向量與三角函數(shù)創(chuàng)新題型19頁

1、專題五 向量與三角函數(shù)創(chuàng)新題型的解題技巧【命題趨向】綜觀2007年全國各套高考數(shù)學試題，我們發(fā)現(xiàn)對三角函數(shù)的考查有以下一些知識類型與特點：1.三角函數(shù)的性質、圖像及其變換，主要是的性質、圖像及變換.考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調性、有界性、圖像的平移和對稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn)，屬中低檔題，這些試題對三角函數(shù)單一的性質考查較少，一道題所涉及的三角函數(shù)性質在兩個或兩個以上，考查的知識點來源于教材.2.三角變換.主要考查公式的靈活運用、變換能力，一般要運用和角、差角與二倍角公式，尤其是對公式的應用與三角函數(shù)性質的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.3.三角

2、函數(shù)的應用.以平面向量、解析幾何等為載體，或者用解三角形來考查學生對三角恒等變形及三角函數(shù)性質的應用的綜合能力.特別要注意三角函數(shù)在實際問題中的應用和跨知識點的應用，注意三角函數(shù)在解答有關函數(shù)、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時的工具性作用.這類題一般以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題.4.在一套高考試題中，三角函數(shù)一般分別有1個選擇題、1個填空題和1個解答題，或選擇題與填空題1個，解答題1個，分值在17分22分之間5.在高考試題中，三角題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現(xiàn)較難題，更不會出現(xiàn)難題，因而三角題是高考中的得分點【考點透視】1理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的

3、換算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同解三角函數(shù)的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義3掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式4能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明5了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+)的簡圖，理解A、的物理意義6會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsin x, arcos x,arctan x表示7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解三角形

4、的計算問題8掌握向量與三角函數(shù)綜合題的解法常用解題思想方法1三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關系化成弦（切）。（5）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。（6）萬能代換法。巧用

5、萬能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。2證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。3證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系。（3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉化?！纠}解析】考點1三角函數(shù)的求值與化簡此類題目主要有以下幾種

6、題型：考查運用誘導公式和逆用兩角和的正弦、余弦公式化簡三角函數(shù)式能力，以及求三角函數(shù)的值的基本方法.考查運用誘導公式、倍角公式，兩角和的正弦公式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求的值的問題.考查已知三角恒等式的值求角的三角函數(shù)值的基本轉化方法，考查三角恒等變形及求角的基本知識.例1. （2007年重慶卷文）已知函數(shù)f(x)= .（）求f(x)的定義域； （）若角a在第一象限且命題目的：本小題主要考查三角函數(shù)的定義域和兩角差的公式，同角三角函數(shù)的關系等基本知識，考查運算和推理能力，以及求角的基本知識.解：（）由故f(x)的定義域為（）由已知條件得從而 例2.（2006年安徽卷）（）求的值；（）求.命

7、題目的：本小題主要考查同角三角函數(shù)的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.解答過程：（），解得 或.（II），.例3（2007年四川卷理）已知<<<,()求的值.（）求.命題目的：本題考三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎知識和基本運算技能.解：（）由，得，于是（）由，得又，由得：所以例4.（2006年湖南卷）已知求的值.命題目的：本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力，以及求角的基本知識.解：由已知條件得.即.解得.由0知，從而.考點2解三角形此類題目以考查正弦定理，余弦定理，兩

8、角差的正弦公式，同角三角函數(shù)間的關系式和誘導公式等基本知識，以及考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.典型例題例5（2007年浙江卷理）已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)命題目的：本小題考查正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)等基礎知識，考查基本運算能力及分析解決問題的能力.解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以例6.（2006年天津卷） 如圖，在中，（1）求的值；（2）求的值. 命題目的：本小題考查同角三角函數(shù)關系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查基本運算能力及分析解決問題的能力

9、.解答過程：（） 由余弦定理，得 那么，（）由，且得由正弦定理，得解得.所以，.由倍角公式，且，故.例7（2007年福建卷文17）在中，（）求角的大??；（）若邊的長為，求邊的長命題目的：本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式、正弦定理及兩角和公式等基礎知識，考查運算能力.解：（），又，（）由且，得，考點3求三角函數(shù)的定義域、值域或最值此類題目主要有以下幾種題型：考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求值域的能力.考查利用三角函數(shù)的性質, 誘導公式、同角三角函數(shù)的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.考查利用三角函數(shù)的有界性來求最大值與最小值的能力.典

10、型例題例8.（2006年遼寧卷）已知函數(shù),則的值域是（ ）A.B. C. D. 命題目的：本小題考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求值域的能力.例9（2007年陜西卷文17）設函數(shù).其中向量.（）求實數(shù)的值;（）求函數(shù)的最小值.命題目的：本小題考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求最值的能力.解：（），得（）由（）得，當時，的最小值為例10.（2006年北京卷）已知函數(shù)，（）求的定義域；（）設是第四象限的角，且，求的值.命題目的：本題考查利用三角函數(shù)的性質, 誘導公式、同角三角函數(shù)的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算

11、和推理能力.解答過程：（）由得.故的定義域為，（）因為且第四象限的角，所以故例11設的周期，最大值，（1）求、的值； （2）.命題目的：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的周期性.解答過程：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， .例12.（2006年重慶卷）設函數(shù)（其中），且的圖象在軸右側的第一個最高點的橫坐標為.（I）求的值；（II）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值.命題目的：本題考查利用三角函數(shù)的性質逆用兩角和的正弦公式等基本知識，考查運算和推理能力.解答

12、過程：（）,依題意得 ， 解得 .（）由（）知，,又當時，故，從而在上取得最小值.因此，由題設知.故.例13.（2006年廣東卷）已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求的最大值和最小值；（）若，求的值.命題目的：本題考查利用三角函數(shù)的性質, 誘導公式、同角三角函數(shù)的關系式、兩角和的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.解答過程：（）的最小正周期為;（）的最大值為和最小值；（）因為，即即 .考點4三角函數(shù)的圖象和性質考查三角函數(shù)的圖象和性質的題目，是高考的重點題型.此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎上要對三角函數(shù)的性質靈活運用.會用數(shù)形結合的思想來解題.典型例題例14.（2006年

13、遼寧卷）已知函數(shù).求：（）求函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合； （）函數(shù)的單調增區(qū)間.命題目的：本題考查三角公式、三角函數(shù)的性質及已知三角函數(shù)值求角等基礎知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關知識的能力.解答過程：（I）解法一： .當，即時，取得最大值.因此，取得最大值的自變量x的集合是. 解法二： .當，即時，取得最大值.因此，取得最大值的自變量x的集合是 .（）解： 由題意得，即. 因此， 的單調增區(qū)間是 . 例15（2007年湖南卷理16）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（I）設是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間命題目的：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和單調性、奇偶性等

14、基本知識，以及分析問題和推理計算能力. 解：（I）由題設知因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，即（）所以當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，（II）當，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）例16.（2006年福建卷）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期和單調增區(qū)間；（II）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經過怎樣的變換得到？命題目的：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質等基本知識，以及推理和運算能力.解答過程：（I）的最小正周期由題意得即的單調增區(qū)間為（II）方法一：先把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度，就得到的圖象.方

15、法二：把圖象上所有的點按向量平移，就得到的圖象.例17.（2006年西卷）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求使函數(shù)取得最大值的集合.命題目的：本題考查三角公式、三角函數(shù)的周期性及已知三角函數(shù)值求角等基礎知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關知識的能力.解答過程：() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) cos2(x)+1 =2sin2(x)+1 = 2sin(2x) +1 . T= ()當f(x)取最大值時, sin(2x)=1,有 2x =2k+ ，即x=k+ (kZ) 所求x的集合為xR|x= k+ , kZ.考點5平面向量、三角函數(shù)的圖象和性質考查平面向量

16、和三角函數(shù)的圖象和性質相結合的題目，是高考的熱點題型.此類題目要求考生在熟練掌握平面向量和三角函數(shù)圖象的基礎上要對平面向量和三角函數(shù)的性質靈活運用.會用數(shù)形結合的思想來解題.典型例題例18.（2006年安徽卷6）將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應函數(shù)的解析式是（ ） A BC D命題目的：本題考查了應用平面向量平移圖象和應用數(shù)形結合的思想解題的能力.解答過程：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應的解析式為，由圖象知，所以，因此選C.例19.（2006年全國卷）已知向量（）若，求；（）求的最大值.命題目的：本題主要考查應用平面向量、三角函數(shù)知識分析和計算能力

17、.解：（）由此得 tan 所以 （） 由當例20.（2006年四川卷）已知是三角形三內角，向量，且（）求角；（）若，求.命題目的：本題考查了平面向量、三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式等知識.考查應用、分析和計算能力.解答過程：（）, , 即., ., . .（）由題知，整理得 .或.而使，舍去. .專題訓練與高考預測一.選擇題1函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是 ( ) （A） （B） （C） （D）2已知，且，則（）(A) (B) (C) (D) 3如圖，要測量河對岸A、B兩點間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點，測得 ACB=60°

18、;，BCD=45°，ADB=60°，ADC=30°，則AB的距離是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經長期觀觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.在下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（ ）（A）（B）（C）（D）5已知，且其中，則關于的值，在以下四個答案中，可能正確的是（ ）（A） （B）3 或 （C） （D）或二填空

19、題.6如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈記水輪上的點P到水面的距離為d米（P在水面下則d為負數(shù)），則d（米）與時間t（秒）之間滿足關系式：，且當P點從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間有以下四個結論：A=10；k=5則其中所有正確結論的序號是 7已知:sin3+cos3=1，則sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6的值是 三.解答題8 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間9 求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值10 已知為銳角,且求的值11 已知0<<，tan+cot=，求sin()的值12 13已知的值14如圖，A、B是一矩 OEFG

20、邊界上不同的兩點，且AOB=45°,OE=1,EF=，設AOE=.（1）寫出AOB的面積關于的函數(shù)關系式f(); （2）寫出函數(shù)f(x)的取值范圍15已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1 （xR）,（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？參考答案一C. 2A. D.A. C.二7解法一：令sin+cos=t，則sin·cos=，sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sin·cos+cos2)=t·(1)=1，得：t33t+2=0(t1)2&#

21、183;(t+2)=0，t2 t=sin+cos=1，且sin·cos=0sin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2·cos2=12·0=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin2·cos2+cos4)=1解法二：sin3sin2,cos3cos2sin3+cos3sin2+cos2=1等號當且僅當時成立或sin+cos=sin4+cos4=sin6+cos6=1三8 故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是2；單增區(qū)間是，9 所以函數(shù)f(x)的最小正周期是，最大值是，最小值是.10原式=因為時,所以 原式=因為為銳角,由得所以 原式=11由已知. 從而 .12由于是13由已知得： 由已知條件可知從而 有 ，得14解：（1）OE=1，