對(duì)岸(1，1，1，1) (0，0，0，0)(1，1，1，0) (0，0，0，1)(1，1，0，1) (0，0，1，0)(1，0，1，1) (0，1，0，0)(1，0，1，0) (0，1，0，1)總共有十個(gè)可取狀態(tài)。對(duì)一般情況，也可找出狀態(tài)為可取的充要條件，讓計(jì)算機(jī)根據(jù)充要條件來(lái)檢查得到的狀態(tài)是否為可取狀態(tài)。（ii）可取運(yùn)算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需要經(jīng)過(guò)狀態(tài)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際問(wèn)題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此再引入一個(gè)四維向量（轉(zhuǎn)移向量），用它來(lái)反映擺渡情況。例如（1，1，0，0）表示人帶狗擺渡過(guò)河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、

4、（1，0，0，1）四個(gè)。為實(shí)現(xiàn)本題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，規(guī)定一個(gè)狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算。規(guī)定狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之和為一新的狀態(tài)向量，其運(yùn)算為對(duì)應(yīng)分量相加，且規(guī)定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。例如（1，1，1，1）+（1，0，1，0）=（0，1，0，1），其實(shí)際意義為人狗雞米原來(lái)均在此岸，人帶雞過(guò)河，轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌臓顟B(tài)此岸僅剩狗和米，（注：此處作這樣的運(yùn)算規(guī)定完全是為了與實(shí)際情況相符）。在具體轉(zhuǎn)移時(shí)，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問(wèn)題化為：由初始狀態(tài)（1，1，1，1）出發(fā)，經(jīng)過(guò)奇數(shù)次的上述運(yùn)算能否轉(zhuǎn)化為（0，0，0，0）的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，進(jìn)而，如果能，我們還想知道具體應(yīng)當(dāng)如何轉(zhuǎn)化 。 由于

5、規(guī)定的運(yùn)算十分容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，這樣一來(lái)就把一個(gè)數(shù)學(xué)游戲轉(zhuǎn)化為了一個(gè)可以在計(jì)算機(jī)上計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題（即建模）。當(dāng)然，像本題這樣簡(jiǎn)單的問(wèn)題，也可通過(guò)筆算方法求解，具體可如下進(jìn)行分析（第一次渡河）（第二次渡河）=以下可繼續(xù)進(jìn)行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實(shí)現(xiàn)。上述分析實(shí)際上采用的是窮舉法，對(duì)于規(guī)模較大的問(wèn)題是不宜采用的。例4.2 （夫妻過(guò)河問(wèn)題）這是一個(gè)古老的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題。有三對(duì)夫妻要過(guò)河，船最多可載兩人，約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在場(chǎng)的情況下與其他男子在一起，問(wèn)此時(shí)這三對(duì)夫妻能否過(guò)河？這一問(wèn)題的狀態(tài)和運(yùn)算與前一問(wèn)題有所不同，根據(jù)題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩岸的男女人數(shù)，過(guò)河也同樣要反映出

6、性別，故可如下定義：（i）可取狀態(tài)：用H和W分別表示此岸的男子和女子數(shù)，狀態(tài)可用矢量（H，W）表示，其中0H、W3。可取狀態(tài)為（0,i），(i,i)，(3,i)，0i3。(i,i)為可取狀態(tài)，這是因?yàn)榭偪梢赃m當(dāng)安排而使他們是i對(duì)夫妻。（ii）可取運(yùn)算：過(guò)河方式可以是一對(duì)夫妻、兩個(gè)男人或兩個(gè)女人，當(dāng)然也可以是一人過(guò)河。轉(zhuǎn)移向量可取成（1）im, （1）in），其中m、n可取0、1、2，但必須滿足1m+n2。當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)表示過(guò)河。當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)表示由對(duì)岸回來(lái)，運(yùn)算規(guī)則同普通向量的加法。問(wèn)題歸結(jié)為由狀態(tài)（3,3）經(jīng)奇數(shù)次可取運(yùn)算，即由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化為(0,0)的轉(zhuǎn)移問(wèn)題。和上題一樣，我

7、們既可以用計(jì)算機(jī)求解，也可以分析求解，此外，本題還可用作圖方法來(lái)求解。在HW平面坐標(biāo)中，以“·”表示可取狀態(tài)，從A（3,3）經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到達(dá)O（0，0）。奇數(shù)次轉(zhuǎn)移時(shí)向左或下移動(dòng)1-2格而落在一個(gè)可取狀態(tài)上，偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時(shí)向右或上移動(dòng)1-2格而落在一個(gè)可取狀態(tài)上。另外，由于奇數(shù)次與偶數(shù)次過(guò)河產(chǎn)生的效果是不同的，為了區(qū)分起見(jiàn)，用實(shí)箭線表示奇數(shù)次轉(zhuǎn)移，用虛箭線表示第偶數(shù)轉(zhuǎn)移，圖4-1給出了一種可實(shí)現(xiàn)的方案，故 （圖4-1）這三對(duì)夫妻是可以過(guò)河的。假如按這樣的方案過(guò)河，共需經(jīng)過(guò)十一次擺渡。不難看出，在上述規(guī)則下，4對(duì)夫妻就無(wú)法過(guò)河了，讀者可以自行證明之。類似可以討論船每次可載三人的情況，其結(jié)

8、果是5對(duì)夫妻是可以過(guò)河的，而六對(duì)以上時(shí)就無(wú)法過(guò)河了。假如船每次可以載四人，則任意多對(duì)夫妻均可過(guò)河，最易看出的一個(gè)方案是讓一對(duì)夫妻當(dāng)船員工即可。關(guān)于夫妻過(guò)河還可以編出許多其他形式的問(wèn)題，下面我們來(lái)討論一些同樣有趣的問(wèn)題。為了敘述簡(jiǎn)便，先約定一些符號(hào)，這些符號(hào)將被應(yīng)用于以下的各個(gè)問(wèn)題之中。記想過(guò)河的夫妻對(duì)數(shù)為n，船可載的人數(shù)為m，n對(duì)夫妻過(guò)河所需的最少擺渡次數(shù)為k。（問(wèn)題1）2對(duì)夫妻要過(guò)河，船每次只能渡2人，應(yīng)如何過(guò)河，最少擺渡幾次？（即n=2，m=2，求k=?）本問(wèn)題很容易解答，讀者可自行完成（答案為k=5）。（問(wèn)題2）n對(duì)夫妻要過(guò)河，船每次可載n-1人，應(yīng)如何過(guò)河，最少要擺幾次渡？（n=m-1

9、，求k=?）。答案如下：（1）n=3，m=2，k=11 （2） n=4，m=3，k=9 （3）n5，m=n-1，k=7（問(wèn)題3）1883年，呂卡斯（Récréations）提出以下問(wèn)題：n對(duì)夫妻要過(guò)河，船至少應(yīng)可載幾人（m?）他們才可能過(guò)河，最少擺渡次數(shù)為多少？德蘭努瓦（M. Delannoy）證明：（1）n=2， m=2，k=5 （2）n=3，m=3，k=11 （3）n=4， m=3，k=9 （4）n=5，m=3，k=11（5）n6，m=4, k=2n-3 （問(wèn)題4）德豐特內(nèi)（M. De Fonteney）指出，如果河中有一個(gè)島，那么，不管有多少對(duì)夫妻，只要有一只可載2人

10、的船，他們均能過(guò)河（2對(duì)、3對(duì)時(shí)不需要島），最少擺渡次數(shù)為。 更難的還可以考慮如下一類問(wèn)題：（1）阿拉伯?huà)D女生活于閨閣之中，她們應(yīng)不會(huì)劃船，此時(shí)問(wèn)題又會(huì)怎樣？（2）阿拉伯男子可以娶妾，假如有n位男人帶著他們各自的妻妾過(guò)河，問(wèn)題的結(jié)果又會(huì)變成怎樣？這些問(wèn)題因過(guò)于復(fù)雜，我們就此擱筆，不再繼續(xù)討論下去了。上面介紹的幾個(gè)例子本身并無(wú)多大實(shí)際意義，但它們展示了如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題的方法，這種方法是值得借鑒的。§4.2 Dürer魔方（或幻方）問(wèn)題有些較為復(fù)雜的問(wèn)題，開(kāi)始時(shí)常常給人以一種變幻莫測(cè)的感覺(jué)。但經(jīng)過(guò)細(xì)微的分析研究，可以發(fā)現(xiàn)其中存在著某些內(nèi)在的關(guān)系。在使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)

11、工具后，這些內(nèi)在關(guān)系就被一一揭露出來(lái)了。德國(guó)著名的藝術(shù)家Albrecht Dürer(1471-1521)于1514年曾鑄造了一枚名為“Melencotia I”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫(huà)面上充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)字及幾何圖形。這里，我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問(wèn)題。1、Dürer魔方這是一個(gè)由自然數(shù)組成的方塊，稱之為Dürer魔方，其數(shù)字排列如下： 什么是魔方？我們來(lái)下一個(gè)定義。我們所謂的魔方是指由1n2這n2個(gè)正整數(shù)按一定規(guī)則排列成的一個(gè)n行n列的正方形。按不同的要求，它可以具有某些特定的性質(zhì)，n稱為此魔方的階。例如，上面給出的Dürer魔方是4階

12、的，它的每一行數(shù)字之和為34，每一列數(shù)字之和為34，把對(duì)角線（或反對(duì)角線）上的數(shù)字加起來(lái)是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和也是34，若把四個(gè)角上的數(shù)字加起來(lái)還是34，多么奇妙！最后一行中間兩個(gè)數(shù)字恰好是銅幣的鑄造時(shí)間1514年。構(gòu)造魔方是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說(shuō)三千二百多年前（公元前2200年），因治水出名的皇帝大禹就構(gòu)造了三階魔方（被人們稱“洛書(shū)”），至今還有人把它當(dāng)作符咒用于某些迷信活動(dòng)， （被人稱為洛書(shū)的3階魔方）大約在十五世紀(jì)時(shí)，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后構(gòu)造出了39階的魔方。如何構(gòu)造出各種階

13、數(shù)的魔方呢？假如你知道方法，構(gòu)造它其實(shí)并不困難。在構(gòu)造n階魔方時(shí)，首先要看清n是奇數(shù)還是偶數(shù)，在構(gòu)造時(shí)要巧妙地利用某種形式的對(duì)稱性。我們先來(lái)看n是奇數(shù)的情況，奇數(shù)階魔方的構(gòu)造方法如下：首先，在第一行中間寫(xiě)1；然后每次向右上方移一格，依次填由小到大排列的下一個(gè)數(shù)，（注：向上移出界時(shí)填下一列最后一行的小方格；向右移出界時(shí)填第一列上一行的小方格，就好像上下邊是相連的、左右邊也是相連的一樣）。此外，當(dāng)下面想填的格已填過(guò)數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時(shí)，改填剛才填的格子正下方的小方格，此后繼續(xù)按原方法填，直至完全填完所有小方格。例如，按上述方法可構(gòu)造出下面的5階魔方： 作為練習(xí)，請(qǐng)你給出一個(gè)7階的魔方（見(jiàn)習(xí)題）

14、。偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法。限于篇幅的限止，我們不在此詳細(xì)介紹了，作為一個(gè)例子，我們采用他的方法構(gòu)造一個(gè)6階的魔方。第一步 利用1-9，10-18，19-27及28-36構(gòu)造出4個(gè)3階的魔方，它們分別是： 第二步 利用圖11-9中的A、B、C、D容易拼出一個(gè)6階的魔方。為了保證性質(zhì)的成立，還需要作一些調(diào)整，如果你有興趣，不妨可以找一下調(diào)整的方法，（調(diào)整后得到的6階魔方見(jiàn)圖4-2所示） 圖4-2上述方法并非構(gòu)造魔方的唯一方法，但不論采用什么方法來(lái)構(gòu)造魔方，都應(yīng)當(dāng)盡可能利用某種形式的對(duì)稱性。在魔方的構(gòu)造中包含了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但由于

15、很多人研究過(guò)這些問(wèn)題，我們一般只能把它們當(dāng)成一些練習(xí)題?；ゲ幌嗤耐A魔方究竟有多少個(gè)？人們知道，三階魔方只有一個(gè)，當(dāng)然，通過(guò)鏡面反射和繞中心旋轉(zhuǎn)可以產(chǎn)生8種不同的表現(xiàn)形式。四階魔方共有880個(gè)，而通過(guò)反射與旋轉(zhuǎn)可有7040種不同的形式。沒(méi)有人知道五階或更高階魔方的數(shù)量。例如，對(duì)五階魔方，人們可用某種辦法作出實(shí)質(zhì)上不同的57600個(gè)（不含反射與旋轉(zhuǎn)而得出的），如加上用其他方法構(gòu)造的，已知的五階魔方總數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了一千三百萬(wàn)個(gè)，魔方數(shù)量隨階數(shù)n增長(zhǎng)已達(dá)到了驚人的速度，令人目瞪口呆。2、松馳問(wèn)題的討論假如我們放松對(duì)構(gòu)造魔方的數(shù)必須是1-n2的要求而允許它們?nèi)∪我鈱?shí)數(shù)，（就像將整數(shù)規(guī)劃或0-1規(guī)劃松馳

16、成相應(yīng)的線性規(guī)劃那樣），問(wèn)題也許會(huì)簡(jiǎn)單得多。我們?nèi)砸笏鼈兙哂心承┨囟ǖ男再|(zhì)，并不妨仍把它們稱為魔方，當(dāng)然，此時(shí)問(wèn)題已發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變化，不再是原先討論的問(wèn)題了。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們用n階方陣來(lái)記這樣的魔方。易見(jiàn)，若A與B均為具有指定性質(zhì)的魔方，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)和，A+B也是。這一性質(zhì)表明，具有指定性質(zhì)的魔方全體構(gòu)成一個(gè)線性空間。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，要刻畫(huà)一個(gè)線性空間只需指出它的維數(shù)并求出此線性空間的一組基底即可。不妨仍以4階方陣為例。首先，定義0-方與1-方如下： R=C=D=S=0 R=C=D=S=4其中R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和?，F(xiàn)在，我們來(lái)研究具有性質(zhì)R=C=D=S的方陣構(gòu)

17、成的線性空間 ，類似于構(gòu)造n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)基，我們利用0和1來(lái)構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡(jiǎn)單的方陣，不難看出，1在第一行中共有4種排法，為保持上述性質(zhì)的成立，在第一行的1取定后，第二行中的1尚有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三行與第四行的1就完全定位了，故一共可作出8個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱之為基本魔方并記之為Q1，Q8。 顯然，D中任何一個(gè)元素都可以用Q1，Q2，Q8來(lái)線性表示，它們能否構(gòu)成D的一組基，關(guān)鍵在于它們是否線性無(wú)關(guān)。容易看出所以Q1，Q2，Q8這8個(gè)基本方是線性相關(guān)的，即至少存在一個(gè)Qj，可以通過(guò)其它7個(gè)基本方的線性組合得到，這8個(gè)基本方的地位是等同的，故可不妨設(shè)j=8。下

18、面驗(yàn)證Q1，Q2，Q7是否線性相關(guān)。令，即 = 等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)元素相比較，得r1=r2=r7=0，所以Q1，Q2，Q7是線性無(wú)關(guān)的。Q1，Q2，Q7是D空間的一組基，D中任何元素都可以由Q1，Q2，Q7的線性組合生成?？梢赃@樣認(rèn)為： Q1，Q2，Q8是D的生成集，但不是最小生成集，而 Q1，Q2，Q7是D的最小生成集?，F(xiàn)在，我們回到Albrecht Dürer鑄造的銅幣，以Q1，Q2，Q7的線性組合表示銅幣上的魔方，D= d1Q1+d2Q2+d7Q7，即解方程組 = 解得D=8Q1+8Q2+7Q3+6Q4+3Q5+3Q6+5Q73、D空間的子空間和D空間的擴(kuò)展改變對(duì)Dürer

19、魔方數(shù)字和的要求，我們可以利用線性子空間的定義，構(gòu)造D的子空間或者構(gòu)造新的空間包含D空間。這里，我們規(guī)定僅包含0方的向量空間維數(shù)為零。（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)都相等。這是集合G=rE,rR，G是以G=E為基的一維向量空間，是D的一維子空間。（2）要求列和，行和及每條主、付對(duì)角線上數(shù)字和都相等，得到5維泛對(duì)角方的向量空間B。例如： H=N=R=C=S=46其中H為主對(duì)角線和，N為付對(duì)角線和。它的基BB為 （3）要求行和，列和及兩條對(duì)角線上的元素和相等，得到8維向量空間Q，基向量QB= Q1，Q2，Q7，N0，其中Q1，Q2，Q7是D的基，例如： R=C=D=30（4）僅要求行和與列和相等，可以得

20、到10維向量空間，它的基B= Q1，Q2，Q7，N1，N2，N3，其中Q1，Q2，Q7是D的基，而 （5）如果我們對(duì)數(shù)字沒(méi)任何要求，那么所有的4×4數(shù)字方組成的向量空間M，它的維數(shù)是16，基向量MB中的元素應(yīng)是標(biāo)準(zhǔn)基，（即僅有一個(gè)元素為1，其余元素均為0的方陣）。Botsch（1976年）證明了可以構(gòu)造大量的D的子空間或D的擴(kuò)張空間。對(duì)于1與16之間的每一個(gè)數(shù)K，都存在K維的4×4方的向量空間，其中的每一方陣都具有某些特定的性質(zhì)。由上可知，有下式成立（向量空間）D（維數(shù)） 0 1 5 7 8 10 16 § 密碼的設(shè)計(jì)、解碼與破譯密碼的設(shè)計(jì)和使用至少可以追溯到四千

21、多年前的埃及 、巴比倫、羅馬和希臘，歷史極為久遠(yuǎn)。古代隱藏信息的方法主要有兩大類：其一為隱藏信息載體，采用隱寫(xiě)術(shù)等；其二為變換信息載體，使之無(wú)法為一般人所理解。本節(jié)只涉及后者，介紹一些采用數(shù)學(xué)工具對(duì)信息加密、解密的方法。在密碼學(xué)中，信息代碼被稱為密碼，加密前的信息被稱為明文，經(jīng)加密后不為常人所理解的用密碼表示的信息被稱為密文（ciphertext），將明文轉(zhuǎn)變成密文的過(guò)程被稱為加密（enciphering），其逆過(guò)程則被稱為解密（deciphering），而用以加密、解密的方法或算法則被稱為密碼體制（crytosystem）。記全體明文組成的集合為U，全體密文組成的集合為V，稱U為明文空間，V

22、為密文空間。加密常利用某一被稱為密鑰的東西來(lái)實(shí)現(xiàn)，它通常取自于一個(gè)被稱為密鑰空間的含有若干參數(shù)的集合K。按數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，加密與解密均可被看成是一種變換（或稱映射）：取一kK，uU，令，v為明文u在密鑰K下的密文，而解碼則要用到K的逆變換K-1，。由此可見(jiàn)，密碼體系雖然可以千姿百態(tài)，但其關(guān)鍵還在于密鑰的選取。隨著計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛發(fā)展，大量各具特色的密碼體系不斷涌現(xiàn)。離散數(shù)學(xué)、數(shù)論、計(jì)算復(fù)雜性、混沌、，許多相當(dāng)高深的數(shù)學(xué)知識(shí)都被用上，逐步形成了（并仍在迅速發(fā)展的）具有廣泛應(yīng)用面的現(xiàn)代密碼學(xué)。本節(jié)不準(zhǔn)備涉及分組加密算法、身份證與消息認(rèn)證、數(shù)字簽名、橢圓曲線密碼、量子密碼、混沌密碼、序列密碼等

23、具有某些獨(dú)特功能的密碼新體制。在這里我們只對(duì)古典密碼、希爾密碼作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹，它們僅用到較為簡(jiǎn)單的線性代數(shù)知識(shí)。對(duì)需要用到其他數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)代密碼有興趣的讀者可以參閱密碼學(xué)方面的專門(mén)書(shū)籍。早期密碼大體可分三類：代替法密碼、移位密碼和代數(shù)密碼，。（代替法密碼）代替法密碼采用另一個(gè)字母表中的字母來(lái)代替明文中的字母，明文字母與密文字母保持一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但采用的符號(hào)改變了。加密時(shí)，把明文換成密文，即把明文中的字母用密文字母表中對(duì)應(yīng)位置上的字母取代。解密時(shí)，則把密文換成明文，即把密文中的字母用明文字母表中對(duì)應(yīng)位置上的字母代回,解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆過(guò)程。在代替法加密過(guò)程中，明文字母表、密文字母表及兩者間的

24、對(duì)應(yīng)關(guān)系即為代替法密鑰，密鑰既可以采用標(biāo)準(zhǔn)字母表，也可以任意建立。例如，我們可采用以下的明文字母表和密文字母表： 明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ密鑰還經(jīng)常用一密鑰字或密鑰短語(yǔ)生成混淆字母表。密鑰字或密鑰短語(yǔ)可以存放在識(shí)別碼、通行字或密鑰的秘密表格中?；旌弦粋€(gè)字母表，常見(jiàn)的有兩種方法，這兩種方法都采用了一個(gè)密鑰字或一個(gè)密鑰短語(yǔ)。 方法一： a)選擇一個(gè)密鑰字或密鑰短語(yǔ)，例如：constructb)去掉其中重復(fù)的字母，得：construc)在修改后的密鑰字后面接上從標(biāo)準(zhǔn)字母表中去掉密鑰中的已有字母后剩

25、下的字母，得：明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 CONSTRUABDEFGHIJKLMPQVWXYZ 在設(shè)計(jì)密鑰時(shí)，也可在明文字母表中選擇一個(gè)特定字母，然后從該特定字母開(kāi)始寫(xiě)密鑰字并將密鑰字隱藏于其中。例如，對(duì)于上例，選取特定字母k，則可得： 明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ 方法二：a)選擇一個(gè)密鑰字或密鑰短語(yǔ)，例如：constructb)去掉其中重復(fù)的字母，得：construc)這些字母構(gòu)成矩陣的第一行，矩陣的后續(xù)各行由標(biāo)準(zhǔn)字母表中去掉密鑰字的字母后剩下

26、的字母構(gòu)成 d)把所得矩陣中的字母按列的順序選出，得：caivobjwndkxselytfmzrgpuhq按照此方法產(chǎn)生的字母表稱為混淆字母表。 在代替法加密中，除了使用混淆字母表外，還可以使用混淆數(shù)?；煜龜?shù)由以下方法產(chǎn)生： a)選一密鑰字或密鑰短語(yǔ)，例如：constructb)按照這些字母在標(biāo)準(zhǔn)字母表中出現(xiàn)的相對(duì)順序給它們編號(hào)，對(duì)序列中重復(fù)的字母則自左向右編號(hào)，得：construct 143675928c)自左向右選出這些數(shù)字，得到一混淆數(shù)字組：143675928，混淆字母表由從小到大的順序取矩陣中相應(yīng)列得出,先取第一列、再取第8列、，依次得出秘文字母表。 為增加保密性，在使用代替法時(shí)還可利

27、用一些其他技巧，如單字母表對(duì)多字母表、單字母對(duì)多字母、多重代替等，這里就不再一一細(xì)說(shuō)了。（移位密碼體制） 移位密碼采用移位法進(jìn)行加密，明文中的字母重新排列，本身不變，只是位置改變了。 現(xiàn)在所知的最為古老的加密方法天書(shū)就是移位法的一種。早在4000多年前，古希臘人就用一種名叫“天書(shū)”的器械來(lái)加密消息。該密碼器械是用一條窄長(zhǎng)的草紙纏繞在一個(gè)直徑確定的圓筒上，明文逐行橫寫(xiě)在紙帶上，當(dāng)取下紙帶時(shí)，字母的次序就被打亂了，消息得以隱蔽。收方閱讀消息時(shí)，要將紙帶重新繞在直徑與原來(lái)相同的圓筒上，才能看到正確的消息，在這里圓筒的直徑起到了密鑰的作用。 另一種移位法采用將字母表中的字母平移若干位的方法來(lái)構(gòu)造密文字

28、母表，傳說(shuō)這類方法是由古羅馬皇帝凱撒最早使用的，故這種密文字母表被稱為凱撒字母表。例如，如用將字母表向右平移3位的方法來(lái)構(gòu)造密文字母表，可的： 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC使用這一密文字母表加密，THANK YOU 被加密成 WKDQN BRX，起到了一定的保密作用。 以上兩種移位極易被人破譯，為打破字母表中原有的順序還可采用所謂路線加密法，即把明文字母表按某種既定的順序安排在一矩陣中，然后用另一種順序選出矩陣中的字母來(lái)產(chǎn)生密文表。列矩陣表示如下：THEHISTORYOFZJUISMORE

29、THANONEHUNDREDYEARS再按事先約定的方式選出密文。例如，如按列選出，得到密文： touthyhrihueeysanahomndrifoorsszrnetjeed使用不同的順序進(jìn)行編寫(xiě)和選擇，可以得到各種不同的路線加密體制。對(duì)于同一明文消息矩陣，采用不同的抄寫(xiě)，得到的密文也是不同的。如果對(duì)上例明文消息矩陣從左上角開(kāi)始沿對(duì)角線抄寫(xiě)，得到的密文是： tohuretiyhhhsoiyuamfsennoztadorjrrneseed 在使用上述方法時(shí)矩陣的規(guī)模必須事先約定，它增加了對(duì)明文的保護(hù)程度。當(dāng)明文超過(guò)規(guī)定矩陣的大小時(shí)，可以另加一矩陣。當(dāng)需要加密的字母數(shù)小于矩陣大小時(shí)，可以在矩陣中

30、留空位或以無(wú)用的字母來(lái)填滿矩陣。 移位法也可和代替法結(jié)合使用，并使用約定的單詞或短語(yǔ)作密鑰，以進(jìn)一步加強(qiáng)保密性，這就是鑰控列序加密法。例如，用密鑰字 construct對(duì)明文MATHEMATICAL MODELING IS USEFUL加密：1 4 36 75 9 2 8CONSTRUCTMATHEMATICALMODELINGISUSEFUL按混淆數(shù)的順序選出各列，得到密文： MCNLTLFTLIAAGMDSHMSEOSIIUAEE矩陣的最后一行可以用無(wú)用的字母填滿，但若不加字母，則保密程度可以有所提高。移位法的使用可重復(fù)多次，只進(jìn)行一次移位加密的稱為一次移位法，經(jīng)多次移位的則稱為多次移位法

31、.（代替法與移位法密碼的破譯） 對(duì)竊聽(tīng)到的密文進(jìn)行分析時(shí)，窮舉法和統(tǒng)計(jì)法是最基本的破譯方法，其他特殊的方法大多是這兩種方法的綜合和改進(jìn)。 窮舉分析法就是對(duì)所有可能的密鑰或明文進(jìn)行逐一試探，直至試探到“正確”的為止。此方法需要事先知道密碼體制或加密算法（但不知道密鑰或加密的具體辦法）。破譯時(shí)需將猜測(cè)到的明文和選定的密鑰輸入給算法，產(chǎn)生密文，再將該密文與竊聽(tīng)來(lái)的密文比較。如果相同，則認(rèn)為該密鑰就是所要求的，否則繼續(xù)試探，直至破譯。以英文字母為例，當(dāng)已知對(duì)方在采用代替法加密時(shí)，如果使用窮舉字母表來(lái)破譯，那么對(duì)于最簡(jiǎn)單的一種使用單字母表單字母單元代替法加密的密碼，字母表的可能情況有26！種，可見(jiàn)，單純

32、地使用窮舉法，在實(shí)際應(yīng)用中幾乎是行不通的，只能與其它方法結(jié)合使用。 統(tǒng)計(jì)法是根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行猜測(cè)的。在一段足夠長(zhǎng)且非特別專門(mén)化的文章中，字母的使用頻率是比較穩(wěn)定的。在某些技術(shù)性或?qū)ｉT(mén)化文章中的字母使用頻率可能有微小變化。 在上述兩種加密方法中字母表中的字母是一一對(duì)應(yīng)的，因此，在截獲的密文中各字母出現(xiàn)的概率提供了重要的密鑰信息。根據(jù)權(quán)威資料報(bào)道，可以將26個(gè)英文字母按其出現(xiàn)的頻率大小較合理地分為五組：I. t,a,o,i,n,s,h,r; II. e; III. d,l; IV. c,u,m,w,f,g,y,p,b; V. v,k,j,x,q,z; 不僅單個(gè)字母以相當(dāng)穩(wěn)定的頻率出現(xiàn)，相鄰字母對(duì)和

33、三字母對(duì)同樣如此。按頻率大小將雙字母排列如下： th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha,nd,ou,ea,ng,as,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of使用最多的三字母按頻率大小排列如下： The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth統(tǒng)計(jì)的章節(jié)越長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果就越可靠。對(duì)于只有幾個(gè)單詞的密文，統(tǒng)計(jì)是無(wú)意義的。下面介紹一下統(tǒng)計(jì)觀察的三個(gè)結(jié)果：a) 單詞the在這些統(tǒng)計(jì)中有重要的作用；b) 以e，s，d，t為結(jié)尾的英語(yǔ)單詞超過(guò)了一半；c) 以t，a，s，w為起始字母的英語(yǔ)單詞約

34、為一半。對(duì)于a），如果將the從明文中刪除，那么t的頻率將要降到第二組中其他字母之后，而h將降到第三組中，并且th和he就不再是最眾多的字母了。以上對(duì)英語(yǔ)統(tǒng)計(jì)的討論是在僅涉及26個(gè)字母的假設(shè)條件下進(jìn)行的。實(shí)際上消息的構(gòu)成還包括間隔、標(biāo)點(diǎn)、數(shù)字等字符?？傊?，破譯密碼并不是件很容易的事。（希爾密碼） 代替密碼與移位密碼的一個(gè)致命弱點(diǎn)是明文字符和密文字符有相同的使用頻率,破譯者可根據(jù)統(tǒng)計(jì)出來(lái)的字符頻率中找到規(guī)律，進(jìn)而找出破譯的突破口。要克服這一缺陷，提高保密程度就必須改變字符間的一一對(duì)應(yīng)。1929年，希爾利用線性代數(shù)中的矩陣乘積運(yùn)算，打破了字符間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)計(jì)了一種被稱為希爾密碼的代數(shù)密碼。為了便

35、于計(jì)算，希爾首先將字符變換成數(shù)，例如，對(duì)英文字母，我們可以作如下變換： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 希爾密碼的基本思想很簡(jiǎn)單，將密文分成n個(gè)一組，用對(duì)應(yīng)的數(shù)字代替，就變成了一個(gè)個(gè)n維向量。如果取定一個(gè)n階的非奇異矩陣A（此矩陣為主要密鑰），用A去乘每一向量，即可起到加密的效果，解密也不麻煩，將密文也分成n個(gè)一組，同樣變換成n維向量，只需用去乘這些向量，即可將他們變回原先的明文，（因?yàn)椋?/p>

36、。 在具體實(shí)施時(shí)，讀者很快會(huì)發(fā)現(xiàn)一些困難：（1）為了使數(shù)字與字符間可以互換，必須使用取自025之間的整數(shù)（2）由線性代數(shù)知識(shí)， ，其中為A的伴隨矩陣，這說(shuō)明在求A的逆矩陣時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)。不解決這些困難，上述想法仍然無(wú)法實(shí)現(xiàn)。解決的辦法是引進(jìn)同余運(yùn)算，并用乘法來(lái)代替除法，（如同線性代數(shù)中用逆矩陣代替矩陣除法一樣）。 讓我們從最簡(jiǎn)單的情況做起，令n = 1，用數(shù)去乘025中的數(shù)，以26為模取同余，并要求存在0，.，25，使得，有 (mod26)，或要求存在，使得 (mod26)。經(jīng)簡(jiǎn)單的分析即可發(fā)現(xiàn)，并非所有025中的數(shù)都可用作這里的，事實(shí)上我們可證明下面的定理： 定理 ,若使得 (mod26)

37、，則必有，其中為與26的最大公因子。 證 任取，令，于是 （mod26）故，由的任意性可知必有 (mod26)即 上式又說(shuō)明必有，不然它將整除1，而這是不可能的。此外，我們還不難證明這樣的還是由唯一確定的。事實(shí)上設(shè)有 和 則 故必有（也因?yàn)椋?由定理，026中除13以外的奇數(shù)均可取作這里的，下表為經(jīng)計(jì)算求得的逆元素 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25例 取a = 3用希爾密碼體系加密語(yǔ)句THANK YOU 步1 將THANK YOU轉(zhuǎn)換成（20，8，1，14，11，25，15，21） 步2 每一分量乘以

38、3并關(guān)于26取余的（8，24，3，16，7，23，19，11） 密文為HXCPG WSK現(xiàn)在，我們已不難將方法推廣到n為一般整數(shù)的情況了，只需在乘法運(yùn)算中結(jié)合應(yīng)用取余，求逆矩陣時(shí)用逆元素乘來(lái)代替除法即可。例 取A = 則 ，用A加密THANK YOU，再用對(duì)密文解密解： （希爾密碼加密）用相應(yīng)數(shù)字代替字幕，劃分為兩個(gè)一組并表示為向量： 用矩陣A左乘各向量加密（關(guān)于26取余）得 得到密文 JXCPI WEK （希爾密碼解密）用左乘得到的向量，即可還原為原來(lái)的向量，讀者可自行檢驗(yàn)之。希爾密碼是以矩陣法為基礎(chǔ)的，明文與密文的對(duì)應(yīng)由n階矩陣A確定。矩陣A的階數(shù)是事先約定的，與明文分組時(shí)每組字母的字母數(shù)

39、量n相同，如果明文所含字?jǐn)?shù)與n不匹配，則最后幾個(gè)分量可任意補(bǔ)足。（的求法）方法1 利用公式，例如，若取，則， (mod26) ，即 方法2 利用行初等變換的高斯消去法。將矩陣(A, E)中的矩陣A消為E，則原先的E即被消成了，如A= 的逆矩陣可如下求： 寫(xiě)出 ， ，用9乘第二行化第二行的3為1： ， ，在從第一行減去第二行的2倍，并取同余得 ， 此時(shí)，括號(hào)內(nèi)左邊的矩陣為單位陣，而右邊的矩陣即為要求的希爾密碼系統(tǒng)的解密必須知道該體系是用矩陣加密的并依賴于以下幾把鑰匙（key）：Key1 矩陣A的階數(shù)n，即明文是按幾個(gè)字母劃分的。Key2 變換矩陣A，只有知道了A才可能推算出Key3 明文和密文由

40、字母表轉(zhuǎn)換成n維向量所對(duì)應(yīng)的非負(fù)整數(shù)表（上面為方便起見(jiàn)，我們采用了字母的自然順序，事實(shí)上，在采用希爾密碼時(shí)，我們?nèi)钥杉嬗么娣?，以便增加破譯的難度、）。（希爾密碼的破譯）希爾密碼體系為破譯者設(shè)置了多道關(guān)口，加大了破譯難度。 破譯和解密是兩個(gè)不同的概念，雖然兩者同樣是希望對(duì)密文加以處理得到明文的內(nèi)容，但是他們有一個(gè)最大的不同破譯密碼時(shí)，解密必需用到的鑰匙未能取得，破譯密碼的一方需要依據(jù)密文的長(zhǎng)度，文字的本身特征，以及行文習(xí)慣等等各方面的信息進(jìn)行破譯。破譯密碼雖然需要技術(shù)，但更加重要的是“猜測(cè)”的藝術(shù)?！安聹y(cè)”的成功與否直接決定著破譯的結(jié)果。破譯希爾密碼的關(guān)鍵是猜測(cè)文字轉(zhuǎn)換成n維向量所對(duì)應(yīng)的字母表

41、，最重要的是獲得加密矩陣A。由線性代數(shù)的知識(shí)可以知道，矩陣完全由一組基的變換決定，對(duì)于nn矩陣A，只要猜出密文中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 (i=1, 2, , n)對(duì)應(yīng)的明文 (i=1, 2, , n) ，即可確定A，將密碼破譯。在實(shí)際計(jì)算中，可以利用以下方法：令 ， 則 ， 取矩陣Q | P,經(jīng)過(guò)一系列初等行變換，將由密文決定的n維矩陣Q化為單位陣I(n*n)的時(shí)候，由明文決定的矩陣P自動(dòng)化為 ：，初等行變換 例如有密文如下：goqbxcbuglosnfal;根據(jù)英文的行文習(xí)慣以及獲取密碼的途徑和背景，猜測(cè)是兩個(gè)字母為一組的希爾密碼，前四個(gè)明文字母是dear；則前兩組明文字母de和ar 對(duì)應(yīng)的二維

42、向量是：， 按同一對(duì)應(yīng)整數(shù)表，密文中對(duì)應(yīng)這兩組的二維向量是： , 利用這一逆矩陣，可對(duì)截獲密文進(jìn)行解密，破譯出的電文是Dear Mac God forbid. 這只是對(duì)最簡(jiǎn)單的情況進(jìn)行的舉例，如果加密矩陣的階數(shù)大于2，需要的密文應(yīng)該有較長(zhǎng)長(zhǎng)度，所需進(jìn)行的計(jì)算量也是很大的，但在猜測(cè)到后求解加密矩陣的計(jì)算量卻并不算大，是與同階的。本節(jié)中介紹的希爾密碼體制是以矩陣法為基礎(chǔ)的，實(shí)際上，希爾首先提出的是聯(lián)立方程法，而后經(jīng)簡(jiǎn)化提出了利用矩陣進(jìn)行運(yùn)算的希爾密碼，由線性代數(shù)知識(shí)，這一點(diǎn)不難理解。希爾密碼加密、解密、破譯的過(guò)程中有兩個(gè)要素非常重要：第一是字母與n維向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換所依據(jù)的非負(fù)整數(shù)表，本節(jié)中所舉的是最

43、自然的情況；當(dāng)然如果依據(jù)其它的整數(shù)表也是完全可以進(jìn)行的，其情況將會(huì)更復(fù)雜一些，破譯的難度就會(huì)增大。第二個(gè)要素是加密矩陣，如何定義、求解這個(gè)矩陣對(duì)于密碼的加密和破譯更加關(guān)鍵。如前所述，加密時(shí)應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)行列式的值與26沒(méi)有公因子的矩陣，使用時(shí)可以任意選擇。§4.4 考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（Leslie模型）對(duì)Logistic模型的批評(píng)意見(jiàn)除了實(shí)際統(tǒng)計(jì)時(shí)常采用離散變化的時(shí)間變量外，另一種看法是種群增長(zhǎng)不應(yīng)當(dāng)只和種群總量有關(guān)，也應(yīng)當(dāng)和種群的年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)。不同年齡的個(gè)體具有不同的生育能力和死亡率，這一重要特征沒(méi)有在Logistic模型中反映出來(lái)。基于這一事實(shí)，Leslie在20世紀(jì)40年代建立

44、了一個(gè)考慮種群年齡結(jié)構(gòu)的離散模型。由于男、女性人口（或雌、雄性個(gè)體）通常有一定的比例，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，建模時(shí)可以只考慮女性人數(shù)，人口總量可以按比例折算出來(lái)。將女性按年齡劃分成m+1個(gè)組，即0,1,m組，例如，可5歲（或10歲）一組劃分。將時(shí)間也離散成間隔相同的一個(gè)個(gè)時(shí)段，即5年（或10年）為一個(gè)時(shí)段。記j時(shí)段年齡在i組中的女性人數(shù)為N（i,j），bi為i組每一婦女在一個(gè)時(shí)段中生育女孩的平均數(shù)，為i組女性存活一時(shí)段到下一時(shí)段升入i+1組的人數(shù)所占的比例（即死亡率di=1-）同時(shí)假設(shè)沒(méi)有人能活到超過(guò)m組的年齡。實(shí)際上可以這樣來(lái)理解這一假設(shè)，少量活到超過(guò)m組的婦女（老壽星）人數(shù)可以忽略不計(jì)，她們?cè)缫殉?/p>

45、過(guò)了生育期，對(duì)人口總量的影響是微小的而且是暫時(shí)性的，對(duì)今后人口的增長(zhǎng)和人口的年齡結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生任何影響，假設(shè)bi、不隨時(shí)段的變遷而改變，這一假設(shè)在穩(wěn)定狀況下是合理的。如果研究的時(shí)間跨度不過(guò)于大，人們的生活水平、整個(gè)社會(huì)的醫(yī)療條件及周?chē)纳瞽h(huán)境沒(méi)有過(guò)于巨大的變化，bi、事實(shí)上差不多是不變的，其值可通過(guò)統(tǒng)計(jì)資料估算出來(lái)。根據(jù)以上假設(shè)可以得出以下j+1時(shí)段各組人數(shù)與j時(shí)段各組人數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：顯然，。簡(jiǎn)記， 并引入矩陣則方程組（）可簡(jiǎn)寫(xiě)成矩陣A被稱為L(zhǎng)eslie矩陣（或射影矩陣），當(dāng)矩陣A與按年齡組分布的初始種群向量N0=(N(0,0)， N( 1,0)， ，N(m,0)T一經(jīng)給定時(shí)，其后任一時(shí)段種

46、群按年齡分布的向量即可用（）式迭代求得人口（或種群）的增長(zhǎng)是否合理不僅僅取決于人口的總量是否過(guò)多或過(guò)少，還取決于整個(gè)的年齡結(jié)構(gòu)是否合理即各年齡段人口數(shù)的比例是否恰當(dāng)。通過(guò)對(duì)Leslie矩陣A的研究，可以得到許多十分有用的信息。女性有一定的生育期，例如k組以后的女性不再生育，則有bk0，bk+1，bm均為零（初始若干個(gè)bi也可能為零），此時(shí)A可簡(jiǎn)記為其中A1和A2分別為k+1階和m-k階方陣，于是因?yàn)锳3是一個(gè)下三角陣且對(duì)角元素全為零，由高等代數(shù)中的哈密頓一凱萊定理，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)Aj的最后m-k列均為零向量。其實(shí)際意義為t=0時(shí)已超過(guò)育齡的女性，其目前的存在對(duì)若干年后的人口分布已毫無(wú)影響，她對(duì)

47、人口發(fā)展的貢獻(xiàn)將由她在此前所生育的女孩來(lái)完成，這一點(diǎn)當(dāng)然是十分顯然的。f(A1,A2,A3)為某一用A1、A2、A3表達(dá)的表示式，Aj的這一子塊較為復(fù)雜，并直接反映出k+1組以后各組的年齡結(jié)構(gòu)，對(duì)它的討論可以導(dǎo)出避免社會(huì)老齡化的條件?，F(xiàn)在，我們來(lái)研究一下Leslie矩陣，并進(jìn)而研究時(shí)間充分長(zhǎng)后種群的年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量上的趨勢(shì)。容易看出A1是非奇異的，因?yàn)槭聦?shí)上，不難直接驗(yàn)證：由Aj的分塊結(jié)構(gòu)可知，對(duì)A1及Nj+1的前k+1個(gè)分量也成立。為敘述方便，不妨仍記 為 Nj，并記A1為A，簡(jiǎn)略討論一下前k+1組人口數(shù)量的變化情況。由于人口生育率和死亡率與年齡之間存在著固定的關(guān)系，可以預(yù)料，經(jīng)過(guò)足夠多年后，

48、人口年齡分布應(yīng)趨于穩(wěn)定的比率，即下時(shí)段初與本時(shí)段初同組人數(shù)應(yīng)當(dāng)近似地對(duì)應(yīng)或比率，且各組人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定。現(xiàn)在我們來(lái)指出Leslie矩陣的一些性質(zhì)，并證明這些預(yù)料是正確的。定理 Leslie矩陣具有唯一的正特征根1,與之相應(yīng)的特征向量為證 直接計(jì)算可得A的特征多項(xiàng)式為 （4.1）等價(jià)于當(dāng)由時(shí)，由單調(diào)下降地趨于零，由此立即可以看出A具有唯一的正特征根，（被稱為種群的固有增長(zhǎng)率，其計(jì)算法有許多文獻(xiàn)介紹）?，F(xiàn)求A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，記，解線性方程組，即 （4.2）（4.2）式中只有k個(gè)獨(dú)立方程，但有k+1個(gè)未知量，取，可求得 （4.3）不難看出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，人口總量將趨于定且各

49、年齡人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例也將趨于一個(gè)定值。在固定的情況下，只和有關(guān)（i=0,k-1）。為i組人的存活率，人們總希望它們?cè)酱笤胶?，但由于醫(yī)療條件和醫(yī)學(xué)水平的限止，在一定時(shí)期內(nèi) ，它們基本上是一些常數(shù)，這樣，事實(shí)上人們只能通過(guò)控制bj的值（即實(shí)行計(jì)劃生育）來(lái)保證，從而使人口數(shù)趨于穩(wěn)定。如能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，各年齡組人數(shù)之比將無(wú)法更改地趨于一個(gè)穩(wěn)定的比例（除非pi的值改變）。如果將Leslie模型用于家禽或家畜預(yù)測(cè)，情況就有了較大的不同，人們不僅可以控制各年齡段的繁殖率bi，還可以通過(guò)宰殺來(lái)控制各年齡段的存活率pi。從而，人們不僅可以控制該種群的總量，還能人為地調(diào)整各年齡段種群的比例，使之達(dá)到更為

50、理想的狀態(tài)。在定理中，我們證明了是Leslie矩陣A的唯一正特征根。實(shí)際上，我們還可以進(jìn)一步證明必定是A的特征方程的單根，而A的基余n-1個(gè)特征根均滿足，i=2,n （）定理 若Leslie矩陣A的第一行中至少有兩個(gè)相鄰的bi>0，則（4.4）中嚴(yán)格不等式成立，即，i=2,n且,其中C為某一常數(shù)，其值由bi、pi及No決定。定理的條件通常總能滿足，故在j充分 大時(shí)有，即各年齡組人口的比例總會(huì)趨于穩(wěn)定，且。若1>1，種群量增大；1<1，種群量減少。綜上所述，只要先求出 A的正特征根1及其對(duì)應(yīng)的特征向量，確定出C的值，依據(jù)調(diào)查所得的人口初值即可大致了解人口發(fā)展的總趨勢(shì)?？疾欤?.1）中的f1()，記R = f1(1) = b0 + p0b1 + + (p0pk,1)bk。易見(jiàn)R即女性一生所生女孩的平均值。由于f1()的單調(diào)性又有定理 =1的充要條件為R = 1。（注：證明非常簡(jiǎn)單）由于并非每一婦女均能活到足夠的年齡并生下R個(gè)女孩，為了保障人口平衡，每一婦女可生子女?dāng)?shù)可定為某一略大于2的數(shù)（這里假設(shè)男女之比為 1：1），稱為臨界生育率。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料計(jì)算的結(jié)果，中國(guó)婦女的臨界生育率約為左右。人口迅猛發(fā)展使人們?nèi)找媲逍训匾庾R(shí)到，人類必須控制自身的發(fā)展，正因?yàn)槿绱?，近幾十年?lái)人們開(kāi)始用現(xiàn)代控制理論的觀點(diǎn)和方法來(lái)研究人口問(wèn)題，建立了人口發(fā)展的控制模型，在這方面，我國(guó)一些控制論