幾何量的計(jì)算--長(zhǎng)度課件

1、幾何量的計(jì)算幾何量的計(jì)算一、幾何量的計(jì)算 1. 對(duì)象：長(zhǎng)度、角度、面積等等 2.勾股定理及其推廣：（1）勾股定理：22290cbaC時(shí)，當(dāng)bcaACB(2)推廣:HCbbaHCACACaHCACACaHCAHHCAHaCHaAHBHAHc22)2()()(22222222222證明：HCbbacC2:90222時(shí)當(dāng)aCbHBACHCbbaHCbHCaCHACHCBCBHAHc2)()()()(2222222222證明：HCbbacC2:90222時(shí)當(dāng)aCbHBAC 銳(鈍)角對(duì)邊的平方,等于其他兩邊的平方和減去(加上)其中的一邊和另一邊在此邊上之射影的乘積的兩倍.若將HC用角C和a表示的話,則

2、得到統(tǒng)一的表達(dá)式: 余弦定理!CosCabbac22223.高的計(jì)算公式:已知三角形的三邊,求高線的長(zhǎng).bCahaH HABC)()()(21)()()(4141224144122,2,222222222222222222222222222222222222abcbcacbacbaahabcbcacbacbaabaccbaacbaabcbaabacbabaaacbabhacbaHCHCabacHCbhaaa而解： )()(2)(21cpbpappahcbapa則：令：)()(2)()(2cpbpappchcpbpappbhcb同理：)()(21cpbpapphaSaABC推論：4.中線與角平分

3、線公式:斯特瓦爾特定理PCBPACBCBPABBCPCAPBCPCBPBCAPBPACPCABAPPBCAABC222222即：由下列等式確定：距離間的邊上任意一點(diǎn)與對(duì)邊頂點(diǎn)bCamaABCPHBCPCBPBCAPBPACPCABBPPCPCBPBPPCAPBPACPCABBPPCPHPHPCPCAPACACPPHBPBPAPABABPBCAH222222222222)()(.2.2即：，得：，為消去中：在中：在證明：作(i) 當(dāng)AP為BC邊上的中線時(shí):222222222222)(221)22(41222121acbmacbaabcPCBPACBCBPABBCPCAPmaa222222)(22

4、1)(221cbambcamcb同理可得：CbamapABC(ii) 當(dāng)AP為角A的內(nèi)角平分線時(shí):)(1)()(1)2()(1)(;2222222222222acbacbbccbtacbacbbccbabccbbccbcbbcacbcbcbbcPCBPACBCBPABBCPCAPtcbabPCcbacBPcbbBCPCcbcBCBPbcACABPCBPaa)p(p2)21pabccbtcbaa則：（令：bCatataABCP)p(p2)p(p2cabbatbaccatcb同理可得：(iii) 當(dāng)AP為角A的外角平分線時(shí):)bp(a)p(2)ap(c)p(2) cp(b)p(2abbatacactbccbtcba類似前面可得：例: 證明“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題也成立。說(shuō)明：（1）1840年由萊姆（Lehmus）提出（2）又名：斯坦納定理（3）證明方法不少60種tbtcDEABC是等腰三角形。即：即：即：即：，得：還原為兩邊平方，將，得：由內(nèi)角平分線長(zhǎng)度公式妨設(shè)證明：（直接證法）不ABCcbabccbabccbaabcabcabcbccbcabaabcbcaacabbacbcbcacabbcabaccbacabbcabaccbapcppacbabppaccattcb02