河南省某知名中學(xué)高三數(shù)學(xué)第十四次考試試題 理含解析2

1、南陽(yáng)一中2018屆高三第十四次考試?yán)頂?shù)試題一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：先解不等式得到集合a,b，再求并集詳解：，故選b 點(diǎn)睛：對(duì)于集合運(yùn)算的問(wèn)題，若集合中的不等式需要求解，則先求出不等式的解集，然后再根據(jù)集合的運(yùn)算順序求解2. 若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限【答案】c【解析】由題意可得 ，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，選c.3. 九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根

2、9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為（ ）a. 升 b. 升 c. 升 d. 升【答案】c【解析】 設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為，且為等差數(shù)列， 根據(jù)題意得， 即 ，解得，即最上面一節(jié)的容積為升，故選c4. 根據(jù)如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)程序，則輸出的值為（ ）a. 3 b. 4 c. 5 d. 6【答案】b【解析】結(jié)合流程圖可知該流程圖運(yùn)行過(guò)程如下：首先初始化數(shù)據(jù)：，不滿(mǎn)足，執(zhí)行：；，不滿(mǎn)足，執(zhí)行：；，不滿(mǎn)足，執(zhí)行：；，滿(mǎn)足，輸出.本題選擇b選項(xiàng).5. 被圓所截弦長(zhǎng)為4，則的最小值是（ ）a. 3 b. c. 2 d.

3、 【答案】c【解析】圓心為，半徑為，由于所截弦長(zhǎng)為，故直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程得，即，的幾何意義是原點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方，故最小值為.所以選.6. 如圖是某四棱錐的三視圖，則幾何體的表面積等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：由三視圖得到幾何體的直觀圖，再結(jié)合題中的數(shù)據(jù)求表面積詳解：由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的長(zhǎng)方體內(nèi)的四棱錐，為dc的中點(diǎn)，為棱錐的高，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6,2,4由題意得，故中邊上的高為故幾何體的表面積為故選a 點(diǎn)睛：三視圖和幾何體體積或面積結(jié)合的問(wèn)題主要考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力，解題時(shí)先要由三視圖得到幾何體的直觀

4、圖7. 已知，則（ ）a. 2 b. c. -2 d. -【答案】d【解析】分析：先將條件化簡(jiǎn)，然后把所求式子再化簡(jiǎn)，可得結(jié)果詳解：由題意得，故選d 點(diǎn)睛：解決三角變換中的給值求值問(wèn)題時(shí)，一定要注意先化簡(jiǎn)再求值，同時(shí)要注意所給條件在解題中的整體作用8. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：先判斷出點(diǎn)的位置，確定使得取得最大值和最小值時(shí)點(diǎn)的位置，然后再通過(guò)計(jì)算可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍詳解：如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)m、n，連mn，分別為所在棱的中點(diǎn)，則，mnef，又mn平面aef，ef平面

5、aef，mn平面aef，四邊形為平行四邊形，又平面aef，ae平面aef，平面aef，又，平面平面aefp是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面aef，點(diǎn)p必在線段mn上在中，同理，在中，可得，為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)p為mn中點(diǎn)o時(shí)，此時(shí)最短；點(diǎn)p位于m、n處時(shí)，最長(zhǎng)，線段長(zhǎng)度的取值范圍是故選b點(diǎn)睛：本題難度較大，解題時(shí)要借助幾何圖形判斷得出使得取得最值時(shí)的點(diǎn)p的位置，然后再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算9. 已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d詳解：由題意得，畫(huà)出函數(shù)內(nèi)的圖象，如圖所示由圖象可得要使方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，且，則，解得故選d點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖象的畫(huà)

6、法和應(yīng)用，解題時(shí)要注意分離參數(shù)方法的利用和函數(shù)圖象中的特殊點(diǎn)的利用10. 函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性將函數(shù)不等式化為絕對(duì)值不等式求解詳解：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，兩邊平方后化簡(jiǎn)得且，解得或，故使不等式成立的取值范圍是故選b.解絕對(duì)值不等式時(shí)，要根據(jù)絕對(duì)值不等式的特點(diǎn)進(jìn)行求解，解題時(shí)要注意絕對(duì)值的幾何意義的利用11. 已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（ ）a. b. c. 8 d. 6

7、【答案】c【解析】設(shè) ，則 ，選c.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.12. 偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：根據(jù)題意得到函數(shù)周期性，結(jié)合周期性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化在一個(gè)周期內(nèi)來(lái)研究，然后在結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化在內(nèi)研究，最后結(jié)合函數(shù)在內(nèi)整數(shù)解的個(gè)數(shù)及圖象中的特殊點(diǎn)確定實(shí)數(shù)的取值范圍詳解：由得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，故；又，函數(shù)的周期為

8、作出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象（如圖所示）函數(shù)為偶函數(shù)，且不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解,不等式在上有且只有100個(gè)整數(shù)解函數(shù)在內(nèi)有25個(gè)周期，函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，即在內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解當(dāng)時(shí)，由得或，由圖象可得在一個(gè)周期內(nèi)有7個(gè)整數(shù)解，不合題意當(dāng)時(shí)，由得或，顯然，在上無(wú)整數(shù)解，在上有4個(gè)整數(shù)解的圖象在上關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在上有2個(gè)整數(shù)解又，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值（或范圍）時(shí)，一般根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問(wèn)題處理解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用及性質(zhì)間的相互轉(zhuǎn)化的結(jié)論，即已知函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性中的兩個(gè)可得到

9、第三個(gè)性質(zhì)二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 若非零向量，滿(mǎn)足，則在方向上的投影為_(kāi)【答案】-1【解析】分析：先求出、和與的夾角，然后根據(jù)投影的定義求解詳解：將兩邊平方整理得，將兩邊平方整理得又，故設(shè)向量與的夾角為，則在方向上的投影為點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是正確掌握一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影的定義，利用定義可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算另外，數(shù)量積的幾何意義是計(jì)算數(shù)量積的一種重要方法 14. 如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是_【答案】-189【解析】令，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為.由，得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為. 由，得，展開(kāi)式中的系數(shù)是.15. 某貨

10、運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤(rùn)如下表所示：體積（升/件）重量（公斤/件）利潤(rùn)（元/件）甲20108乙102010在一次運(yùn)輸中，貨物總體積不超過(guò)110升，總重量不超過(guò)100公斤，那么在合理的安排下，一次運(yùn)輸獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)元【答案】62【解析】設(shè)運(yùn)送甲種貨物件，乙種貨物件，利潤(rùn)為，則由題意得，即，且，作出不等式組多對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，由，得，即，由得，平移直線，由圖可知當(dāng)直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大，故,一次運(yùn)輸獲得的最大利潤(rùn)為元，故答案為.16. 在中，角、所對(duì)的邊分別分，若，且，則的面積的最大值是_【答案】【解析】試題分析：由得，代入得，即，由余弦

11、定理得，所以，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，所以的面積的最大值為，故答案為：考點(diǎn)：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，平方關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查變形、化簡(jiǎn)能力，對(duì)計(jì)算能力要求較高，屬于中檔題；由得，代入化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求出，由平方關(guān)系求出，代入三角形面積公式求出表達(dá)式，由基本不等式即可求出三角形面積的最大值三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)仿寫(xiě)可得到，兩式相減整理得

12、，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，于是可求得通項(xiàng)公式（2）由（1）可得，故可根據(jù)錯(cuò)位相減法求和詳解：（1）當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，則，即.又因?yàn)椋詳?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，所以 ， ，得 所以.點(diǎn)睛：（1）用錯(cuò)位相減法求和時(shí)弄清錯(cuò)位相減法的適用條件及解題格式是關(guān)鍵解題時(shí)首先要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得，另外所謂“錯(cuò)位”就是找“同類(lèi)項(xiàng)”相減（2）已知和的關(guān)系解題時(shí)，要注意關(guān)系式的運(yùn)用，應(yīng)用時(shí)一定要注意使用的條件是18. 某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12

13、月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差（）101113128發(fā)芽數(shù)（顆）·2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（2

14、）中所得的線性回歸方程是否可靠？（注： ，）【答案】（1）.（2）.（3）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）求出抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的事件概率，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)的概率值；（2）由表中數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算回歸直線方程的系數(shù)，寫(xiě)出回歸直線方程，利用方程計(jì)算并判斷所得的線性回歸方程是否可靠.試題解析：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件，因?yàn)閺牡?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，所以故選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是，（2）由數(shù)據(jù)，求得，由公式得，所以關(guān)于的線性回歸方程這（3）當(dāng)時(shí)，同樣地，當(dāng)時(shí)，所以，該研究所得到

15、的線性回歸方程是可靠19. 在四棱錐中，平面，且，.（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）.【解析】分析：（1）由條件可得在直角梯形abcd中可得，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，最后由線面垂直的判定定理得到，于是可得（2）解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)m，由可求得點(diǎn)m的坐標(biāo)在此基礎(chǔ)上可得平面的法向量和平面的法向量，然后根據(jù)求得后再求線面角的正弦值詳解：（1）由已知得四邊形是直角梯形，又，所以是等腰直角三角形，故因?yàn)椋?/p>

16、 所以，又，所以，因?yàn)?，所以?）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，可得的坐標(biāo)為設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，得，令，可得，又是平面的一個(gè)法向量，由題意得 ，解得所以平面的一個(gè)法向量可取，設(shè)與平面所成的角為，則，故當(dāng)點(diǎn)m是線段的中點(diǎn)時(shí)，可使得二面角的大小為，此時(shí)與平面所成角的正弦值為點(diǎn)睛：解決立體幾何中的探索性問(wèn)題的基本策略通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在20. 已知，是拋物線上不同兩點(diǎn).（1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，若兩點(diǎn)所在

17、的直線方程為，且直線恰好平分，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，且，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)，由，消去整理得，則， 直線平分， ，即：，滿(mǎn)足，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為零，設(shè)直線的方程為：，由，得， ， ， ， 直線的方程為：假設(shè)存在直線，使得，即，作軸，軸，垂足為，由，得，故存在直線，使得，直線方程為21. 已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（），（其中為的導(dǎo)函數(shù)），判斷在上的單調(diào)性；（）若無(wú)零點(diǎn)，試確定正數(shù)的取值范圍.【答案】（）見(jiàn)解析.（）.【解析】試題分

18、析：(1)在定義域內(nèi)恒正，則在上單調(diào)遞增.(2)結(jié)合(1)的結(jié)論分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，正數(shù)的取值范圍是.試題解析：（）因?yàn)?，則，所以，所以在上單調(diào)遞增.（）由知，由（）知在上單調(diào)遞增，且，可知當(dāng)時(shí)，則有唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為.易知時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，故，其中.令，則，易知在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增知，則，由在上單調(diào)遞增，所以，故在上有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性知，則，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性知，則，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)無(wú)零點(diǎn)時(shí)，正數(shù)的取值范圍是.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程