函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用(12)課件

1、上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、近似計算二、歐拉公式11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology2.9926. 一、近似計算 計算5240的近似值, 要求誤差不超過 0.0001. 例1 5/ 1455)311 ( 33243240-=-= 解 如果取前二項作為所求值的近似值, 則誤差為 ) 31! 3594131! 254131511 ( 3123824 -=. 于是 9926. 2)31511 ( 324045-) 31! 45149

2、4131! 3594131! 2541( 3|164123822 =r200001 )811(8111 31! 25413282 200001 )811(8111 31! 25413282 . 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 例2 計算ln2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 已知 兩式相減得提示: 這個冪級數(shù)收斂速度較慢, 用于求ln2較困難. 因此需要尋找收斂速度較快的冪級數(shù).) 11( 1) 1( 432)1ln(1432- - -=xnxxxxxxnn, ) 11 ( 432)1ln(432 -=-xxxxx

3、x, )1ln()1ln(11lnxxxx-=-) 11( ) 5131( 253- =xxxx. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology如果取前四項作為ln2的近似值, 則誤差為 解 例2 計算ln2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 已知 )1ln()1ln(11lnxxxx-=-) 11( ) 5131( 253- =xxxx. 以31=x代入得 ) 31713151313131( 22ln753 =. 7000001 )91(911 32211 ) 31131311113191( 2|131194 =r于是6931. 0

4、)31713151313131( 22ln7537000001 )91(911 32211 . 6931. 0)31713151313131( 22ln753. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例3 解 在 sin x 的冪級數(shù)展開式中令20p=x, 得 其誤差為 取前兩項得3 利用3! 31sinxxx-求 sin9的近似值, 并估計誤差. 91809=p20p=(弧度). )20(! 71)20(! 51)20(! 312020sin753 -=ppppp. 3000001) 2 . 0(1201)20(! 51|552p

5、r3)20(! 312020sinppp-3)20(! 312020sinppp-0.15643. 3000001) 2 . 0 (1201)20(! 51|552pr3000001) 2 . 0(1201)20(! 51|552pr. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology將被積函數(shù)換成其冪級數(shù)展開式得 解 前四項的和作為近似值, 其誤差為所以 dxnxdxennnx!) 1(22210202102 =-=pp) ! 3721! 25213211 (1642 -=p. 900001! 49211|84pr5295. 0)! 3721

6、! 25213211 (126422102-ppdxexdxnxdxennnx!) 1(22210202102 =-=pp900001! 49211|84pr, 5295. 0)! 3721! 25213211 (126422102-ppdxex. 例 4 求積分dxex-21022p的近似值(誤差不超410-). 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology展開被積函數(shù), 有 解 在區(qū)間0, 1上逐項積分, 得 因為第四項 所以取前三項的和作為積分的近似值: 例 5 求積分dxxx10sin的近似值(誤差不超410-). )( ! 7!

7、5! 31sin642- -=xxxxxx. ! 771! 551! 3311sin10 -=dxxx. 300001! 771, 9461. 0! 551! 3311sin10=-dxxx. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、歐拉公式v復數(shù)項級數(shù) 設有復數(shù)項級數(shù)(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )為實常數(shù)或實函數(shù). 如果實部所成的級數(shù)un收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù)vn收斂于和v, 就說復數(shù)項級數(shù)收斂且和為uiv. 如果級(univn)的各項的模所構成的級數(shù)|univn|收斂, 則稱級數(shù)(univ

8、n)絕對收斂. v 絕對收斂上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv復變量指數(shù)函數(shù) 考察復數(shù)項級數(shù) 可以證明此級數(shù)在復平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex, 在復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 !1 ! 2112 nznzz. !1 ! 2112 =nzznzze. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv歐拉公式 當x=0時, z=iy , =cos yisin y. 于是 這就是歐拉公式. 把y換成x得 eix=cos xisin x,

9、 v復變量指數(shù)函數(shù) !1 ! 2112 =nzznzze. )(!1 )(! 2112 =niyiyniyiye -= ! 51! 41! 31! 2115432yiyyiyiy) ! 51! 31() ! 41! 211 (5342 - -=yyyiyy上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyeix=cos xisin x.其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. v復數(shù)的指數(shù)形式 復數(shù)z可以表示為z=r(cos qisin q)=reiq ,v歐拉公式 v復變量指數(shù)函數(shù) !1 ! 2112 =nzznzze. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv三角函數(shù)與復變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系 因為eix=cos xi sin x, e-ix=cos