排隊論模型及實例最新版本

1、某維修中心在周末現只安排一名員工為顧客提供服務。新來某維修中心在周末現只安排一名員工為顧客提供服務。新來維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務，則需要排隊維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務，則需要排隊等待。若排隊的人數過多，勢必會造成顧客抱怨，會影響到等待。若排隊的人數過多，勢必會造成顧客抱怨，會影響到公司產品的銷售；若維修人員多，會增加維修中心的支出，公司產品的銷售；若維修人員多，會增加維修中心的支出，如何調整兩者的關系，使得系統(tǒng)達到最優(yōu)如何調整兩者的關系，使得系統(tǒng)達到最優(yōu). 例例10.110.1 排隊的例子排隊的例子它是一個典型的排隊的例子它是一個典型的排隊的例子, 關于排隊的例子

2、有很多關于排隊的例子有很多, 例如：例如：上下班坐公共汽車上下班坐公共汽車, 等待公共汽車的排隊等待公共汽車的排隊; 顧客到商店購物形顧客到商店購物形成的排隊成的排隊; 病人到醫(yī)院看病形成的排隊病人到醫(yī)院看病形成的排隊; 售票處購票形成的排售票處購票形成的排隊等隊等; 另一種排隊是物的排隊，例如文件等待打印或發(fā)送另一種排隊是物的排隊，例如文件等待打印或發(fā)送; 路路口紅燈下面的汽車、自行車通過十字路口等等口紅燈下面的汽車、自行車通過十字路口等等.排隊現象是由兩個方面構成，一方要求得到服務，另一方設排隊現象是由兩個方面構成，一方要求得到服務，另一方設法給予服務。我們把要求得到服務的人或物（設備）統(tǒng)

3、稱為法給予服務。我們把要求得到服務的人或物（設備）統(tǒng)稱為顧客顧客, 給予服務的服務人員或服務機構統(tǒng)稱為服務員或服務給予服務的服務人員或服務機構統(tǒng)稱為服務員或服務臺。顧客與服務臺就構成一個排隊系統(tǒng)，或稱為隨機服務系臺。顧客與服務臺就構成一個排隊系統(tǒng)，或稱為隨機服務系統(tǒng)。統(tǒng)。 顯然缺少顧客或服務臺任何一方都不會形成排隊系統(tǒng)顯然缺少顧客或服務臺任何一方都不會形成排隊系統(tǒng).對于任何一個排隊服務系統(tǒng)，每一名顧客通過排隊服務系統(tǒng)對于任何一個排隊服務系統(tǒng)，每一名顧客通過排隊服務系統(tǒng)總要經過如下過程：顧客到達、排隊等待、接受服務和離總要經過如下過程：顧客到達、排隊等待、接受服務和離去，其過程如下圖所示去，其過

4、程如下圖所示: : 顧客總體顧客總體隊隊 伍伍輸出輸出輸入輸入 服務臺服務臺服務系統(tǒng)服務系統(tǒng)輸入輸入過程過程顧客源總體：顧客的來源可能是有限的，也可顧客源總體：顧客的來源可能是有限的，也可 能是無限的能是無限的 2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念排隊服務系統(tǒng)的基本概念到達的類型：顧客是單個到達，或是成批到達到達的類型：顧客是單個到達，或是成批到達相繼顧客到達的間隔時間：通常假定是相互獨相繼顧客到達的間隔時間：通常假定是相互獨立、同分布的，有的是等距間隔時間，有的是立、同分布的，有的是等距間隔時間，有的是服從服從Poisson分布，有的是服從分布，有的是服從k階階Erlang分布分布輸入過程是描述顧客

5、來源及顧客是按怎樣的規(guī)律抵達排隊系統(tǒng)輸入過程是描述顧客來源及顧客是按怎樣的規(guī)律抵達排隊系統(tǒng)排隊排隊規(guī)則規(guī)則損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達時損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達時,若有服務臺均被占若有服務臺均被占,服務機構服務機構 又不允許顧客等待又不允許顧客等待, 此時該顧客就自動辭去此時該顧客就自動辭去 2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念排隊服務系統(tǒng)的基本概念等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達時若所有服務臺均被占，他們等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達時若所有服務臺均被占，他們 就排隊等待服務。在等待制系統(tǒng)中就排隊等待服務。在等待制系統(tǒng)中,服務服務 順序又分為：先到先服務順序又分為：先到先服務,即顧客按到達即顧客按到達 的先后順序接受

6、服務；后到先服務的先后順序接受服務；后到先服務 .混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合，分為隊長混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合，分為隊長(容量容量) 有限的混合制系統(tǒng)，等待時間有限的混有限的混合制系統(tǒng)，等待時間有限的混 合制系統(tǒng)，以及逗留時間有限制的混合合制系統(tǒng)，以及逗留時間有限制的混合 系統(tǒng)系統(tǒng).排隊規(guī)則是指服務允許不允許排隊，顧客是否愿意排隊排隊規(guī)則是指服務允許不允許排隊，顧客是否愿意排隊服務服務機構機構服務臺的數目服務臺的數目: 在多個服務臺的情形下，是串在多個服務臺的情形下，是串 聯或是并聯；聯或是并聯； 2. 排隊服務系統(tǒng)的基本概念排隊服務系統(tǒng)的基本概念顧客所需的服務時間服從什

7、么樣的概率分布，顧客所需的服務時間服從什么樣的概率分布，每個顧客所需的服務時間是否相互獨立，是成每個顧客所需的服務時間是否相互獨立，是成批服務或是單個服務等。常見顧客的服務時間批服務或是單個服務等。常見顧客的服務時間分布有：定長分布、負指數分布、超指數分分布有：定長分布、負指數分布、超指數分布、布、k k階階ErlangErlang分布、幾何分布、一般分布等分布、幾何分布、一般分布等. . 3.符號表示符號表示排隊論模型的記號是排隊論模型的記號是2020世紀世紀5050年代初由年代初由D. G. Kendall (D. G. Kendall (肯肯達爾達爾) )引入的，通常由引入的，通常由3

8、35 5個英文字母組成，其形式為個英文字母組成，其形式為其中其中A表示輸入過程，表示輸入過程，B表示服務時間，表示服務時間，C表示服務臺數目，表示服務臺數目，n表示系統(tǒng)空間數。例如表示系統(tǒng)空間數。例如:nCBA/ M/M/S/ 表示輸入過程是表示輸入過程是Poisson流流, 服務時間服從負服務時間服從負指數分布指數分布, 系統(tǒng)有系統(tǒng)有S個服務臺平行服務個服務臺平行服務, 系統(tǒng)容量為無窮系統(tǒng)容量為無窮的的等待制排隊系統(tǒng)等待制排隊系統(tǒng).(2) M/G/1/ 表示輸入過程是表示輸入過程是Poisson流，顧客所需的服務流，顧客所需的服務時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務時間為獨立、服

9、從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng)臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng).GI/M/1/表示輸入過程為顧客獨立到達且相繼到達的間表示輸入過程為顧客獨立到達且相繼到達的間隔時間服從一船概率分布，服務時間是相互獨立、服從隔時間服從一船概率分布，服務時間是相互獨立、服從負指負指數分布，系統(tǒng)中只有一個服務臺，容量為無窮的等待制數分布，系統(tǒng)中只有一個服務臺，容量為無窮的等待制系統(tǒng)系統(tǒng) 3. 符號表示符號表示(4) Ek/G/1/K表示相繼到達的間隔時間獨立、服從表示相繼到達的間隔時間獨立、服從k階階Erlang分布，服務時間為獨立、服從一般概率分布，系統(tǒng)中只有一分布，服務時間為獨立、服從一

10、般概率分布，系統(tǒng)中只有一個服務臺，容量為個服務臺，容量為K的混合制系統(tǒng)的混合制系統(tǒng).(5) D/M/S/K表示相繼到達的間隔時間獨立、服從定長分布、表示相繼到達的間隔時間獨立、服從定長分布、服務時間相互獨立、服從負指數分布，系統(tǒng)中有服務時間相互獨立、服從負指數分布，系統(tǒng)中有S個服務臺個服務臺平行服務，容量為平行服務，容量為K的混合制系統(tǒng)的混合制系統(tǒng). 4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數量指標描述排隊系統(tǒng)的主要數量指標 隊長與等待隊長隊長與等待隊長隊長隊長(通常記為通常記為LS)是指在系統(tǒng)中的顧客的平均數是指在系統(tǒng)中的顧客的平均數(包括包括正在接受服務的顧客正在接受服務的顧客),而等待隊長而等待隊長(通

11、常記為通常記為Lq)是指系是指系統(tǒng)中排隊等待的顧客的平均數，它們是顧客和服務機統(tǒng)中排隊等待的顧客的平均數，它們是顧客和服務機構雙方都十分關心的數量指標。顯然隊長等于等待隊構雙方都十分關心的數量指標。顯然隊長等于等待隊長加上正在被服務的顧客數長加上正在被服務的顧客數. 顧客的平均等待時間與平均逗留時間顧客的平均等待時間與平均逗留時間顧客的平均等待時間顧客的平均等待時間( (通常記為通常記為W Wq q) )是指從顧客進入系是指從顧客進入系統(tǒng)的時刻起直到開始接受服務止的平均時間。平均逗統(tǒng)的時刻起直到開始接受服務止的平均時間。平均逗留時間留時間( (通常記為通常記為W Ws s) )是指顧客在系統(tǒng)中

12、的平均等待時是指顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間與平均服務時間之和。平均等待時間與平均服務時間與平均服務時間之和。平均等待時間與平均服務時間是顧客最關心的數量指標間是顧客最關心的數量指標. . 4. 描述排隊系統(tǒng)的主要數量指標描述排隊系統(tǒng)的主要數量指標 系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)的忙期與閑期 從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務立即開始，直到系統(tǒng)再從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務立即開始，直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e，這段時間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間，我們稱次變?yōu)榭臻e，這段時間是系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間，我們稱為系統(tǒng)的忙期，它反映了系統(tǒng)中服務機構的工作強度，為系統(tǒng)的忙期，它反映了系統(tǒng)中服務機構的工作強度，是衡量服務機構利用效率的指標，即是

13、衡量服務機構利用效率的指標，即與忙期對應的是系統(tǒng)的閑期，即系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時與忙期對應的是系統(tǒng)的閑期，即系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時間長度間長度.服務機構服務機構工作強度工作強度用于服務顧客的時間用于服務顧客的時間服務設施總的服務時間服務設施總的服務時間用于服務顧客的時間用于服務顧客的時間服務設施總的服務時間服務設施總的服務時間1 5. Little（利特爾）公式（利特爾）公式用用 表示單位時間內顧客到達的平均數表示單位時間內顧客到達的平均數,表示單位時間內表示單位時間內被服務完畢離去的平均顧客數，因此被服務完畢離去的平均顧客數，因此1/ 表示相鄰兩顧客到表示相鄰兩顧客到達的平均時間，達的平均時間，

14、1/ 表示對每個顧客的平均服務時間表示對每個顧客的平均服務時間.J. D. C. Little給出了如下公式：給出了如下公式：,ssssLWWL或,qqqqLWWL或,1qsWW,qsLL 6. 與排隊論模型有關的與排隊論模型有關的LINGO函數函數(1) peb (load, S)該函數的返回值是當到達負荷為該函數的返回值是當到達負荷為load, 服務系統(tǒng)中有服務系統(tǒng)中有S個服務個服務器且允許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率器且允許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率,也就是顧客等待的概率也就是顧客等待的概率.(2) pel (load, S)該函數的返回值是當到達負荷為該函數的返回值是當到達負荷為load, 服務系統(tǒng)

15、中有服務系統(tǒng)中有S個服務個服務器且不允許排隊時系統(tǒng)損失概率器且不允許排隊時系統(tǒng)損失概率, 也就是顧客得不到服務離也就是顧客得不到服務離開的概率開的概率.(3) pfs (load, S, K)該函數的返回值是當到達負荷為該函數的返回值是當到達負荷為load, 顧客數為顧客數為K,平行服務平行服務器數量為器數量為S時時, 有限源的有限源的Poisson服務系統(tǒng)等待或返修顧客數服務系統(tǒng)等待或返修顧客數的期望值的期望值. 10. 2 等待制排隊模型等待制排隊模型等待制排隊模型中最常見的模型是等待制排隊模型中最常見的模型是即顧客到達系統(tǒng)的相繼到達時間間隔獨立，且服從參數即顧客到達系統(tǒng)的相繼到達時間間隔

16、獨立，且服從參數為為的負指數分布的負指數分布(即輸入過程為即輸入過程為Poisson過程過程), 服務臺服務臺的服務時間也獨立同分布的服務時間也獨立同分布, 且服從參數為且服從參數為的負指數分的負指數分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠排隊布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠排隊.,/SMM 1. 等待制排隊模型的基本參數等待制排隊模型的基本參數(1) 顧客等待的概率顧客等待的概率P Pwaitwait其中其中S是服務臺或服務員的個數，是服務臺或服務員的個數，load是系統(tǒng)到達負荷，是系統(tǒng)到達負荷，即即 load=/=R*T, 式中式中R表示表示, T表示表示1/, R表示表示,在下面的程序中，因此，在

17、下面的程序中，因此，R或或是顧客的平均到達率，是顧客的平均到達率，是顧客的平均被服務數，是顧客的平均被服務數，T 就是平均服務時間就是平均服務時間.),(SloadpebPwait 1. 等待制排隊模型的基本參數等待制排隊模型的基本參數(2) 顧客的平均等待時間顧客的平均等待時間Wq其中其中T/(S-load)是一個重要指標，可以看成一個是一個重要指標，可以看成一個“合理的合理的長度間隔長度間隔”。注意，當。注意，當loadS時，此值趨于無窮。也就時，此值趨于無窮。也就是說，系統(tǒng)負荷接近服從器的個數時，顧客平均等待時是說，系統(tǒng)負荷接近服從器的個數時，顧客平均等待時間將趨于無窮間將趨于無窮.當當

18、load S時時, 上式上式Wq無意義。其直觀的解釋是：當系統(tǒng)無意義。其直觀的解釋是：當系統(tǒng)負荷超過服從器的個數時負荷超過服從器的個數時, 排隊系統(tǒng)達不到穩(wěn)定的狀態(tài)排隊系統(tǒng)達不到穩(wěn)定的狀態(tài),其隊將越排越長其隊將越排越長.,loadSTPWwaitq 1. 等待制排隊模型的基本參數等待制排隊模型的基本參數顧客的平均逗留時間顧客的平均逗留時間Ws、隊長、隊長Ls和等待隊長和等待隊長Lq這三個值可由這三個值可由LittleLittle公式直接得到公式直接得到,1qqqsssqqsWRWLWRWLTWWW 2. 等待制排隊模型的計算實例等待制排隊模型的計算實例 S=1的情況的情況(M/M/1/) 即只

19、有一個服務臺或一名服務員服務的情況即只有一個服務臺或一名服務員服務的情況.例例10.2 某維修中心在周末現只安排一名員工為顧客提供服某維修中心在周末現只安排一名員工為顧客提供服務。新來維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務，務。新來維修的顧客到達后，若已有顧客正在接受服務，則需要排隊等待。假設來維修的顧客到達過程為則需要排隊等待。假設來維修的顧客到達過程為Poisson流，平均流，平均4人人/小時，維修時間服從負指數分布，平均需要小時，維修時間服從負指數分布，平均需要6分鐘。試求該系統(tǒng)的主要數量指標。分鐘。試求該系統(tǒng)的主要數量指標。解解 按照式上面分析按照式上面分析, 編寫編寫LINGO程序

20、，其中程序，其中R=4,T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名程序名:exam1002.lg4. 2. 等待制排隊模型的計算實例等待制排隊模型的計算實例由此得到：由此得到：(1) 系統(tǒng)平均隊長系統(tǒng)平均隊長 Ls=0.6666667,(2) 系統(tǒng)平均等待隊長系統(tǒng)平均等待隊長 Lq=0.2666667,(3) 顧客平均逗留時間顧客平均逗留時間 Ws=0.1666667(小時小時)=10(分鐘分鐘)(4) 顧客平均等待時間顧客平均等待時間 Wq=0.06666667(小時小時)=4(分鐘分鐘)(5) 系統(tǒng)繁忙概率系統(tǒng)繁忙概率 P wait=0.4在商業(yè)中心處設置一臺在商業(yè)中心處設置一臺A

21、TM機，假設來取錢的顧客平均每機，假設來取錢的顧客平均每分鐘分鐘0.6個，而每個顧客的平均取錢的時間為個，而每個顧客的平均取錢的時間為1.25分鐘，試分鐘，試求該求該ATM機的主要數量指標機的主要數量指標.解解 只需將上例只需將上例LINGOLINGO程序作如下改動：程序作如下改動：R=0.6,T=1.25 R=0.6,T=1.25 即即可得到結果可得到結果. .程序名程序名:exam1003.lg4.:exam1003.lg4.計算結果見運行計算結果見運行 例例10.3即平均隊長為即平均隊長為3人，平均等待隊長為人，平均等待隊長為2.25人，顧客平均逗留人，顧客平均逗留時間時間5分鐘，顧客平

22、均等待時間為分鐘，顧客平均等待時間為3.75分鐘，系統(tǒng)繁忙概率分鐘，系統(tǒng)繁忙概率為為0.75. S1的情況的情況(M/M/S/) 表示有多個服務臺或多名服務員服務的情況表示有多個服務臺或多名服務員服務的情況例例10. 設打印室有設打印室有3名打字員名打字員, 平均每個文件的打印時間平均每個文件的打印時間為為10分鐘，而文件的到達率為每小時分鐘，而文件的到達率為每小時15件，試求該打印件，試求該打印室的主要數量指標室的主要數量指標.解解 按照上面分析按照上面分析, 編寫編寫LINGO程序程序, 程名程名:exam1004.lg4.計算結果分析計算結果分析：即在打字室內現有的平均文件數為：即在打字

23、室內現有的平均文件數為6.011件，等待打印平均文件數件，等待打印平均文件數3.511件，每份文件在打字室平件，每份文件在打字室平均停留時間為均停留時間為0.400小時（小時（24分鐘），排隊等待打印的平分鐘），排隊等待打印的平均時間均時間0.234小時小時(14分鐘分鐘),打印室不空閑的概率打印室不空閑的概率0.702.某售票點有兩個售票窗口，顧客按參數某售票點有兩個售票窗口，顧客按參數=8人人/分鐘的分鐘的Poisson流到達，每個窗口的售票時間均服從參數流到達，每個窗口的售票時間均服從參數=5人人/分分鐘的負指數分布，試比較以下兩種排隊方案的運行指標鐘的負指數分布，試比較以下兩種排隊方案

24、的運行指標.(1) 顧客到達后顧客到達后,以以1/2的概率站成兩個隊的概率站成兩個隊列，如右圖所示：列，如右圖所示： 例例10.5(2) 顧客到達后排成一個隊列顧客到達后排成一個隊列, 顧客發(fā)現哪個窗口空時顧客發(fā)現哪個窗口空時, 他就他就接受該窗口的服務，如下圖所示接受該窗口的服務，如下圖所示:解解 (1) 實質上是兩個獨立的實質上是兩個獨立的M/M/1/系統(tǒng)系統(tǒng),其參數其參數S=1,R=1 1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 編寫其編寫其LINGO程序，程序程序，程序名名: exam1005a.lg4. 計算結果見運行計算結果見運行 例例10.5(2) 是兩個并聯系統(tǒng)是兩個并聯系統(tǒng),

25、其參數其參數S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 編寫其編寫其LINGO程序程序, 程序名程序名: exam1005b.lg4. 計算結果見計算結果見運行運行兩種系統(tǒng)的計算結果兩種系統(tǒng)的計算結果從上表中所列的計算結果可以看出從上表中所列的計算結果可以看出,在服務臺的各種性能指在服務臺的各種性能指標不變的情況下標不變的情況下,采用不同的排隊方式采用不同的排隊方式,其結果是不同的其結果是不同的. 從從表得到表得到,采用多隊列排隊系統(tǒng)的隊長為采用多隊列排隊系統(tǒng)的隊長為4,而采用單排隊系統(tǒng)而采用單排隊系統(tǒng)總隊長為總隊長為4.444, 也就是說每一個子隊的隊長為也就是說每一個子隊的隊長為2.22

26、2,幾乎是幾乎是多列隊排隊系統(tǒng)的多列隊排隊系統(tǒng)的1/2, 效率幾乎提高了一倍效率幾乎提高了一倍. 例例10.5比較分析比較分析 10. 3 損失制排隊模型損失制排隊模型損失制排隊模型通常記為損失制排隊模型通常記為當當S個服務器被占用后，顧客自動離去。其模型的基本個服務器被占用后，顧客自動離去。其模型的基本參數與等待制排隊模型有些不同參數與等待制排隊模型有些不同, 我們關心如下指標：我們關心如下指標：,/SSMM(1) 系統(tǒng)損失的概率系統(tǒng)損失的概率),(SloadpebPlost其中其中l(wèi)oad是系統(tǒng)到達負荷是系統(tǒng)到達負荷,S是服務臺或服務員的個數是服務臺或服務員的個數. 1.損失制排隊模型的基

27、本參數損失制排隊模型的基本參數(2)單位時間內平均進入系統(tǒng)的顧客數單位時間內平均進入系統(tǒng)的顧客數(e e或或Re).1 ()1 (lostlosteePRPR(3)系統(tǒng)的相對通過能力系統(tǒng)的相對通過能力Q與絕對通過能力與絕對通過能力A.)1 ()1 (,122lostelostelostPRQRPQAPQ(4)系統(tǒng)在單位時間內占用服務臺系統(tǒng)在單位時間內占用服務臺(或服務員或服務員)的均值的均值Ls./TRLees注意注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中在損失制排隊系統(tǒng)中, Lq=0, 即等待隊長為即等待隊長為0.(5)系統(tǒng)服務臺（或服務員）的效率系統(tǒng)服務臺（或服務員）的效率./SLs(6)顧客在系統(tǒng)內平均

28、逗留時間顧客在系統(tǒng)內平均逗留時間(由于由于Wq=0, 即為即為Ws）./1TWs注意注意: 在損失制排隊系統(tǒng)中在損失制排隊系統(tǒng)中, Wq=0, 即等待時間為即等待時間為0.在上述公式中在上述公式中, 引入引入e (或或Re)是十分重要的是十分重要的, 因為盡管因為盡管顧客的以平均顧客的以平均(或或R)的速率到達服務系統(tǒng)的速率到達服務系統(tǒng), 但當系統(tǒng)但當系統(tǒng)被占滿后被占滿后, 有一部分顧客會自動離去有一部分顧客會自動離去, 因此因此,真正進入系真正進入系統(tǒng)的顧客輸入率是統(tǒng)的顧客輸入率是e ,它小于它小于. 2. 損失制排隊模型的計算實例損失制排隊模型的計算實例 S=1的情況的情況(M/M/1/1

29、)例例10.6 設某條電話線，平均每分鐘有設某條電話線，平均每分鐘有0.6次呼喚，若每次次呼喚，若每次通話時間平均為通話時間平均為1.25分鐘，求系統(tǒng)相應的參數指標。分鐘，求系統(tǒng)相應的參數指標。解解 按照上面分析按照上面分析, , 編寫編寫LINGOLINGO程序，其中程序，其中S=1,R=S=1,R=0.6=0.6, ,T=1/T=1/=1.25,=1.25, 程序名程序名:exam1006.lg4:exam1006.lg4，結果見運行，結果見運行系統(tǒng)的顧客損失率為系統(tǒng)的顧客損失率為43%, 即即43%的電話沒有接通的電話沒有接通, 有有57%的電話得到了服務的電話得到了服務,通話率為平均每

30、分鐘有通話率為平均每分鐘有0.195次次, 系統(tǒng)的系統(tǒng)的服務效率為服務效率為43%. 對于一個服務臺的損失制系統(tǒng)對于一個服務臺的損失制系統(tǒng), 系統(tǒng)的服系統(tǒng)的服務效率等于系統(tǒng)的顧客損失率務效率等于系統(tǒng)的顧客損失率,這一點在理論上也是正確的這一點在理論上也是正確的. S1的情況的情況(M/M/S/S)例例10.7 某單位電話交換臺有一臺某單位電話交換臺有一臺200門內線的總機，已知在門內線的總機，已知在上班上班8小時的時間內，有小時的時間內，有20%的內線分機平均每的內線分機平均每40分鐘要一分鐘要一次外線電話，次外線電話，80%的分機平均隔的分機平均隔120分鐘要一次外線。又知分鐘要一次外線。又

31、知外線打入內線的電話平均每分鐘外線打入內線的電話平均每分鐘1次次. 假設與外線通話的時假設與外線通話的時間為平均間為平均3分鐘分鐘, 并且上述時間均服從負指數分布并且上述時間均服從負指數分布,如果要求如果要求電話的通話率為電話的通話率為95%, 問該交換臺應設置多少條外線？問該交換臺應設置多少條外線？解解 (1) 電話交換臺的服務分成兩類電話交換臺的服務分成兩類,第一類內線打外線第一類內線打外線, 其強其強度為度為:第二類是外線打內線，其強度為第二類是外線打內線，其強度為2 2=1=1* *60=60.60=60.因此，總強度為因此，總強度為=1 1+2 2=140+60=200.=140+6

32、0=200.140200)8.0120602.04060(1(2) 這是損失制服務系統(tǒng)這是損失制服務系統(tǒng), 按題目要求按題目要求, 系統(tǒng)損失的概率不系統(tǒng)損失的概率不能超過能超過5%, 即即(3) 外線是整數，在滿足條件下，條數越少越好。外線是整數，在滿足條件下，條數越少越好。由上述三條，寫出相應的由上述三條，寫出相應的LINGO程序，程序，程序名：程序名：exam1007a.lg4.05.0lostP 例例10.7經計算得到經計算得到, 即需要即需要15條外線條外線, 在此條件下在此條件下, 交換臺的顧客交換臺的顧客損失率為損失率為3.65%, 有有96.35%的電話得到了服務的電話得到了服務

33、, 通話率為平通話率為平均每小時均每小時185.67次次, 交換臺每條外線的服務效率為交換臺每條外線的服務效率為64.23%.在前面談過，盡量選用簡單的模型讓在前面談過，盡量選用簡單的模型讓LINGO軟件求解，而軟件求解，而上述程序是解非線性整數規(guī)劃上述程序是解非線性整數規(guī)劃(盡管是一維的盡管是一維的), 但計算時間但計算時間可能會較長可能會較長, 因此因此, 我們選用下面的處理法我們選用下面的處理法, 分兩步處理分兩步處理.第一步第一步, 求出概率為求出概率為5%的服務臺的個數的服務臺的個數, 盡管要求服務臺盡管要求服務臺是整數是整數, 但但pel()可以給出實數解可以給出實數解.寫出寫出L

34、INGO程序程序, 程序名：程序名：exam1007b1.lg4. 例例10.7第二步第二步, 注意到注意到pel(load, S)是是S的單調遞減函數的單調遞減函數, 因此因此, 對對S取整取整(采用只入不舍原則采用只入不舍原則)就是滿足條件的最小服務臺數就是滿足條件的最小服務臺數, 然后再計算出其他的參數指標。然后再計算出其他的參數指標。寫出寫出LINGO程序程序, 程序名：程序名：exam1007b2.lg4.比較兩種方法的計算結果，其答案是相同的，但第二種方比較兩種方法的計算結果，其答案是相同的，但第二種方法比第一種方法在計算時間上要少許多法比第一種方法在計算時間上要少許多. 10.

35、4 混合制排隊模型混合制排隊模型混合制排隊模型通常記為混合制排隊模型通常記為即有即有S個服務臺或服務員個服務臺或服務員,系統(tǒng)空間容量為系統(tǒng)空間容量為K, 當當K個位置個位置已被顧客占用時已被顧客占用時, 新到的顧客自動離去新到的顧客自動離去,當系統(tǒng)中有空位當系統(tǒng)中有空位置時置時, 新到的顧客進入系統(tǒng)排隊等待。新到的顧客進入系統(tǒng)排隊等待。,/KSMM對于混合制排隊模型對于混合制排隊模型,LINGO軟件并沒有提供特殊的計軟件并沒有提供特殊的計算函數算函數,因此需要混合制排隊模型的基本公式進行算因此需要混合制排隊模型的基本公式進行算, 為此為此, 先給出其基本公式先給出其基本公式.,1 ,0,0,1

36、0KippiKii設設pi(i=1,2, , K)是系統(tǒng)有是系統(tǒng)有i個顧客的概率個顧客的概率, p0表示系統(tǒng)空表示系統(tǒng)空閑時的概率閑時的概率, 因此有因此有:., 1, 2 , 1,)(,1111111100KKKKiiiiiiippKippppp設設i i(i=1,2, K)為系統(tǒng)在為系統(tǒng)在i時刻的輸入強度時刻的輸入強度,i i (i=1,2 , K) 為系統(tǒng)在為系統(tǒng)在i時刻的服務強度時刻的服務強度, 在平衡過下在平衡過下,可得到平衡方程可得到平衡方程 1. 混合制排隊模型的基本公式混合制排隊模型的基本公式對于混合制排隊模型對于混合制排隊模型M/M/S/K, 有有.,2 , 1, 1 , 0

37、,KiSiSSiiKiii 1. 混合制排隊模型的基本公式混合制排隊模型的基本公式對于混合制排隊模型，人們關心如下參數：對于混合制排隊模型，人們關心如下參數：(1) 系統(tǒng)的損失概率系統(tǒng)的損失概率.KlostpP 2. 混合制排隊模型的基本參數混合制排隊模型的基本參數(2) 系統(tǒng)的相對通過系統(tǒng)的相對通過能力能力Q和單位時間和單位時間平均進入系統(tǒng)的顧平均進入系統(tǒng)的顧客數客數e e.)1 ()1 (,11eKKeKlostRpRQRpQpPQ(3)(3)平均隊長平均隊長L Ls s和平均等待隊長和平均等待隊長L Lq q./)(0,TRLLpSiLipLesKSiesiqKiis(4) 顧客在系統(tǒng)內

38、平均逗留時間顧客在系統(tǒng)內平均逗留時間Ws 和平均排隊等待時間和平均排隊等待時間Wq , 這兩個時間可由這兩個時間可由Little公式得到公式得到./1/,/TWWLWRLLWsseqqesess注意注意:上面兩公式中，是除上面兩公式中，是除e而不是而不是, 其理由與損失其理由與損失制系統(tǒng)相同制系統(tǒng)相同. 2. 混合制排隊模型的基本參數混合制排隊模型的基本參數 S=1 的情況的情況(M/M/1/K)例例10.8 某理發(fā)店只有某理發(fā)店只有1名理發(fā)員名理發(fā)員, 因場所有限因場所有限, 店里最多可店里最多可容納容納4名顧客名顧客, 假設來理發(fā)的顧客按假設來理發(fā)的顧客按Poisson過程到達過程到達,

39、平均平均到達率為每小時到達率為每小時6人人, 理發(fā)時間服從負指數分布理發(fā)時間服從負指數分布, 平均平均12分分鐘可為鐘可為1名顧客理發(fā)名顧客理發(fā), 求該系統(tǒng)的各項參數指標求該系統(tǒng)的各項參數指標.解解 按照上面分析按照上面分析, , 其參數其參數S=1,K=4,R=S=1,K=4,R=6=6,T=1/,T=1/=12/60,=12/60,再計算相應的損失概率再計算相應的損失概率p pK K 及各項參數指標及各項參數指標, , 編寫出編寫出LINGOLINGO程序，程序名程序，程序名:exam1008.lg4:exam1008.lg4，結果見運行，結果見運行即理發(fā)店的空閑率為即理發(fā)店的空閑率為13

40、.4%, 顧客的損失率為顧客的損失率為27.9%, 每小時每小時進入理發(fā)店的平均顧客數為進入理發(fā)店的平均顧客數為4.328人人,理發(fā)店內的平均顧客數理發(fā)店內的平均顧客數(隊長隊長)為為2.359人人,顧客在理發(fā)店的平均逗留時間是顧客在理發(fā)店的平均逗留時間是0.545小時小時(32.7分鐘分鐘), 理發(fā)店里等待理發(fā)的平均顧客數理發(fā)店里等待理發(fā)的平均顧客數(等待隊長等待隊長)為為1.494人人,顧客在理發(fā)店的平均等待時間為顧客在理發(fā)店的平均等待時間為0.345小時小時(20.7分分) 3. 混合制排隊模型的計算實例混合制排隊模型的計算實例 S1的情況的情況(M/M/S/K)例例10.9 某工廠的機

41、器維修中心有某工廠的機器維修中心有9名維修工名維修工,因為場地限制因為場地限制,中心內最多可以容納中心內最多可以容納12臺需要維修的設備臺需要維修的設備,假設待修的設備假設待修的設備按按Poisson過程到達過程到達,平均每天平均每天4臺臺,維修設備服從負指數分布維修設備服從負指數分布,每臺設備平均需要每臺設備平均需要2天時間天時間, 求該系統(tǒng)的各項參數指標求該系統(tǒng)的各項參數指標.解解 其參數其參數S=9,K=12,R=S=9,K=12,R=4=4,T=1/,T=1/=2,=2,再計算相應的損失再計算相應的損失概率概率p pK K 及各項參數指標及各項參數指標, ,編寫出編寫出LINGOLIN

42、GO程序，程序，程序名程序名:exam1009.lg4:exam1009.lg4，結果見運行，結果見運行經計算得到：維修中心的空閑率經計算得到：維修中心的空閑率p0=0.033%$,設備的損失率設備的損失率Plost=8.61%, 每天進入維修中心需要維修的設備每天進入維修中心需要維修的設備e=3.66臺臺,維修中心內的平均維修的設備維修中心內的平均維修的設備(隊長隊長) Ls=7.87臺臺,待修設備在待修設備在維修中心的平均逗留時間維修中心的平均逗留時間Ws= 2.15天天,維修中心內等平均待維修中心內等平均待維修的設備維修的設備(等待隊長等待隊長)Lq=0.561天天, 待修設備在維修中心

43、的待修設備在維修中心的平均等待時間平均等待時間Wq=0.153天天. 10. 5 閉合式排隊模型閉合式排隊模型設系統(tǒng)內有設系統(tǒng)內有M個服務臺個服務臺(或服務員或服務員),顧客到達系統(tǒng)的間隔顧客到達系統(tǒng)的間隔時間和服務臺的服務時間均為負指數分布時間和服務臺的服務時間均為負指數分布, 而系統(tǒng)的容而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數都為量和潛在的顧客數都為K,又顧客到達率為又顧客到達率為, 服務臺的服務臺的平均服務率為平均服務率為,這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊模型這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊模型,記為記為./KKSMM對于閉合式排隊模型，我們關心的參數：對于閉合式排隊模型，我們關心的參數：(1) 平均隊長平均隊長),

44、(KSloadpfsLs 1. 閉合式排隊模型的基本參數閉合式排隊模型的基本參數其中其中l(wèi)oad是系統(tǒng)的負荷是系統(tǒng)的負荷,其計算公式為其計算公式為,/KRTKload即即 系統(tǒng)的負荷系統(tǒng)的負荷= =系統(tǒng)的顧客數系統(tǒng)的顧客數 X X 顧客的到達率顧客的到達率 X X 顧客的服務時間顧客的服務時間.)()(esseRLKRLK(2) 單位時間平均進入系統(tǒng)的顧客數單位時間平均進入系統(tǒng)的顧客數e e或或Re.(3)顧客處于正常情況的概率顧客處于正常情況的概率.KLKPs(5)每個服務臺每個服務臺( (服務員服務員) )的工作強度的工作強度(4)平均逗留時間平均逗留時間Ws、平均等待隊長、平均等待隊長L

45、 q和和 平均排隊等待平均排隊等待時間時間Wq ,這三個值可由這三個值可由Little公式得到公式得到.SPework./1,/,/TWWWTRLLLRLLWssqessqesess S=1 的情況的情況(M/M/1/K/K)例例10.10 設有設有1名工人負責照管名工人負責照管6臺自動機床臺自動機床.當機床需要加當機床需要加料、發(fā)生故障或刀具磨損時就自動停車料、發(fā)生故障或刀具磨損時就自動停車, 等待工人照管等待工人照管. 設設平均每臺機床兩次停車的時間間隔為平均每臺機床兩次停車的時間間隔為1小時小時, 停車時需要工停車時需要工人照管的平均時間是人照管的平均時間是6分鐘分鐘, 并均服從負指數分

46、布并均服從負指數分布, 求該系求該系統(tǒng)的各項指標統(tǒng)的各項指標.解解 這是一個閉合式排隊模型這是一個閉合式排隊模型M/M/1/6/6, 其參數為其參數為S=1,K=6,S=1,K=6,R=R=1=1,T=1/,T=1/=6/60,=6/60,計算計算出平均隊長出平均隊長,再再計算出其他各項計算出其他各項指標指標, ,寫出寫出LINGOLINGO程序程序, ,程序名程序名:exam1010.lg4,:exam1010.lg4,結果見運行結果見運行. .機床的平均隊長為機床的平均隊長為0.845臺臺,平均等待隊長為平均等待隊長為0.330臺臺, 機床的機床的平均逗留時間為平均逗留時間為0.164小時

47、小時(9.84分鐘分鐘),平均等待時間為平均等待時間為0.064小時小時(3.84分鐘分鐘),機床的正常工作概率為機床的正常工作概率為85.91%,工人的勞動工人的勞動強度為強度為0.515. S1 的情況的情況例例10.11 (繼例繼例10.10) 將例中的條件改為由將例中的條件改為由3名工人聯合看名工人聯合看管管20臺自動機床臺自動機床, 其他條件不變其他條件不變, 求該系統(tǒng)的各項指標。求該系統(tǒng)的各項指標。解解 這是這是M/M/3/20/20閉合式排隊模型閉合式排隊模型, 其參數為其參數為S=3,K=20,S=3,K=20,其余不變其余不變, ,寫出寫出LINGOLINGO程序程序, ,程

48、序名程序名:exam1011.lg4,:exam1011.lg4,結果見運行結果見運行. . 2. 閉合式排隊模型的計算實例閉合式排隊模型的計算實例從上表可以看出從上表可以看出,在第二種情況下在第二種情況下,盡管每個工人看管的機器盡管每個工人看管的機器數增加了數增加了,但機器逗留時間和等待維修時間卻縮短了但機器逗留時間和等待維修時間卻縮短了,機器的機器的正常運轉率和工人的勞動強度都提高了。正常運轉率和工人的勞動強度都提高了。 例例10.1010.10和例和例10.1110.11的計算結果比較的計算結果比較 10. 6 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊系統(tǒng)中的優(yōu)化模型，一般可分為系統(tǒng)設計的優(yōu)化和排隊系統(tǒng)中的優(yōu)化模型，一般可分為系統(tǒng)設計的優(yōu)化和系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，即在服務系統(tǒng)設置系統(tǒng)控制的優(yōu)化。前者為靜態(tài)優(yōu)化，即在服務系統(tǒng)設置以前根據一定的質量指標，找出參數的最優(yōu)值，從而使以前根據一定的質量指標，找出參數的最優(yōu)值，從而使系統(tǒng)最為經濟。后者稱動態(tài)優(yōu)化，即對已有的排隊系統(tǒng)系統(tǒng)最為經濟。后者稱動態(tài)優(yōu)化，即對已有的排隊系統(tǒng)尋求使其某一目標函數達到最優(yōu)的運營機制。尋求使其某一目標函數達到最優(yōu)的運營機制。本節(jié)的主要目的