函數(shù)的導數(shù)與微分的應用課件

1、第四節(jié) 函數(shù)的導數(shù)與微分的應用三、微分公式與微分運算法則三、微分公式與微分運算法則四、函數(shù)的單調性、凹凸性、四、函數(shù)的單調性、凹凸性、極值與最值極值與最值 一、利用微分計算近似值及誤差估計一、利用微分計算近似值及誤差估計 二、洛必達法則二、洛必達法則)()(0 xoxxfy當x很小時,yxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:(1)(2)(3)()(00 xfxxf一、近似計算與誤差估計一、近似計算與誤差估計（一）近似計算（一）近似計算31sin的近似值 .解解: 設,sin)(xxfooo130cos30sin2123180

2、5151. 0例例. 求)130sin(00)1801(o)sin()(00 xxxxf,cossin00 xxx,300ox ox1xn11nx1) 1 (很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令,1)(nxxf代入(4)式得,很小時當 xxnxn111常用近似公式常用近似公式: :特別當,00 x很小時,xffxf)0()0()(在(3)式),)()()(000 xxxfxfxfx, 1)0(f那么)0(f011|)1 (1xnnxn1(4)（類似可得）31001的近似值 .解解:310013100013)100011 (100010)1

3、0001311(00033.10例例. 計算)|(|111很小xxnxn310001110（二）（二） 誤差估計誤差估計某量的精確值為 x , 其近似值為 xo ,0 xx稱為xo的絕對誤差絕對誤差00 x xx稱為xo 的相對誤差相對誤差若0 xxxx稱為測量 x 的絕對誤差限絕對誤差限0 xx稱為測量 x 的相對誤差限相對誤差限誤差傳遞公式誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為,x按公式)(xfy 計算 y 值時的誤差yydxxf)(0 xxf)(0故 y 的絕對誤差限約為xyxf)(0相對誤差限約為xyxfxfy)()(00若直接測量某量得 x0 ,二、洛必達法則二、洛必達法則,00)()(l

4、imxgxf函數(shù)之商的極限導數(shù)之商的極限 轉化00( 或 型)()(limxgxf研究思路研究思路:未定式(未定型或不定型):(1) 型型0)(lim)(lim) 1xgxfaxax)()(lim)3xgxfax存在 (或為 ).)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax,)()()2都存在與xgxf0)( xg且定理定理 2.00(洛必達法則洛必達法則) 則設f (x), g (x)滿足：注注1. 定理 1 中ax 換為下列過程之一:, ax, ax,xx注注 3. 若)()(limxgxf滿足定理1且型仍屬)(, )(,00 xgxf條件, 則)()(lim)()(limxgxf

5、xgxf)()(limxgxf ,x)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax洛必達法則注注 2. 使用洛必達法則時，驗證3個條件；型00例例. 求01lim.xxax解解: 原式型00lnalnxaa10 limx洛洛例例. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式型0023注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛例例. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 xlim型00221limxxx1211x21x洛洛(2)型型)(lim)(lim) 1xgxfaxax)()

6、(lim)3xgxfax存在 (或為)()(limxgxfax定理定理 2.)()(limxgxfax(洛必達法則洛必達法則),)()()2都存在與xgxf0)( xg且則設f (x), g (x)滿足：0limx原式例例. .求解解: 原式=0 xxxe2limxxe2lim.elim2xxx型洛洛洛洛例例. .求解：解：0lnsinlim,.lnsinxmxm nNnx其中1.0coslimcosxmnnxnmmx0cossinlimcossinxmmxnxnnxmx0sinlimsinxmnxnm x型洛洛mxmxmsincosnxnxnsincosm nn m(3)(3)其他未定式其他

7、未定式: :,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化例例. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim00limx0)(lim0nxnxx11nxn型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim22limx0例例. 求通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化洛洛xcosxsin00例例10. 求xxxlnlim0 xxx1lnlim02011limxxx.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1通分轉化轉化0

8、00取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化)(lim0 xx0洛洛三、三、 函數(shù)單調性、凹凸性、極值與最值函數(shù)單調性、凹凸性、極值與最值若在(a, b)內定理定理2.9 設函數(shù))(xf0)( xf a, b 內單調遞增, )0)( xf(遞減) .在a, b 內連續(xù),(1) 單調性單調性xyo)(xfy abAB0)( xfxyo)(xfy 0)( xfabBA在(a, b) 可導,則函數(shù)f ( x )在例例11.確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (

9、),2(21故)(xf的單調增單調增區(qū)間為, 1,();,2)(xf的單調減單調減區(qū)間為.2,1 12xOy1 2222ln(1)11xxxxxx例例12.12.當x0時，試證證證: :設22( )1ln(1)1f xxxxx ( )fx( )fx0,( )(0)xf xf有，時當即0 x221ln(1)1xxxx( )0,fx221ln(1)1xxxx2ln(1)xx2(ln(1)xxx21xx2ln(1)xxx211xx2(1)1xx21xx故0, +)上f (x)是單調增加，0,221()1xxx則稱 為 的駐點。駐點。,),()(內有定義在設函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域

10、若存在0 x在其中當0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大值點極大值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值點極小值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 。)(0 xf極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點 。（2 2）極值）極值, 0)(0 xf)(xf若0 x定義：定義：定義定義2.82.8 設設)(xf在點在點0 x處具有導數(shù)處具有導數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那那必定必定0)(0 xf（駐點駐點）. . 注意注意:52,xx為極大值點641,xxx為極小值點3x不是極值

11、點2) 1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.31292)(23xxxxf例如例如 ,1x為極大值點, 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小值點, 函數(shù)12xOy12oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x( (必要條件必要條件) )定理定理2.10 (極值第一判別法極值第一判別法), 0)( xf, 0)( xf),(00 xUx,)(0連續(xù)在設函數(shù)xxf且在x0 的某去心鄰域內可導,(1)“左左正正右負右負”(2) “左負右左負右正正” .)(0取極大值在則xxf00(,)xxx時,當00(,)xxx而當時, 0)( xf.)(0取極小值在則xxf00(,)xxx時,當

12、00(,)xxx而當時, 0)( xf(3) 若在點x0的某去心鄰域內, ,)(符號不變xf .)(0沒有極值在則xxfxyo0 x xyo0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);() 1 (xf 求導數(shù)(2)( )0fx駐點(求即方程的根),;,)()3(判斷極值點在駐點左右的正負號檢查xf .)4(求極值與不可導點（可疑極值點）；求函數(shù) 的極值.23( )(1) (1)f xxx例例13.13.223) 1() 1(3) 1)(1(2)(xxxxxf) 15() 1)(1(2xxx，0)( xf令解解:1,511，x得駐點駐點附近 的符號變化的情況: )(xf ( )f x( )fx(1

13、,)1( ,1)51511( 1, )51(, 1) x因此13456( )53125f(1)0f無極值無極值極大值極大值極小值極小值定理定理2.11 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導數(shù) , 且處具有在點設函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點 取極小值 。)(xf0 x例例14. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點令,0)( xf得駐點1,0, 1321xxx3) 判別因,06)

14、0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1O(3) 最大值與最小值最大值與最小值,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則f (x)在最值出現(xiàn)在：駐點、不可導點、區(qū)間端點。求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :1) 求 在 內的駐點和不可導點)(xf),(bamxxx,212) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf閉區(qū)間a, b上必有最大值和最小值。定理：21233(

15、 )(1) 2, 2f xxx數(shù)在求函的最值.24233122332 (1)( )3(1)xxfxxx；例例15.15.解：解： （1）求導（2） 求駐點、不可導點：( )0,fx令24233(1)0 xx即12x ，01xx ，；駐點為不可導點為1()2f 31( )42f xx 點，所以的最大值最大值（3）計算這些點的函數(shù)值，求最大值和最小值：(0)f( 1)f ( 2)f 33( )243f xx 點，。的最小值最小值1,1,3343,34肌肉或皮下注射后, 血中藥物的濃度與時間例例16.16.121221(),0,0ttAyeeA問 t 為何值時，血中藥物濃度達最大值 。的關系是dyd

16、t1212ttee；得到202111lnt；00,ty而解：解： 121221()ttAee0令（唯一駐點）tylimty0因此當t =t0時，血中藥物濃度達最大值 。定義定義2.9 設函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,若對12,xxI若對 有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱函數(shù)圖形在此區(qū)間上是凹凹的，如下左圖;四、曲線的凹凸性四、曲線的凹凸性12,xxI若對 有1212()()(),22xxf xf xf則稱函數(shù)圖形在此區(qū)間上是凸凸的，如下右圖;xyOxyO1x2x1x2x定理定理2.12(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內,0)( xf則 f (x) 在 I 內圖形是凹的 ;

17、(2) 在 I 內,0)( xf則 f (x) 在 I 內圖形是凸的 。設函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導數(shù)yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 定義定義2.10 函數(shù)的凹凸分界點 稱為拐點拐點 。yOx拐點證明略（可從斜率的大小變化來理解）證明略（可從斜率的大小變化來理解）xxy24362 )(3632xx對應271121,1yy例例17. 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點。解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標令0 y得,03221xx3) 列表判別)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點。上在),0(32凹凹凸本節(jié)內容總結本節(jié)內容總結一、近似計算與誤差估計二、洛必塔法則通分轉化轉化000取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)轉化轉化)()()(000 xxxfxfxf本節(jié)內容總結本節(jié)內容總結三、函數(shù)的單調性、