八年級數(shù)學上冊 13.5 逆命題與逆定理 13.5.3 角平分線教案1 新版華東師大版

1、13.5.3角平分線【教學目標】一、知識與技能：1、掌握角平分線的性質定理及判定定理，并能用邏輯推理的方法證明；2、知道三角形內心就是三角形三條角平分線的交點；3、能用角平分線的有關定理去證明兩個角相等或兩條線段相等.二、過程與方法：通過閱讀，動手證明，在理解、掌握兩個定理和一個事實，積累證明依據(jù)的同時，掌握用邏輯推理方法證明的格式，經(jīng)歷小組合作討論，進一步發(fā)展學生合作交流的能力，發(fā)展邏輯思維能力和表達能力.三、情感、態(tài)度、價值觀：1、通過本課的教學活動，再次感受數(shù)學中證明過程的嚴謹性，以及結論的確定性.2、在獨立思考和獨立完成一個定理和一個數(shù)學事實的證明的基礎上，積極參與討論交流，敢于發(fā)表自

2、己的觀點，并尊重與理解他人的見解，在交流中獲益.3、體驗利用手持式圖形計算設備充當數(shù)學認知工具的樂趣.【教材分析】一、地位和作用：通過本節(jié)課的學習，使學生認識到以直觀感知操作來確認獲得結論的方法的局限性和利用邏輯推理進行證明的必要性，為進一步學好邏輯推理打下基礎.二、教學重點：角平分線性質定理的分析與證明.三、教學難點：角平分線的性質定理、判定定理及“三角形三條角平分線交于一點”的證明過程的表達.【教學思路與教學設想】先讓學生回顧初一下通過動手操作觀察得出的角平分線這一性質，再利用手持式圖形計算設備讓學生直觀認識這一性質定理，然后引導學生用邏輯推理的方法加以證明.通過對“到一個角的兩邊距離相等

3、的點在這個角的平分線上”這個定理的證明，讓學生進一步掌握推理論證的方法，學會由公理出發(fā)證明有關的定理，解決一些簡單的邏輯推理問題.本節(jié)課主要培養(yǎng)學生自主探索、合作交流、解決問題的能力，使學生養(yǎng)成言之有理的正確的思維習慣.【學法指導】以學生歸納、分析、合作交流為主，教師給予點撥、指導、總結.【學習者特征分析】學生的知識技能基礎：在本章前面幾節(jié)課中，學生已經(jīng)認識了角平分線，學習了三角形全等的判定，懂得作已知角的平分線、如何過一已知點作已知直線的垂線，為接下來的學習奠定了知識和技能基礎.學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了利用數(shù)學畫板探索驗證數(shù)學結論的活動，解決了一些簡單的現(xiàn)實問

4、題，獲得了一些數(shù)學活動經(jīng)驗的基礎；同時在以前的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力.【教學媒體】電腦，多媒體課件、數(shù)碼學習機、數(shù)學畫板軟件等.【教學過程】（一）情境引入，復習舊知，明確目標教師活動：通過上一節(jié)課的學習，我們知道往往性質定理與其相應的判定定理是互為逆定理，這節(jié)課我們將探究角平分線的有關定理內容.同學們回憶一下，角平分線有什么性質呢？這條性質是怎樣得到的呢？過去我們在驗證這個定理的正確性時是在半透明紙上畫aob及角平分線oc，點p是oc上任意一點，pdoa，peob，垂足分別為點d和點e.沿著射線oc對折，發(fā)現(xiàn)pd和p

5、e完全重合，即pdpe，由此，我們得到了角平分線的性質.其實這種驗證方法是不嚴密的，下面我們用邏輯推理的方法來證明這一性質.設計意圖：讓學生積極思考，調動學生學習的積極性，為學生接受新知做好鋪墊. （二）動手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知教師活動：1、提出第一個作圖任務.2、通過屏幕提示作圖步驟.3、引導學生觀察得到：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.4、引導學生寫出已知、求證、證明.學生活動：動手操作數(shù)學畫板，驗證并表達結論，試寫出證明過程.已知：oc是aob平分線，點p是oc上任意一點，pdoa，peob，點d、e為垂足.求證：pdpe.分析觀察圖形發(fā)現(xiàn)pd、pe分別落在opd與ope中，要

6、證明pd=pe，只要證明opdope.由已知：oc是aob平分線可得aocboc，由pdoa，peob可得odpoep90º，又因為op為公共邊可得三角形全等.證明： oc是aob平分線 aocboc pdoa， peob odpoep90º在opd和ope中 opdope pdpe角平分線性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.設計意圖：讓學生借助數(shù)學畫板作為認知工具，經(jīng)歷實驗、驗證的過程，發(fā)現(xiàn)角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等，并通過動畫，讓學生直觀得到用推理方法證明只需證明兩個三角形全等；根據(jù)學生的技術熟練程度，適當提供操作幫助；小組合作學習，所有問題都需小

7、組成員獨立思考得出結論性內容并書寫清晰，然后小組共同探索討論最后達成一致意見.作圖過程如下：1、利用角的工具選擇“角平分線”做出abc（順時針方向新建點a，b，c）2、在角平分線上新建點d，利用點和線工具在屏幕上過點d分別作出角兩邊的垂線，交點分別為點e、f. 3、在屬性中選擇“隱藏”工具，隱藏垂線b、c，然后利用點和線工具作線段de、df.4、利用測量工具中的“距離”測出線段de和df的長度. 5、利用移動工具中的“移動點”，拖動點d，觀察線段de、df的長度.再調整abc的大小，觀察線段de、df的長度. 5、在屬性中對點名稱進行改換，再隱藏所有線段名稱.并可以利用工具調整名稱位置將點進行

8、改換位置.（三）例題分析，鞏固新知：教師活動：呈現(xiàn)問題，分析問題，啟發(fā)學生解題思路.例題1：如圖，在rtabc中，cd是c的平分線，debc，垂足為e，da與de相等嗎？為什么？答：dade cd是acb的平分線 （d在acb的平分線上） 又 decb，垂足為e，daac，垂足為a deda學生活動：思考解題思路，討論回答問題設計意圖：通過分析、思考，培養(yǎng)學生分析能力及邏輯推理能力.作圖過程如下：1、利用多邊形工具作出直角三角形abc.2、利用角工具中的“角平分線”作出角acb的角平分線，交ab于點d，選擇線和點工具的“垂線”過點d作de垂直bc，垂足為點e. 3、隱藏直線b，連結點d、e；隱

9、藏射線a，連接點c、d.（四）動手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知教師活動：1、引導學生寫出角平分線性質定理的逆命題.2、讓學生猜想：這個點是否在這個角的角平分線上？3、引導學生表達結論，寫出已知、求證、證明.學生活動：猜想結論，動手操作數(shù)學畫板，驗證并表達結論，討論推理過程，動手寫出證明.已知：如圖，pdoa，peob，點d、e為垂足，pdpe.求證：點p在aob的平分線上.分析要證點p在aob的平分線上，即po是aob的平分線，畫射線op，只要證aopbop，利用h.l.證明dopeop，得aopbop.證明： pdoa，peob pdopeo90º在rtdop與rteop中 rtdop

10、rteop aopbop op是aob的平分線即點p在aob的平分線上角平分線判定定理：到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.設計意圖：讓學生借助數(shù)學畫板作為認知工具，經(jīng)歷實驗、驗證的過程，讓學生討論，培養(yǎng)學生合作精神，鼓勵學生發(fā)表自己的見解.作圖過程如下：1、作aob，在aob內部任取一點p，選擇線和點工具的“垂線”過點p作pd垂直oa，垂足為點d.過p作pe垂直于ob，垂足為點e.2、利用移動工具中的“移動點”，拖動點p，讓學生觀察點p到角的兩邊距離相等.3、連接op，利用測量工具中的“角度”，測出角aop與角bop的度數(shù)，讓學生發(fā)現(xiàn)這兩個角的度數(shù)相等. 教師活動：1、提出第二個作圖

11、任務：作一個三角形的三條角平分線.2、觀察三條角平分線是否交于一點.3、引導學生表達結論：任意三角形的三條角平分線交于一點.4、通過分析，引導學生寫出已知、求證、證明.學生活動：猜想結論，動手操作數(shù)學畫板，驗證并表達結論.分析要證明三條角平分線交于一點，只需證明其中兩條角平分線的交點在第三條角平分線上就可以了. 已知：如圖， ad、be分別是abc中a、b的角平分線，ad、be相交于點g，求證：c的平分線也過點g.說明（1）根據(jù)角平分線的性質，三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等；（2）三角形三條角平分線的交點就是三角形的內心（內切圓的圓心）.作圖過程如下：1、利用多邊形工具中的“多

12、邊形”，在屏幕上作一三角形abc（取點順序為a、b、c、a）.再利用角工具中的“角平分線”，分別作出三個內角的角平分線，分別與三條邊交于點d、e、f.請同學們觀察三條角平分線是否交于一點g？然后利用移動工具中的“移動點”，拖動三角形中的任意一個頂點，觀察三條角平分線是否交于一點？ 選擇線和點工具中的“垂線”，過點g分別作三條邊的垂線，分別交三條邊于點h、i、j.再隱藏三條角平分線和三條垂線.最后分別連接ad、be、cf、gh、gi、gj.（五）知識檢測，練習反饋教師活動：屏幕呈現(xiàn)問題，引導學生正確求解.題目如下：1、如圖（1）， 12， dcac， deab， （ ）.2、判斷題 如圖（2），

13、 ad平分bac（已知）， bddc（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）. （1） （2）3、如圖（3），在直線l上找一點p，使得點p到aob的兩邊oa、ob的距離相等. （3） （4）4、如圖（4），已知abc的外角cbd和bce的平分線相交于點f.求證：點f在dae的平分線上.學生活動：小組思考交流，達成共識，回答問題.設計意圖：檢驗所學知識，發(fā)現(xiàn)問題及時反饋，促進知識目標的達成.讓學生做到思說合一，以便能觸類旁通，融會貫通.（六） 小結：學生互相交流總結這節(jié)課的體會，重新回顧這節(jié)課的知識點以及新知識點應用方面的一些技巧.1、今天我們學習了用邏輯推理的方法證明角平分線性質定理與判定定理，同學們要掌握這兩個定理的內容及其應用，同時要掌握三角形的三條角平分線相交于一點，并會應用這個定理.2、角平分線的性質定理與判定定理也是證明線段和角相等的重要依據(jù)，不必通過全等三角形可簡化證明.3、角平分線的性質定理與判定定理的條件與結論正好相反，在應用中要注意它們的區(qū)別.4、三角形三條角平分線的交點就是三角形的內心，它